книги из ГПНТБ / Закиров, С. Н. Проектирование и разработка газовых месторождений учебное пособие

Используя формулы (5) и (7) (без остаточных членов), задачу (16)—(17) представим в конечно-разностной форме (для простоты звездочки опустим):

На рис. 37, я представлена область интегрирования уравнения (13), а на рис. 37, б — область интегрирования уравнения (16).

Отсюда следует, что

Формула (19) для аппроксимации первой производной несколько отличается от выведенной ранее формулы. Формула (6) позволяет аппроксимировать первую производную в некоторой точке со вторым порядком точности при использовании значений функции в точках слева и справа от нее. У узловой же точки м0 (см. рис. 37, б) нет соседних точек слева. В ряде литературных источников пока­ зывается, что если использовать значения функции в точках i = 0 , 1, 2 для выражения первой производной в точке i = 0, то достигается второй порядок точности аппроксимации.

Уравнение (16), так же как и уравнение (13), нелинейное, потому что перед временной производной стоит коэффициент, в который входит искомая функ­ ция р*. Соответствующая система конечно-разностных уравнений (18) оказы­ вается также нелинейной. Решение системы нелинейных алгебраических уравне­

ний по сравнению с системой линейных уравнений представляет большие труд­ ности.

Если записать систему уравнений (18) в виде:

г = 1, 2, 3.......... n — 1,

то она представит собой систему линейных алгебраических уравнений.

120

Здесь использован общий прием, который часто применяется при численном решении нелинейных дифференциальных уравнений, т. е. нелинейный член в (20) вычисляется по найденному решению на /-м временном слое. При расчетах второго приближения на / + 1-м временном слое вместо значений pi, / исполь­ зуются найденные в первом приближении значения pi,i+i (перед производной по времени) и т. д. Об этом подробнее будет сказано ниже.

Уравнения (20) и (19) дают нам, таким образом, следующую систему линей­ ных алгебраических уравнений.

При:

в каждом уравнении (за исключением последнего) содержится по три неизвестных функции. Неизвестные функции имеют наименьший индекс по г, в первом урав­ нении равный 0, во втором — 1, в третьем — 2 и т. д. Такая система уравнений называется системой с трехдпагональной матрицей. Для таких систем разработан простой и эффективный метод решения, называемый иногда прогонкой.

Рассмотрим решение системы уравнений (21) методом прогонки. Решая совместно первое и второе уравнения системы (21), получаем

Рекуррентное соотношение (26) справедливо для £ = 1, 2, 3, . . . , (га — 1).

121

индекса i и затем в вычислении в обратном порядке величин р|, у+ 1 (в порядке

по формулам (29) и (26) определяются величины квадратов давления (а затем и давления в первой степени) в каждой узловой точке i в момент времени (/ + 1) т-

Втакой последовательности проводятся расчеты на каждом временном слое до заданного момента времени 0 .

Втабл. 9 приведены результаты расчетов для безразмерного дебита §* = 0,1

при соотношении радиусов - £ = 5000 [39]. По результатам этой таблицы ti с

построены профили квадратов давления по пласту (в функции и) в разные мо­ менты времени © (рис. 38). Из рисунка следует, что решение задачи в координа­ тах p2-i-u имеет почти прямолинейный характер. Поэтому оказалось возможным при решении выбрать достаточно большой шаг Дии ограничиться проведением расчетов лишь для 17 узловых точек по пространственной координате.

122

На рис. 39 дается зависимость изменения во времени квадрата забойного давления, построенная по данным табл. 9. Рассмотрение рис. 39 показывает, что примерно с момента времени 0 = 0,2 забойное давление изменяется практически по прямой линии. Это означает, как уже отмечалось, что при численном решении дифференциальных уравнений параболического типа можно значительно увели­ чивать шаг по времени без снижения точности результатов расчетов.

Для интегральной проверки точности решения используется уравнение материального баланса. Для рассматриваемого примера оно записывается в виде:

qtpa-T

Из уравнения (32) следует, что величина q* 0 представляет собой долю ото­ бранных запасов rasa на момент времени 0 .

или соответственно в безразмерных переменных

о

щ

123

125

ветственно.

В заключение можно отметить сходство порядка и характера решения изло­ женной задачи с задачей о неустановившемся притоке газа к галерее, дрени­ рующей полосообразный пласт конечной длины [39], или с задачей определе­ ния показателей разработки газовой залежи системой скважин, размещенных в центральной зоне (при соответствующей схематизации пласта).

