книги из ГПНТБ / Радиоприемные устройства учебник

В области частот to «г оо0 множитель я выражения (6.4) весьма мал. Аналогичное утверждение справедливо относительно множителя я в (6.3) при — to0. Поэтому для всей оси частот можно принять выра­ жение

То, что выражение (6.5) может давать большую погрешность на частотах, далеких от ± to0, не имеет существенного значения, посколь­ ку коэффициент передачи на этих частотах близок к нулю.

Спектр узкополосного входного воздействия. Полезный сигнал является, как правило, узкополосным, т. е. ширина его спектра на­ много меньше центральной частоты. Избирательная система долж­ на пропустить основную часть спектра полезного сигнала.

Пусть, например, входной сигнал усилителя выражается формулой

ответственно. Комплексная спектральная плотность сигнала являет­ ся его преобразованием Фурье

200

Введем комплексную спектральную плотность огибающей сигнала

Полученное соотношение устанавливает простую связь между спектром сигнала (6.6) и спектром его огибающей, а именно: первое слагаемое в фигурных скобках (6.10) представляет собой спектр огибающей, смещенный на величину -f сос (вправо) и дополненный со­ ответствующим фазовым множителем, а второе — тот же спектр, сме­ щенный на величину —сос (влево) и дополненный комплексно-со­ пряженным фазовым множителем. Узкополосный сигнал имеет оги­ бающую, спектр которой сосредоточен в области частот, близких к нулю. Из (6.10) следует, что спектр такого сигнала имеет два макси­ мума интенсивности, сосредоточенных около частот+ со0.

Расчет переходных процессов при узкополосном входном воздей­ ствии. Положим для простоты, что частота сос сигнала совпадает с ре­ зонансной частотой со0 избирательной системы. Тогда для спектра вы­ ходного напряжения системы согласно (6.5) и (6.10) получаем следую­ щее выражение:

«вых (/®) = «с О'®) Я (/®) = у (е,Фс Uc [/ (со —со0)] +

-Ь е~,ф° Uc [/ (со + ©„)]} {е^’о х (со —со0)] + е~^« х [/ (со + о>0)]}. (6.11)

Раскрывая в выражении (6.11) фигурные скобки, получаем сумму четырех слагаемых. Однако в силу того, что первые слагаемые в обеих скобках имеют резко выраженныймаксимум модуля на частоте со0, а вторые — на частоте —со0, можно с достаточной точностью поло­ жить

Напряжение на выходе системы находим, подвергая (6.12) обрат­ ному преобразованию Фурье, т. е.

+»

« в ы х ^ ^ у - J «вых 0'®) е'а' rf® =

201

Вводя в первом интеграле (6.13) новую переменную интегрирова­

где выражение в фигурных скобках характеризует огибающую выходного напряжения

Согласно полученному результату огибающая выходного напря­ жения может быть рассчитана как результат воздействия огибаю­ щей входного сигнала на четырехполюсник с коэффициентом переда­ чи /С0я (/Q). Форма комплексной частотной характеристики четырех­ полюсника совпадает с формой комплексной частотной характеристи­ ки избирательной системы с той лишь разницей, что его резонансная частота перенесена в точку со = 0. Этот четырехполюсник является низкочастотным эквивалентом избирательной системы, который об­ суждался в § 5,12.

Как видно из (6.14), при а>с = о>0 высокочастотное заполнение на выходе имеет ту же частоту, что и на входе, а его фаза сдвинута по отношению к входной на угол ф0.

Аналогично, но несколько сложнее можно выполнить расчет в случае, если между несущей частотой со0 входного сигнала и резонансной частотой ш0 имеет­ ся малая расстройка Дм = <в0—ш0. Для того чтобы свести случай мс ф соа к предыдущему, преобразуем выражение (6.6) следующим образом:

Согласно соотношению (6.16) сигнал (6.6) можно рассматривать как сумму двух сигналов частоты ш0, из которых первый имеет огибающую U c(t)cosA<i>t, а второй — огибающую Uc(l) sin АШ, причем высокочастотные заполнения этих сигналов взаимно сдвинуты по фазе на 90°. Следовательно, для решения постав­

При этом в соответствии с общим ходом рассуждений высокочастотному заполне­

и Uc sin Acot рассматривают одну комплексную огибающую Псе,Ло>/, воздей­ ствующую на вход НЭ. Тогда реакция последнего получается комплексной и имеет вид А 0 (t )+ jB a (t).

