книги из ГПНТБ / Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы

сти 100—160 атм отмечается переход к проводимости, близкой к металлической. Отметим, что в закритической области элек­ тропроводность цезия значительно выше, чем у ртути.

Качественно резкое увеличение степени ионизации а с уве­ личением плотности газа при неизменной температуре можно объяснить следующим образом [3]. Если взаимодействие элек­ тронов с нейтральными атомами носит характер притяжения, то снижение потенциала ионизации /, приводящее к увеличению плотности электронов проводимости, можно описать с по­ мощью псевдопотенциала. Представим себе следующую физи­

ными атомами, то электроны рассеиваются при своем движении не на отдельных атомах, а на их цепочке. Такое движение, как показал Ферми [12], можно описать с помощью введения некото­ рого эффективного потенциала, названного им псевдопотенциа­ лом. Известно, что задачу о движении частицы в поле силового центра можно сформулировать с помощью граничных условий, накладываемых на волновую функцию в начале координат г=0, где находится силовой центр. Общее решение уравнения Шредингера при г—<-0 и / = 0 имеет вид

предположению достаточно медленным.

Если энергия взаимодействия частицы с силовым центром представляет собой регулярную (гладкую) функцию, то посто­

янную р необходимо положить равной нулю. Если же взаимо­ действие сингулярно, это не так, и граничное условие сводится

к определенному соотношению между постоянными а и Р:

причем величина а характеризует свойства потенциала взаимо­ действия. Пусть теперь частица (электрон) рассеивается на бесконечном числе силовых центров (нейтральных атомов), распределенных в объеме равномерно с плотностью п. Будем

340

Полагая и- 1> г 0, сумму можно заменить интегралом

и атом не образуют связанного состояния, т. е. столь простое рассмотрение исключает возможность образования отрицатель­ ных ионов. Это вполне реальный, хотя и не общий случай, по­ скольку известно, что большинство атомов не обладает сродст­ вом к электрону, а немногие атомы, способные образовать от­ рицательный ион, практически не обладают такой возмож­ ностью при не слишком низких температурах плазмь^.

Из выражения (33.12) следует, что взаимодействие элек­ тронов с системой атомов приводит к появлению состояния с отрицательной энергией, т. е. электрон как бы находится в слабой потенциальной яме, образуя связанное состояние даже в том случае, когда связанное состояние не образуется в поле изолированного атома. Если заменить каждый атом медленно меняющимся на расстоянии порядка г0 потенциалом О {г), таким, что

[U {г) dr — — 4лh2j(ma),

Величина U и является псевдопотенциалом, в поле которого эффективно движется рассматриваемый электрон. Псевдопо­ тенциал U в рассматриваемой модели характеризует снижение потенциала ионизации атомов / с увеличением плотности п.

Введем сечение упругого рассеяния электронов на ато­ мах q. Тогда

341

Это условие характеризует малое отношение амплитуды рас­ сеяния электронов к среднему расстоянию между атомами. Не­ равенство (33.16) не выполняется в условиях обсуждавшихся выше экспериментов со ртутью. Однако в случае цезия можно считать это условие приближенно выполненным по двум при­ чинам [1]. Во-первых, эксперимент с парами цезия проводился; при меньших давлениях (при больших значениях г0 — среднего расстояния между атомами). Во-вторых, поведение сечения рассеяния электронов на атомах цезия характеризуется эффек­ том Рамзауэра, т. е. сечение достаточно мало в сравнительна широкой области энергии электронов. Интересно, что подобная картина должна наблюдаться и в случае паров урана [7].

Дальнейшие рассуждения проведем, предполагая, что не­ равенство (33.16) выполнено. Тогда степень ионизации зави­ сит от величины псевдопотенциала следующим образом [3]:

Отсюда видно, что степень ионизации должна увеличиваться с ростом п, если

где ft — дебройлевская длина волны электронов. Поэтому при п>п*, согласно рассматриваемой модели, должно наблюдаться экспоненциальное увеличение электропроводности газа с увели­

циально, однако показатель экспоненты, по-видимому, является еще более сильным, чем это следует из выражения (33.19). Конечно, столь простые рассуждения не могут претендовать на количественное описание результатов экспериментов. Интерес­ но, что основной вывод об увеличении электропроводности с давлением в объеме при постоянной температуре получается теоретически достаточно просто.

