книги из ГПНТБ / Ху, Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях

Обычно в ограничения задачи (1) включаются а. тривиальные соотношения х} = —( —xj) (у = 1 , а задача в матричной

форме принимает вид

исходной таблицы. Задачу целочисленного программирования также можно записать в виде табл. 13.1.

Причины представления переменных в виде (—а^), (—х 2 ) , . . .

. . ., (—хп) — чисто исторические, но это стало обычной прак­ тикой в целочисленном программировании. Будем использовать а; (/ = 0 , 1 , . . ., га) для обозначения у-го столбца текущей таб­ лицы и a-ij (i = 0 , 1 , . . ., га + гаг; у — 0 , 1 , . . ., га) для обозна­

чения элемента i-й строки и у-го столбца таблицы. Предполагается, что все atj в исходной таблице целые. Следовательно, все слабые переменные xn+t, . . ., х п + т должны быть также неотрицатель­ ными целыми числами.

При изложении алгоритма для решения целочисленных задач будем следовать работе Гомори [79]. Вначале задача целочислен­ ного программирования рассматривается как линейная программа и алгоритм решает ее с помощью прямого или двойственного симплекс-метода. В конце работы алгоритма ai0 ^ 0 (г = 1, . . .

. . ., га + гаг) и a0j ^ 0 (у = 1, . . ., га). (Для получения исходного двойственного допустимого решения введем дополнительное огра­ ничение xn+m+i = М — Xt — х 2 — . . . — хп 0, где М — до­ статочно большая константа, и проделаем одну итерацию с этой строкой и лексикографически минимальным столбцом в качестве ведущего.) Если ai0 ^ 0 и целые для всех г, то получено опти­

мальное решение целочисленной задачи. В этом случае решение получается сразу, без использования ограничений целочисленности. Если ai0 ^ 0, но не все целые, добавим к ограничениям (1) еще одно. Новое ограничение записывается внизу таблицы так, чтобы она перестала быть прямо допустимой, т. е. ai0 < 0 для

г = га + гаг + 1. Затем используется двойственный симплексметод с целью сделать все ai0 ^ 0. Если ai0 получаются нецелыми, в таблицу добавляются новые ограничения до тех пор, пока гаго (г = 1 , . . ., га, . . ., га + гаг) не станут все целыми и неотрица­

тельными.

Если после введения дополнительного ограничения текущая таблица перестает быть прямо допустимой, то текущее решение, представляющее собой вершину многогранника решений, не удо­ влетворяет этому дополнительному ограничению. Другими сло­ вами, дополнительное ограничение отсекает часть пространства решений. Если дополнительные ограничения не отсекают ни одной целочисленной точки пространства решений исходной задачи, то, вполне вероятно, после введения достаточного числа допол­ нительных ограничений вершины суженного множества решений будут целочисленными. Тогда, используя симплекс-метод, можно получить оптимальное целочисленное решение. Трудность состоит в систематическом получении дополнительных ограничений и дока­ зательстве конечности алгоритма.

Каждый раз после проведения итерации симплекс-метода происходит изменение множества небазисных переменных. Таб­

где х° — вектор-столбец с га + гаг + 1 компонентами, А0 — матри­ ца размера (п + гаг + 1 ) X (га + 1 ) и (—х£) — вектор с компо­ нентами (1 , —Xj, . . ., —хп), представляющими собой текущие

небазисные переменные, взятые со знаком минус. Если в матрице А а0} > 0 '(/ = 1, . . ., га), а00 = 0 (mod 1) Д и ai0 > 0 (г = = 1 , . . ., га + гаг) — целые неотрицательные числа, то получено

оптимальное решение целочисленной задачи. Если aiQ не все целые, введем дополнительное ограничение. Рассмотрим такое уравнение из (3), в котором яго нецелое. Опуская индексы строки, имеем

где Xj в правой части — текущие небазисные переменные и а0 — нецелое. Поскольку требуется, чтобы х было целым, или х =

х) Символ (= ) означает «сравнимость». Два числа сравнимы по модулю 1, если они отличаются друг от друга на целое число.— П.ри,м. перее.

== 0 (mod 1 ), правая часть уравнения (4) также должна удовле­

творять условию

Это условие должно выполняться при любом допустимом цело­ численном решении. Поскольку требуется, чтобы Xj были целыми, можно алгебраически складывать с (5) отношения 0 == xj и также О = 1 J), тогда (5) примет вид

Всоотношении (7) / 0 — константа, меньшая единицы, и поскольку

^0 и Xj ^ 0, левая часть всегда положительна. Так как (7) — отношение сравнения по модулю 1 , левая часть может принимать

только значения вида / 0, /о + 1 » . . ., т. е.