§ 7. Применение электрических моделей для решения фильтрационных газогидродинамических задач

Многие задачи, которые приходится решать при проектировании, анализе и определении перспектив разработки газовых и газоконден­ сатных месторождений, сводятся к интегрированию дифференциаль­ ных уравнений параболического типа. Необходимость учета боль­ шого многообразия геологических факторов приводит к существен­ ному усложнению исходных дифференциальных уравнений. Часто

Впервые возможность решения на электрических сетках диффе­ ренциальных уравнений в частных производных показал С. А. Гершгорин, а затем Л. И. Гутенмахер. Применительно к фильтрационным задачам метод электроаналогий использован Л. И. Гутенмахером, Ю. Г. Толстовым и М. Маскетом. Дальнейшим исследованиям при­ менительно к решению теоретических и практических задач разра­ ботки нефтяных и газовых месторождений методом электроаналогий посвящены работы Л. И. Гутенмахера, П. М. Белаша, А. П. Кры­ лова, Л. Г. Когана, М. М. Максимова, О. И. Дорохова, Г. Либмана, У. Карплюса и других исследователей [3, 22, 37, 46, 47, 81].

126

Идею метода электроаналогнй проще всего проследить на примере основного уравнения теории упругого режима фильтрации. Уравнение неустановившейся фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде относится к дифферен­ циальным уравнениям параболического типа. При фильтрации однородной жидкости в неоднородной по коллекторским свойствам пористой среде распреде­

Здесь к ( х , у ) , Р*(х, у ) , h (х, у ) — соответственно коэффициенты прони­ цаемости и упругоемкости, а также мощность пласта в точке с координатами х и у; р. — коэффициент динамической вязкости жидкости.

Процессы, происходящие в электрической сетке, составленной из сопро­ тивлений R и емкостей С по схеме рис. 40, в любой момент времени также опи­ сываются аналогичным дифференциальным уравнением

и техники моделирования, которые описываются в специальной литературе

[17, 37].

Сопоставление уравнений (1) и (2) показывает, что давлению р в пласте может быть поставлено в соответствие напряжение и в рассматриваемой элек­ трической сетке. Следовательно, вводя коэффициент пропорциональности (подо­ бия) Ср между потенциалом и в некоторой точке электрической сетки и давле­ нием р в геометрически подобной точке пласта, можно написать

Согласно теории подобия, для достижения геометрического подобия обла­ стей (натуры и модели) каждому шагу сеточной области модели должен соответ­ ствовать линейный размер пласта М, называемый масштабом электрической сетки:

хУ_

При решении на электроинтеграторах задач подземной гидродинамики аналогом электрических сопротивлений являются фильтрационные сопротивле­

Вводя коэффициенты подобия CR и Ср, можно установить соотношение между указанными электрическими величинами и параметрами продуктивного пласта:

Коэффициенты подобия должны быть установлены и между временами про­ текания электрических и фильтрационных процессов. Обозначая коэффициент подобия для времени через С;, запишем

1 Об учете краевых условий при решении уравнений типа (1) и об особенно­ стях методики моделирования будет сказано ниже.

127

с сопротивлением R.

Если в пористой среде выделить элементарный объем hAx Ау, то расход

Из уравнений (10) и (11) следует, что в электрической сетке силе тока г соответствует расход жидкости q при ее фильтрации через пористую среду. Введем коэффициент подобия Cq между силой тока и расходом жидкости так, что

гой жидкости в упругой пористой среде возможно при введении коэффициентов подобия согласно равенствам (3)— (7) и (12) и соблюдении условий подобия (9)

и(14).

Вусловия подобия (9) и (14) входят шесть коэффициентов пропорциональ­ ности. Это позволяет четыре коэффициента подобия выбирать произвольно, например, с учетом конструктивных особенностей модели и исходных данных,

адва других коэффициента вычислять с использованием условий (9) и (14). Известно, что, например, набор (комплект) номиналов сопротивлений и емкостей

вэлектрических моделях довольно ограничен. Поэтому коэффициенты CR и Cg

приходится выбирать исходя из наличных номиналов электрических сопроти­ влений, емкостей и значения параметров p/ftft и p*ft пласта.

128

Граничное условие (17) показывает, что скважины эксплуати­ руются при постоянных во времени дебитах, приведенных к р ат и Т пл. Граничное условие (18) характеризует газовый режим и ука­ зывает на непроницаемость внешней границы Г пласта.

Аналитическое решение задачи (15)— (18) связано со значитель­ ными математическими трудностями. Ввиду того что неустановившаяся фильтрация газов в пористой среде описывается дифферен­ циальными уравнениями параболического типа, исследователи стремились использовать метод электроаналогий применительно к рас­ четам по разработке месторождений природного газа. Однако вслед­ ствие нелинейности исходных дифференциальных уравнений значи­ тельное время не удавалось предложить приемлемую методику использования возможностей аналоговых машин.

ОВ,17 12,Зк 18,51 г щ 30,8537,02 $3,19 Ц 3655,53 51,70

£, Ю6с

Рис. 41. Зависимость т = т (t)

Впервые процесс неустановившейся фильтрации идеального газа удалось смоделировать П. М . Белашу на электроинтеграторе при линеаризации уравнения Л . С. Лейбензона на каждом временном слое. Однако при этом требуется значительный объем вычислитель­ ной работы.

Введение, согласно Л. С. Лейбензону [42], новой временной пере­ менной т

Н . Г. Степанову, Ю. В. Фрумсону, Э. Чен-Син, И. В. Шипкову на разной основе и почти одновременно свести нелинейное дифферен­

130