В работе [8] сообщается об экспериментальном исследова­ нии непдеалыюй цезиевой плазмы на подогреваемой ударной трубе. Измерение скорости ударной волны, начальных значений давления и температуры паров цезия позволило авторам ра­ боты [8], пользуясь законами сохранения, вычислить энталь­ пию Н и давление Р плазмы за фронтом ударной волны и по­ строить уравнение состояния в калорическом виде Н(Р, V). Для нахождения диаграммы состояний была вычислена зави­ симость температуры Т от Р и объема V. Экспериментальные условия соответствовали изменению давления от 10 до 250 атм

342

и интервалу температур плазмы (500СН-13 ООО)0 К. При этом степень ионизации менялась от 10% до значений, близких к единице. Плазма в этих условиях является классической, по­ скольку длина волны электронов %е мала по сравнению с амп­

всех вариантах опытов, за исключением исследований состоя­ ния плазмы за фронтом отраженной ударной волны в условиях Р= 145—160 атм и 7 = 8000—9000° К, при которых достигается значение т)кл= 1,034-1*1.

Согласно определению, введенному в § 17, рассматривае­ мая плазма является умеренно плотной. Поскольку в данных

плазмы (см. § 17) предсказывает удовлетворительное описание состояния плазмы в приближении Дебая — Хюккеля в области с— 1, причем это приближение оказывается лучшим по срав­ нению с приближением, учитывающим вириальные поправки к дебаевскому члену в свободной энергии. Более того, вычисле­ ние показывает, что в выражении для давления дебаевский член следует умножить на коэффициент |< П , что приближает состояние плазмы к идеальному. Интересно, что такое ано­ мальное увеличение давления следует и из эксперимента [8].

Поскольку lD< r 0, можно предположить, что взаимодействие сильно экранированных зарядов является более слабым по сравнению с кулоновским. (Необходимо отметить, что понятие дебаевского радиуса здесь является довольно условным, по­ скольку дебаевская сфера содержит менее одной частицы.) Пусть потенциал взаимодействия ср= (е2/г) ехр (—г/Д). Тогда вычисление второго вириального коэффициента, выполненное в § 3, приводит к следующему выражению для давления [см. выражение (3.16)]:

дит к лучшему согласию с экспериментом, описанным в рабо­ те [8].

* Согласно формуле (17.3), е в / 2 раз меньше, поскольку в § 17 рас­ смотрена система электронов на компенсирующем фоне положительного за­ ряда. Поэтому интервал изменения е применительно к теории § 17 соответ­ ствует е=0,85=1,78.

3 4 3

Гл а в а т р и н а д ц а т а я

ОЧИСЛЕННЫХ МЕТОДАХ

ВТЕРМОДИНАМИКЕ ПЛАЗМЫ

§ 34. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Бурное развитие вычислительной техники открывает новые, практически неисчерпаемые возможности исследования, в ча­ стности и кулоновских систем. Использование ЭВМ позволяет изучать, например, термодинамику плазмы в условиях, когда характерные физические параметры отнюдь не малы. Как не­ однократно отмечалось, область безразмерных параметров, близких к единице, относится, как правило, к реальному со­ стоянию вещества, будь это неидеальный газ, жидкость или твердое тело. Поэтому численные методы чрезвычайно перспек­ тивны для получения конструктивных результатов. Численные методы в термодинамике развиваются в двух направлениях. Первое — численное решение уже сформулированных уравне­ ний, например решение уравнений типа уравнения Дайсона для функции Грина. На современном уровне численно интегри­ руется и трехмерное уравнение Шредингера, задающее харак­ тер движения частиц.

