книги из ГПНТБ / Лобанов, Д. П. Гидромеханизация геологоразведочных и горных работ учеб. пособие

если определить количество энергии, вошедшее в трубку через сечение 7—1 и вышедшее из нее через сечение 2 —2 за время dt при установившемся движении. Используя закон сохранения энергии, определим энергию потока для объема, заключенного в пределах указанных поперечных сечений. Для сечения 1—1 она будет скла­ дываться из кинетической энергии массы (niuf/2)dt, потенциальной энергии давления p xF^u^dt (произведение силы давления р iF t на перемещение u ^ t) или {jppn/p)dt и потенциальной энергии веса жидкости, определяемой относительно условной нивелирной пло­ скости, gniZidt (произведение веса жидкости на высоту г,).

Следовательно, полная энергия потока, прошедшего через се­ чение трубки 1—1, будет

Аналогично получим энергию потока, прошедшего через сечение

2 - 2 ,

Разделив полученные выражения на gmdt, получим уравнение Бернулли для энергии положения

по которому полная энергия складывается из динамической высоты, пьезометрической высоты и высоты уровня. Она постоянна по всей длине трубки тока.

Для реальной жидкости на участке от сечения 1—1 до любого

Уравнение (1.8) приближенно характеризует баланс энергии в по­ токе для одномерного движения со средней скоростью через дина­ мический и пьезометрический напор, напоры от разности положений уровней и потерь энергии на трение.

Использование уравнения Бернулли характерно для решения

•10

Эта формула показывает, что при истечении жидкости через отверстие, при условии пренебрежения потерями на трение, скорость истечения определяется лишь высотой столба h.

В действительности скорость зависит от геометрических ха­ рактеристик отверстия, его расположения на стенке и режима те­ чения. Поэтому в формулу (1.10) вводится поправка, называемая коэффициентом скорости ср, т. е.

сительно слоя (например, подкрашенные струйки остаются выделен­

зависят все процессы переноса, трения в жидкости и истечения.

тивления движению определяются в зависимости от числа Re по различным формулам гидравлики, разработанным на основе экспе­ риментальных данных.

Переход ламинарного движения в турбулентное происходит в различных условиях при вполне определенном значении числа ReKp. Различают нижнее и верхнее критические значения числа Re, для которых характерны самые начальные возмущения и условия плав­ ного входа жидкости в поток.

11

При Re < 1160 возможно только ламинарное движение. При числах Re ^>6400 возможно только турбулентное движение. В диа­ пазоне критических чисел Re режим течения неустойчив (переход­ ная область). Аналогичная качественная картина наблюдается и при обтекании твердого тела потоком жидкости.

В инженерных задачах гидравлики большое значение имеют явления к а в и т а ц и и и г и д р а в л и ч е с к о г о удара. Ка­ витация происходит в капельных жидкостях и вызывается образо­ ванием в потоке полостей, заполненных паром или газом. Образо­ вание, например, в потоке воды пузырьков пара может быть вы­ звано понижением давления, возникающим вследствие возрастания скорости. Давление парообразования зависит от температуры (для

Явление кавитации может возникнуть в резко сужающейся трубке или канале, поскольку в соответствии с (1.7) в наиболее

потока) и при соответствующей температуре обусловливает воз­ никновение парообразования, а следовательно, кавитации. Появ­ ление кавитации всегда вызывает увеличение сопротивления и вле­ чет за собой вредное воздействие потока на поверхность твердых стенок (разрушение их), вибрации и шум.

При резком изменении скорости движепия в потоке (быстрое закрытие вентиля, остановка рабочего колеса насоса и др.) воз­ никает явление г и д р а в л и ч е с к о г о у д а р а . Это явление можно рассматривать как частный случай одномерного неустано-

поперечного сечения, то произойдет возмущение в потоке жидкости, которое распространится вдоль потока. Из физики известно, что

у вентиля возрастает давление, которое распространится вдоль по­

Таким образом, вдоль потока от вентиля будет распространяться повышенное давление (в виде удара, т. е. внезапного всплеска) со скоростью звука.

12

§ 3. ПОНЯТИЯ II ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИЗ ТЕХНИЧЕСКОЙ г и д р о м е х а н и к и

Движение потоков жидкости осуществляется под действием силы тяжести или давления, создаваемого насосом или турбомаши­ ной. При этом силы вязкости совершают фрикционную работу по формированию непрерывного скоростного поля потока, вследствие чего поглощается часть его механической энергии. Поэтому пере­ мещение жидкости сопровождается рассеянием или диссипацией энергии (процессом перехода механической энергии потока в теплоту).

