Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие]

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

15.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 4934 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 > Следующая >>>

s 7.4. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

3 31

1) вектор-функция х*(-) была экстремалью функ ционала & ( х ( - ) ) , т. е. чтобы удовлетворялось уравне ние Эйлера-.

2) интегрант L был	регулярен	по £ для всех	(t, х)
из некоторой области	V с R X R".	содержащей	точки

V, **(0);

3) вдоль	x*(t)	выполнялось	усиленное условие
Якоби, т. е.	на полуинтервале {to, t\] не было точек,			со
пряженных с точкой to.			не оговорили	при
З а м е ч а н и е .		Мы сознательно

формулировке теоремы требований гладкости интегранта и экстремали. Эти требования должны быть такими, чтобы можно было применять предложение 3. Было отмечено, что достаточно четырехкратной дифференци руемости, но эти условия гладкости не выглядят есте ственными и скорее всего излишни для получения ре зультата.

Укажем еще на одну форму последней теоремы и тем

самым свяжем этот параграф с рассмотрениями §		7.1.
Т е о р е м а	4'. Пусть вектор-функция x* (t) является
экстремалью	функционала ^ ( х ( - ) ) , задаваемого	ре

гулярным интегрантом. Пусть, далее, на экстремали x*(t) выполнено усиленное условие Якоби. Тогда в точ ке х*(<) существует стандартная локальная К-функция задачи (1).

Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу предложения 3 экстре маль х*(/) можно окружить центральным полем экстре малей. По этому центральному полю построим функ цию o(t,x), равную Д'-длине от центра нашего поля до точки (t,x). Положим

332		гл.	7. Д о с т а т о ч н ы е у с л о в и я					э к с т р е м у м а
В силу предложения 2 получаем:
		да	L(t, х, U(t, x ) ) - ( p ( t ,						х)\ U(t, х)),
		dt	L(t, х, U(t, x ) ) - ( p ( t ,						х)\ U(t, х)),
		dt
		да (t,		х)	p{t, X ) = Ljc{t,			x,	U [t, A ') ) ,
			дх		p{t, X ) = Ljc{t,			x,	U [t, A ') ) ,
			дх
где	U it,	x) — функция				наклона	поля. Отсюда следует
(в	силу	равенства			.У(**(•)) =		o(fi.i) — о(^о,о)), что:
З Ч * ( - ) ) - Ф ( * ( - ) ) =
		*1		х, х)		dt			дх
	=J(*.it,			х, х)		dt			дх	дс) x)\dt =
						да (t, х)	(	да it,		дс) x)\dt =
			М
		=	J	(L it,	X,	х) — L it,	х,	и it, х)) +
		+	ix — и it,			х) I Lie it, х,		и Ц,		a)))) dt =
						11
						= \| # it, x,				U it, x), x) dt > 0.
Но это и означает, что ф ( * ( - ) )							есть /(-функция задачи
(1). Теорема 4'				доказана.
	Теорема 4 следует из нее автоматически.
	Следующий пример показывает, что усиленные усло

вия Лежандра и Якоби вместе с условием Вейерштрасса, выполненным вдоль экстремали, все же не гаранти руют, что экстремаль доставляет минимум.

П р и м е р (Вольца).

( 1. 0)

9 i x i - ) ) — [ ( i 2 — 4*x3 + 2tx4) dt-> inf.

( 0 . 0)

Функция .*:.(•)== 0 является экстремалью. Параллель ное поле хЦ, к ) = к окружает ее, а интегрант на экстре мали имеет вид хг + 2/х4, т . е. является выпуклой функ

цией	х. Из сказанного вытекает, что на экстремали
а%(-)	выполнены достаточные условия слабого мини

мума. (Отметим, что для обоснования выполнимости

условия	Якоби	надо воспользоваться необходимостью
в предложении		3.) Кроме того, выполнено необходимое
условие	Вейерштрасса. Сильного минимума, однако,

	§ 7.4. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ				333
нет.	Чтобы убедиться	в	этом, надо	взять	ломаную
x(t, т, А,), обращающуюся			в нуль на	конце	отрезка
[О,	1] и имеющую один	излом в точке		т на высоте А.