Другое направление использует известные законы элемен­ тарных актов взаимодействия частиц, например кулоновского взаимодействия заряженных частиц на не слишком малых взаимных расстояниях и случайного распределения частиц до взаимодействия по импульсу, координате и т. д. Прослеживая «судьбу» большого числа частиц, можно получить с точностью, определяемой статистикой, характерные макроскопические свойства системы. Этот метод получил название метода МонтеКарло и распространен в настоящее время достаточно широко.

Метод Монте-Карло интенсивно используется также при вычислении многократных интегралов. При этом вместо обыч­ ного интегрирования по регулярному множеству точек осу­ ществляется интегрирование по случайному их набору при не­ которых специальных правилах отбора этих точек. В статисти­ ческой физике подобным методом вычисляются конфигурацион­ ные интегралы системы, задаваемые статистикой Гиббса. При­ меры такого вычисления обсудим ниже. Метод Монте-Карло представляет собой способ вычисления, в котором вводятся спе­ циальные вероятностные элементы в противоположность класси­ ческой технике расчета, состоящей в последовательном осуще-

345

ствлении полностью детерминированных алгебраических опера­ ций. Существуют, кроме того, попытки получить точные значе­ ния энергии системы многих частиц «в обход статистики», т. е. с помощью решения совокупности уравнений движения, число которых совпадает с числом частиц.

Численные методы имеют смысл не только для получения конкретного результата в данной задаче. Задач — бесчисленное множество и было бы нерациональным решать каждую из них па ЭВМ. Важно, что численное решение характерных задач облегчает аналитическое исследование, приводящее к серьез­ ным обобщениям. Иногда численное решение позволяет обна­ ружить качественные закономерности, которые трудно предви­ деть априори, например найти новые характерные малые пара­ метры задачи. В этом случае, как правило, вступает в силу мощный инструмент физика-теоретика — метод аналогий.

В природе существует много, казалось бы на первый взгляд, качественно различных явлений, которые, однако, опи­ сываются однотипной (или просто одинаковой) системой урав­ нений. Поэтому обнаружение нового малого параметра в одной из задач позволяет понять явление, относящееся к другой об­ ласти физики и быстро получить аналитическое решение пу­ тем разложения по однотипному параметру. Расчеты на ЭВМ позволяют, кроме того, установить область применимости раз­ личных приближенных аналитических методов. Часто бывает так, что аналитический критерий применимости «затягивается», т. е. решение является еще достаточно корректным в области, где, согласно буквенному критерию, этого не должно быть. Примером может служить так называемое борцовское прибли­ жение, широко используемое в задачах рассеяния частиц. Применимость этого приближения заметно «затягивается» в область относительно малых скоростей сталкивающихся ча­ стиц.

Разумеется, численное решение не нужно фетишизировать, полагаясь лишь на него. Необходимо подчеркнуть, что работа на ЭВМ должна сочетаться с глубокой работой аналитика. Прежде чем приступать к численному исследованию, необходи­ мо правильно поставить задачу, выбрать наилучшую из воз­ можных моделей, базирующихся на современных представле­ ниях. Этим в основном определяется ценность полученного численного результата. Не следует забывать также, что ЭВМ отнюдь не «все может», ибо закладываемая в нее информация неизбежно ограничена уровнем наших знаний. Если, например, нет достоверных данных о силах взаимодействия частиц, что имеет место в ядерной физике, то нельзя питать больших на­ дежд на численные расчеты. Не следует, во всяком случае, проводить «чрезвычайно точные вычисления», превышающие точность заложенной в машину исходной информации. Правда, часто оказывается полезным так называемый м а т е м а т и ч е -

346

с к и й э к с п е р и м е н т , когда в машину закладываются весь­ ма различные предположения, например о взаимодействии ча­ стиц, и исследуется реакция системы на эти различные пред­ положения. Разумные предположения соответствуют разумной

реакции и эксперименту.