При изучении течения жидкости различают кинематические и динамические характеристики потока. В последнем случае из всего потока выделяют некоторый объем и исследуют силовые связи между ним и окружающей средой. Силы, действующие на выделен­

вторым — нормальные силы, обусловленные давлением и вязкостью, а также касательные силы, порождаемые вязкостью и турбулентным трением жидкости.

Касательными силами по существу являются только силы вяз­ кости (физической), однако если произвести осреднение скоростного поля турбулентного потока, то обмен количеств движения между слоями осреднеииого движения можно представить в виде турбу­ лентной вязкости или турбулентного трения.

В гидродинамике указанные силы встречаются в виде непрерывно распределенных нагрузок. Поэтому пользуются понятием напряже­ ния силы. Напряжением объемных сил является объемный вес и инерция единицы объема. Напряжением нормальных поверхностных сил является давление, а касательных — касательное напряжение трения.

Ламинарное и турбулентное движения характеризуются раз­ личными касательными напряжениями трения. При ламинарном течении жидкости величина касательного напряжения трения опре­ деляется по формуле (1.2) И. Ньютона, выражающей общий закон вязкости при движении реальной жидкости.

Касательное напряжение трения при турбулентном движении жидкости можно представить в виде обобщенного выражения

При сильно развитом турбулентном течении касательное напря­ жение трения весьма мало по сравнению с турбулентным касатель­ ным напряжением трения, и им можно пренебречь. Тогда выраже­

13

где цт = pij (du/dl) — коэффициент турбулентной вязкости; Z0 — длина, характеризующая турбулентное перемешивание.

Характеристики ламинарного движения. Эти характеристики можно получить из основных дифференциальных уравнений движе­ ния вязкой несжимаемой жидкости гидромеханики. Если в этих уравнениях положить равными нулю составляющие скорости, пер­ пендикулярные к оси потока (трубы), а также градиент скорости du/dr в направлении, параллельном оси, то они приводятся к виду

где Ар — разность давления на расстоянии I трубы; г — расстояние взятой точки от оси трубы г = у.

Если положить, что скорость потока у стенки равна пулю, а г

Из уравнения (1.18) видно, что кривая распределения скоро­ стей — парабола, вершина которой лежит на оси трубы. Максималь­ ная скорость ит будет при г — 0, т. е. ит= Ap_R2/4p.Z.

В свою очередь, секундный объем протекающей жидкости

ламинарном течении жидкости в трубе определяются по формуле Пуазейля (рис. 2)

где Z и D длина и диаметр трубы, м.

Из уравнения (1.19) следует, что потери напора прямо пропор­ циональны скорости и динамическому коэффициенту вязкости жидкости и обратно пропорциональны квадрату диаметра трубы.

Характеристики турбулентного движения. При турбулентном течении перемещение жидкости можно рассматривать как случайно изменяющееся во времени движение вихревых масс, совершающих поступательное движение, причем в каждой фиксированной точке потока непрерывно меняются скорости и давления — имеет место пульсация скорости и давления. Если в какой-либо точке такого потока измерить скорость за некоторый промежуток времени, то получим кривую в виде волнистой линии, характеризующую пуль­ сацию скорости. Для установившегося движения осредненная ско-

Т

рость потока в точке

о

14

Другой характеристикой движения является величина размаха отклонении мгновенных скоростей от среднего значения (степень турбулентности), определяемая как

т

= (u — u fd t,

о

где аи — среднеквадратичная скорость; и' = и— и.

При турбулептпом движении жидкости осредиенная скорость быстро нарастает в пристеночном слое потока. В потоке при этом режиме вследствие неустойчивости основного осредненного движе­ ния зарождаются вихревые массы больших размеров; эти вихревые массы являются также неустойчивыми и порождают меньшие вих­

чем больше шероховатость трубы.

Обычно критическое число для труб не превышает ReKp = 6-103. Дальнейшее возрастание числа Re лишь усиливает интенсивность турбулентности, но не вызывает изменения качества движения.

Для характеристики турбулентного движения получила распро­ странение теория турбулентного переноса, в основу которой поло­ жена гипотеза о том, что отдельные объемы жидкости конечных размеров могут при своем движении переносить различные свойства (или вещество). По физическому процессу турбулентный перенос трактуется как хаотическое и беспорядочное явление, не связанное с динамикой потока, и представляется поэтому как бы наложенным на осредненпый поток. В действительности перенос осуществляется вихревыми массами (вихрями), которые имеют разные размеры. Поэтому величина 10 в формзчле (1.16) может колебаться в больших пределах и достигать поперечного размера потока.