202

Поскольку формальный переход от частоты ис заполнения к частоте ш0 был выполнен умножением огибающей на множитель e!&b>t, то обратный пе­

реход осуществляем умножением на е~,А“б Поэтому, для того чтобы перене­ сти частоту высокочастотного заполнения выходного напряжения на toc, сле­

после чего огибающая выходного напряжения может быть найдена по формуле

назовем такое входное воздействие, спектральная плотность которо­ го изменяется в пределах полосы пропускания избирательной систе­ мы настолько мало, что может считаться в указанных пределах не­ изменной. Типичным примером такого воздействия являются импульсные по­

Комплексная спектральная плотность такого импульса помехи вы­ ражается интегралом Фурье

Согласно графику, соответствующему (6.21) и приведенному на рис. 6.2, апериодическая помеха наиболее интенсивна в области са­ мых низких частот. С ростом частоты модуль ее спектральной плотно­ сти монотонно уменьшается. Следовательно, при равных полосах про­ пускания длинноволновые приемники в значительно большей степе­ ни, чем коротковолновые, подвержены действию апериодических помех.

Избирательная система вырезает из спектра помехи часть его, со­ ответствующую полосе пропускания системы. Поэтому при расчетах можно с достаточной точностью заменить реальную помеху идеализи­

203

рованной со спектральной плотностью в области частот со « со0, равной «пом (/со0),а в области частот со « — со0, имеющей комплексно­ сопряженное значение «пом (—/со0).

Расчет переходных процессов при широкополосном входном воз­ действии. Учитывая соотношения (6.3) и (6.4), по аналогии с выраже­ нием (6.12) можно записать спектральную плотность выходного напря­ жения при широкополосном входном воздействии следующим обра­ зом:

на частоте со0.

Реакция избирательной системы на помеху выражается с помощью

Теперь, как и ранее, в первом интеграле (6.23) введем новую пере­ менную интегрирования О = со— со0, а во втором— = со + со0 и перейдем от показательных функций к тригонометрическим. Тогда получим

Определим смысл выражения в фигурных скобках (6.24), введя под знак интеграла постоянный множитель /(„I нпом (усо0) |. При этом напомним, что спектральная плотность дельта-функции, обладающей единичной площадью, равна

204

В соответствии с этим замечаем, что выражение

представляет собой реакцию низкочастотного эквивалента Л)0х (/Q) избирательной системы на воздействие в виде дельта-функции, обла­ дающее площадью | «пом (/о)0) |. С учетом (6.26) выражение (6.24) приобретает вид

ного напряжения не зависит от формы входного импульса и опреде­ ляется лишь свойствами избирательной системы. Частота выходного напряжения равна собственной частоте избирательной системы. Переходный процесс в рассматриваемом случае может быть охаракте­ ризован следующим образом. В момент появления импульса помехи избирательная система приобретает некоторый запас энергии, тем больший, чем больше модуль спектральной плотности ыпом (/о>0).

После этого в ней возникают затухающие собственные колебания. Заключительные замечания. В основе изложенного в настоящем параграфе метода расчета лежит спектральный подход к задаче. Это позволяет наиболее четко показать существо метода и рассмотреть с единых позиций случаи узкополосного и широкополосного входных воз­ действий. Однако при практических расчетах удобнее использовать ме­ тод операционного исчисления, основанный на преобразовании Лапла­ са. Это вызвано двумя причинами: 1) для ступенчатых функций и, тем более, для функций, возрастающих во времени, интеграл Фурье в классе обычных функций не существует и приходится либо переходить к обобщенным функциям, либо прибегать к тем или иным искусствен­ ным приемам; 2) для преобразования Лапласа во многих изданиях (например, в [1]) приведены подробные таблицы соответствий между изображениями и оригиналами, позволяющие избежать вычисления интегралов обращения. Как будет видно из последующего текста, переход от преобразования Фурье к преобразованию Лапласа не вы­

зывает никаких затруднений.