Существуют, однако, системы, в которых микроскопический

и интересным результатам уже сегодня. Такое положение имеет место, например, в теории молекулярных соединений.

§ 35. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО В СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ

Обсудим использование метода Монте-Карло в задачах ста­ тистической физики, и термодинамики плазмы в частности [8]. Совершенно ясно, что метод, дающий возможность непосредст­ венно вычислять конфигурационный интеграл ZN (или стати­ стическую сумму) системы многих частиц, если это можно сде­ лать достаточно точно, является идеальным методом по срав­ нению с приближенными методами расчета, предполагающими

или в аналогичных интегральных выражениях, определяющих средние значения функций от координат по ансамблю

прямого интегрирования на усреднение по множеству случай­ ных событий (или конфигураций системы). При этом события (или конфигурации) образует цепь Маркова с постоянными вероятностями переходов р ц > 0*. Конфигурационное прост­ ранство изучаемой системы подразделяется на некоторое до­ статочно большое число В одинаковых ячеек, которые нуме­ руются произвольным образом.

* Немногие необходимые сведения из теории однородных цепей Маркова можно получить в любом учебнике по теории вероятностен (см., напри- «ер, [7]).

347

Соотношения (35.1) и (35.2) записаны для канонического ансамбля частиц. Однако, как это впервые отметил Чезант [10], метод Монте-Карло, построенный для большого канониче­ ского ансамбля, обладает большими возможностями. Это не­ сколько подробнее будет рассмотрено ниже, а пока обсудим параллельно как случай канонического, так и случай большого

канонического ансамбля. В последнем случае вместо (35.2) следует писать

Величина Aj характеризует состояние системы N частиц при определенном их распределении по ячейкам (т. е. определенную их конфигурацию). Метод Монте-Карло позволяет рассматри­ вать совокупность всех возможных Л; как набор значений слу­ чайной дискретной величины, распределенной с вероятностью

Проводя достаточно большое число испытаний М, можнообразовать совокупность Ль Л2, ..., Ам и вычислить последо­ вательность значений F(A\), К(Л2), ..., F(AM). Тогда, соглас­ но известному закону больших чисел [7],

м

!=\

Отметим, что в случае рассмотрения большого каноническо­ го ансамбля состояния Aj отличаются друг от друга не только конфигурациями, но и числом частиц.

Совокупность состояний Л], Л2, ..., Ам, отвечающую задан­ ному распределению (35.4), получают построением соответст­ вующих цепей Маркова (ЦМ). Совокупность случайных собы­ тий Aj образует ЦМ с постоянными вероятностями переходов

348

(шагов) Ai-+Aj, равными рц>0 и удовлетворяющими для всех i условию нормировки

(35.6>

Вероятности переходов Рц удовлетворяют также принципу микроскопической обратимости (аналог принципа детального равновесия):

справедливому для всех i и /. Таким образом, зная вид рас­

А2 , ..., Ам, по которому в соответствии с правилом суммиро­ вания (35.5) можно вычислить средние значения < . . . > всех интересующих нас величин.

вычислить Uj и далее с помощью соответствующей цепи Мар­ кова найти < .N > IV = n, dn,:d\i, среднюю энергию < £ /> , а также давление Р, корреляционные функции и т. д. При этом для решения системы уравнений (35.7) достаточно знать ц,- с точностью до постоянного множителя. Отметим, что при задан­

превышает число уравнений. Поэтому в пространстве А ; суще­ ствует большое число цепей Маркова, позволяющих решатьпоставленную задачу. Конкретный выбор p{j проводится обыч­ но из соображений простоты расчета, а также минимальности числа шагов М, при котором рассматриваемая цепь выходит па стационарный участок, и т. д.

Часто в конкретных расчетах удобнее пользоваться одпо-

хода Aj-*-Aj за п шагов. Если при этом все Л,- образуют одни эргодический класс, т. е. все эти состояния нс периодические, и из любого состояния Л, достижимо любое состояние при некотором числе переходов п, то существуют предельные веро­ ятности

349“