Неравенство (8 ) можно представить в виде уравнения с помощью

введения неотрицательной целочисленной слабой переменной

Это уравнение можно приписать внизу таблицы и использовать

вкачестве ведущей строки. Таким образом, переменная s войдет

вбазис с отрицательным значением (—/ 0). После итерации слабая переменная s станет небазисной с нулевым значением. Ведущая строка превратится в тождество s = (—1 ) (—s) и может быть

исключена. Будем называть переменную s в уравнении (9) слабой переменной Гомори. Ниже будет обсуждено, что произойдет, если сохранять все дополнительные строки, соответствующие слабым

переменным Гомори.

Дадим доказательство конечности алгоритма. Доказательство будет проведено в предположении, что известна некоторая нижняя граница значения х0, т. е. если существует целочисленное решение, то оно больше, чем наперед заданная величина М (М может'быть достаточно большой по абсолютной величине отрицательной кон­ стантой). Такое предположение не слишком обременительно' и всегда выполняется, если выпуклое множество, определяемое условиями (2), ограничено. Сначала изложим сам алгоритм.

III а г 1. Решить задачу целочисленного программирования так, как если бы это была линейная программа, т. е. с помощью

Э Алгебраическое сложение отношений 0 = xj и 0 = 1 с (5) соответ­ ствует вращению и перемещению гиперплоскости, из которой было полу­ чено условие (5),

прямого или двойственного симплекс-метода. Если получено оптимальное решение задачи линейного программирования, то

а 1о > 0 (i = 1, . . т + п) и aoj > 0 (/ = 1, . . п). Требуется также, чтобы а* > 0 (у = 1 , . . ., п).

Ш а г 2. Если ai0 — все целые, то задача решена, и решение получено без использования дополнительных ограничений. В про­

тивном случае пусть а\о — первая нецелочисленная компонента в а01. Тогда l-я строка называется производящей строкой. Записать внизу таблицы уравнение

Уравнение (10) называется отсечением Гомори. Проделать шаг двойственного симплекс-метода, используя в качестве ведущей строки отсечение Гомори (10). При этом таблица останется двой­

ai0 на некотором шаге остается отрицательным, следующий шаг двойственного метода производится без введения отсечения Гомо­ ри. (Если а00 становится отрицательным, нулевая строка не выби­ рается в качестве производящей. Если а00 становится нецелым,

следует выбрать нулевую строку в качестве производящей.) Изменение элементов ац (i = 0, 1, . . ., п + т\ / = 0, . . .

. . ., п) в таблице за одну итерацию называется циклом. Для

является то, что а00 остается равным фиксированному значению, большему нижней границы, в то время как некоторое ai0 неогра­ ниченно уменьшается. Чтобы увидеть, как преодолеваются эти трудности, необходимо в деталях рассмотреть шаги итерации.

При доказательстве будет показано, что либо после конечного числа шагов все компоненты 0 -го столбца становятся неотрица­

тельными целыми, либо не существует целого решения. Если а00 остается постоянным для всех t ^ £„, то а*0 должно быть целым.

Предположим, что а$0—нецелое. Пусть а[0 —«оо+ /оо> гДе поо—

целое и 0 < /*, -< 1. Тогда 0-я строка становится производящей

итребуется ввести дополнительное ограничение

*= - / $ , - 2 / o i ( - 4 ) .

19 т. Х у

через конечное число шагов должно стать некоторым неотрица­ тельным целым числом и больше не меняться.

Аналогичные рассуждения можно провести и для остальных компонент вплоть до (п + т)-й, что завершит доказательство конечности. Заметим, что нам надо, чтобы только первые п + 1 компонент вектора ос0 были целыми неотрицательными числами,

ограничения сохраняются на протяжении вычислений. Это сде­ лано для того, чтобы показать, что эти дополнительные ограниче­ ния представляют собой неравенства. Причем, если эти неравенства выразить через исходные небазисные переменные, они будут иметь целые коэффициенты.

Если сохранять все строки, соответствующие слабым пере­ менным Гомори, то эти слабые переменные могут становиться базисными, после того как они были небазисными. Если слабая переменная Гомори вошла в базис с неотрицательным значением, то соответствующая строка представляет собой неравенство, справедливое при текущем решении, и эта строка может быть вычеркнута. Если слабая переменная Гомори становится базисной с отрицательным значением, соответствующую строку следует использовать в качестве ведущей. Если сохранять все строки, соответствующие всем отсечениям Гомори, то, вообще говоря, потребуется меньшее число дополнительных ограничений, однако увеличение таблицы много более неприятно, чем введение лишних дополнительных ограничений.

13.2. Примеры (Гомори [79])

Приведем два примера, иллюстрирующие алгоритм. Произво­ дящую строку и ведущий столбец обозначим стрелкой, а ведущий

по первому сверху нецелому элементу в нулевом столбце соблю­ даться не будет. Справа от каждой таблицы выписаны некоторые замечания относительно отсечений, на которые читатель не дол­ жен обращать внимания. Эти замечания относятся к последую­ щим главам.

Пример 1. Рассмотрим задачу целочисленного программи­ рования:

максимизировать

Х0 = 4#! + Ъх2 + х3

1 9 *