Формулу (1.16) можно представить так

15

Для круглой трубы в зависимости от ее радиуса и расстояния от стенки 10 — 0—0,14. Установлено также, что при больших числах Re в первом приближении 10 можно считать величиной, независимой от и. Т. Карман нашел зависимость для 10 вида

где к = 0,38—0,4 — константа Т. Кармана, полученная эксперимен­ тально.

Использование теории переноса количества движения дает воз­ можность получить формулу для распределения средних скоростей по поперечному сечению ядра плоского турбулентного потока

. — и = — In 1 У ‘-т) +/ ‘- т]. я-21)

ничный слой. Для пристеночной области структура формулы при­ нимает вид

В случае значительной шероховатости стенки, как показывают измерения, распределение скорости зависит только от линейного размера шероховатости стенки и расстояния от нее у, т. е. u/v* = = Оказалось, чтопри шероховатых стенках трубы для пристеночной области потока, по аналогии (1.22), можно записать

16

а в области ламинарного движения, приравнивая (1.19) и (1.25),

Имеется прямая связь между к* и X, поскольку динамическая скорость выражается через v* = ]/т /р , т. е.

Это соотношение можно ввести в формулы для определения профиля распределения скоростей в поперечном сечении трубопро­ вода. Тогда получим, например, формулу для расчета коэффици­ ента сопротивления в шероховатых трубах (используют и другие формулы)

Однако в отношении учета шероховатости существуют опреде­ ленные ограничения. Например, в приведенных формулах шерохова­ тость представляется в виде одинаковых выступов по всей поверх­ ности трубы, хотя одни линейный размер этих выступов не может отразить всего разнообразия типов шероховатостей.

В коротких трубопроводах, насадках и патрубках для движения жидкости характерно изменение профилей скоростей от сечения к сечению. Для них определяются местные сопротивления по общей формуле h = %uz/2g1 где § — безразмерный коэффициент местных гидравлических сопротивлений.

Подобие гидродинамических явлений — основа научного экспери­ мента процессов движения жидкостей на моделях. Результаты экспериментов на моделях могут быть перенесены иа натуру при соблюдении условий подобия. В основу подобия положено сохране­ ние соотношения соответствующих геометрических размеров и физи­ ческих величин (времени, скорости, давления и т. д.), определяю­ щих рассматриваемое гидродинамическое явление на модели и натуре. Для этого используют безразмерные к р и т е р и и п о д о ­

би я .

Втехнических задачах встречаются изучаемые явления, которые поддаются математическому описанию процессов дифференциаль­

ными уравнениями. Экспериментальное изучение таких явлений производится для сравнения теоретических результатов с опытом. В этом случае критерии подобия находят из анализа этих уравнений.

Большинство технических задач, особенно в начальной стадии изучения отдельных сложных явлений, не имеют математического описания их уравнениями. В этом случае для получения безразмер-

-ных чисел используют теорию размерностей. В последующем при подтверждении закономерностей изучаемого процесса иа натуре полученные безразмерные числа можно рассматривать как критерии

п р и б л и ж е н н о г о т е х н и ч е с к о г о п о д о б и я .

18

Из анализа дифференциальных уравнений гидромеханики для некоторых идеализированных условий движения несжимаемой вяз­ кой жидкости получены следующие основные критерии подобия:

ностных сил давления к силам инерции и равно отношению перепада давления в двух точках потока к динамическому давлению, или скоростному напору. Ч и с л о Fr характеризует соотношение инерционных сил и силы тяжести в покое. Ч и е л о We .— соотноше­ ние сил поверхностного натяжения и силы тяжести (где а — коэф­ фициент поверхностного натяжения жидкости [Н • м/м2]).

В большинстве гидродинамических явлений техники величина давления и скорости в любой точке потока однозначно определяется числом Re. В этом случае числа Ей и Fr не являются критериями подобия и полностью зависят от других чисел. Например, при движении жидкости в трубе число Ей, как это следует из (1.25), выражает безразмерную величину сопротивления, т. е. Ей = Ар/ри2=

=/ ( R e).

Всвою очередь, число Фруда (Fr) совместно с числом Re имеет

определяющее значение для открытого потока, движущегося под действием силы тяжести. Число Вебера (W) имеет определяющее значение, например, для потока в виде струи, истекающей из насадки. Примером потока, при моделировании которого число Ей имеет определяющее значение вместе с Re, является поток в проточной части турбомашины.

Для приближенного технического моделирования критерии подо­ бия получают из теории размерностей с последующим подтвержде­ нием их экспериментом на натуре. В этой теории различают основные

мерность остальных физических величин, называемых п р о и з в о ­

Основой теории размерностей являются два положения: 1) о неза­ висимости отношения двух численных значений физических величии от выбора масштабов, выраженных в основных единицах измерения;