Рассмотренному приближенному методу расчета можно придать различную форму. В работе Д. В. Агеева и Ю. Б. Кобзарева [2], на­ иболее ранней из числа посвященных переходным процессам в изби­ рательных системах, исходными являлись дифференциальные уравне­ ния системы, которые упрощались на основе того, что выходное на­ пряжение имеет медленно меняющуюся амплитуду (медленно меняю­ щейся называется амплитуда, относительное изменение которой за один период высокочастотного заполнения незначительно). Примени­ тельно к избирательным системам метод медленно меняющиеся ам­

205

плитуд был усовершенствован впоследствии С. И. Евтяновым [31, придавшим этому методу операторную форму. В приведенном изло­ жении понятие медленно меняющейся амплитуды в явной форме не используется. Однако сделанные допущения эквивалентны предполо­ жениям метода медленно меняющихся амплитуд.

. 6.3. Переходная характеристика усилителей с одиночными настроенными в резонанс контурами

При расчете переходных характеристик входное напряжение пред­ ставляет собой включаемое в момент t = 0 колебание неизменной ам­ плитуды £/с, частоту о с которого положим равной частоте ш0 усилите­ ля. Изображение огибающей этого колебания находим с помощью преобразования Лапласа

о + ю п ’

где /(о — резонансное усиление всего усилителя. Это усиление предпо­ лагается вещественным, что соответствует вещественной крутизне 5 ламп или транзисторов.

Перейдем от (6.30) к операторному коэффициенту передачи низко­ частотного эквивалента усилителя, для чего выполним следующую

206

Из операционного исчисления известна следующая формула [Ц:

учитывая которую, находим, что изображению (6.33) соответствует оригинал

где т = at — безразмерное время.

Это уравнение переходной характеристики было впервые получе­ но в работе [2] и называется формулой Агеева — Кобзарева. На рис. 6.3 приведены построенные по формуле (6.35) переходные характеристи­ ки при различных значениях числа каскадов п, причем по оси абсцисс

расчете усилителя. Если заданы резонансная частота со0, число каска­ дов п и требуемое время установления / у усилителя, то, найдя из

Используя для полосы пропускания «-каскадного усилителя фор­

Это произведение зависит только от числа «. Если найти его значе­ ния для различных «, то нетрудно убедиться в том, что при любом п можно с достаточной для инженерных расчетов точностью положить

Таким образом, зная требуемое время установления, можно рас­ считать необходимую полосу пропускания, после чего рассчитать уси­ литель радиоимпульсов так же, как и при непрерывных сигналах.

207

что встречается иногда в транзисторных каскадах и значительно реже в лам­ повых. Напомним, что для транзистора входящая в формулу (6.39) величина т0 является постоянной времени его входной цепи.

Выражение (6.39) может быть преобразовано следующим образом:

а показатель экспоненциального множителя разложить в точке <о = со0 в ряд Тейлора, ограничившись учетом первых двух членов этого разложения. Тогда

То

arctg сот0 = arctg щ0т0 + ■ 2т-2 (со —<о0).

1+ 0)? т;

и выражение для крутизны приобретает вид

что вызовет согласно (6.14) соответствующее запаздывание фазы высокочастот­ ного заполнения, 3) второй экспоненциальный множитель в (6.42) обусловит по­

явление дополнительного множителя ехр [—рпт0/(1 + соото)] в операторном ко­ эффициенте передачи низкочастотного эквивалента (6.32) и в изображении огибающей (6.33) выходного напряжения, что в соответствии с теоремой запаз­ дывания операционного исчисления означает запаздывание огибающей на время

20?

У современных транзисторов величина со0т0 не превышает нескольких еди­ ниц при со0 < 0,5 озгр, где согр — граничная частота транзистора. Поэтому для узкополосных усилителей второе слагаемое подкоренного выражения в (6.46) намного меньше единицы, и результирующее время установления усилителя опре­ деляется только полосой пропускания колебательного контура, т. е. остаются справедливыми выражения (6.37) и (6.38).

6.4. Прохождение импульсной помехи через усилитель с одиночными настроенными в резонанс контурами

построенные по формуле (6.50), приведены на рис. 6.4. Найдем соглас­ но (6.50) максимальное значение реакции НВЫх (т). Исследуя (6.50) на экстремум, легко установить, что функция максимальна при т = = п — 1. Подставляя это значение т в (6.50) и выражая коэффициент

209