Простой подсчет показывает, что при сколь угодно ма лом А можно взять т таким, что & (х (•, т, X)) < 0.

Существо дела здесь в том, что интегрант L регуля рен здесь только вдоль экстремали, и эта регулярность нарушается в сколь угодно малой окрестности ее.

7.4.5. Уравнение Гамильтона — Якоби. Вернемся к рассмотрениям п. 7.4.2. Чтобы не заострять внимания на несущественном, будем предполагать интегрант задачи

(1)бесконечно дифференцируемым, всюду регулярным

ирастущим на бесконечности по последнему аргументу быстрее первой степени |||:

L (t, х, \|)/\| 1 1—►°°, I %\|—>°°.
При сделанных допущениях уравнение
p = L i ( t , x , u )	(13)

имеет единственное решение: по р единственным обра зом находится и и по и однозначно находится р. Обоз начим через 3>6{t,x,p) функцию (р\и) — L{t,x,u), где

и находится из (13). Написанное преобразование рас сматривалось нами в гл. 3 (см. сноску на стр. 183) и

было названо преобразованием Лежандра. При сделан ных допущениях преобразование Лежандра совпадает с подробно изученным в главах 3, 4 преобразованием Юнга — Фенхеля:

Ж (t, х, р) = шах ((р ||) — L (/, х, I)).

Одним из самых интересных явлений в классическом вариационном исчислении является возможность двой ного описания решений стоящих там задач. Оно свя зано с инфинитезимальным подходом, о котором много говорилось в этой книге. Основным аппаратом при этом подходе является аппарат обыкновенных дифферен циальных уравнений. Но возможен и другой путь — гло бальный, основанный на изучении семейств экстремалей. Аппаратом здесь служит теория уравнений с частными производными первого порядка — теория Гамильто на — Якоби. В вариационном исчислении оба подхода

334 ГЛ. 7. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА

сливаются в тесном единстве. Для того чтобы понять причину этого, вернемся к обсуждению понятия гильбер

това поля.					поля функ
Пусть	Г {t, х) — некоторое гильбертово				поля функ
ционала	ЛУ(х(-))	в области V.		Если	обозначить
p ( t , x ) =	L*(t, x,t(t,	х ) ) , то	получится, что
Ж (t, х, р (/, *)) =		(р (/, х)	\|Г (it, х))	— L (t,	а;, Г (t, х)).

Во вновь введенных обозначениях определение гильбер това поля будет звучать так: форма

6 = — Ж (t, х, р (t, л:)) dt + (р (t, х) |dx)

(14)

является	полным дифференциалом. Следовательно, с
гильбертовым полем можно связать функцию
		(t.x)
S ( / , * ) =	Г 6 =	Г (p{t,x)\dx)— Ж (t, х, p{t, x))dt, (15)
	V	«о. *o)

где интеграл берется по любой кривой, соединяющей точку (^о, л:0) с точкой (t, х). Эту функцию, следуя тра диции, идущей от классической механики, называют

действием *).

П р е д л о ж е н и е 4. Функция S{t,x), определенная соотношением (15), удовлетворяет следующему уравне нию в частных производных:

-ds	+ ж (t, х,	д8{д1; — ) = о.	(16)
Наоборот, всякому решению		S(t,x) последнего уравне

ния соответствует гильбертово поле Г(^, х), по которому с точностью до аддитивной постоянной функция S(t,x) восстанавливается по формуле (15).

Уравнение (16) называется уравнением Гамильто на — Якоби.

Доказательство первой части предложения полу чается сразу из определений. Что же касается второй

*) Из теоремы 4' можно вывести, что функция S(t,x), опреде ленная соотношением (15), будет 5-функцией в смысле § 7,1,

	§	7.4.	ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИИ				333
							333
части,		л	/ I \		dS	х\
части,	то, зная S (/,* ),				определим — ~	— и из соотно-
шения (13) найдем Г (/,* ):
	a s (/, х)			р (t, х) = Lk (t, х, Г (t, х)).
	дх			р (t, х) = Lk (t, х, Г (t, х)).
	дх
Тогда	(р\| Г) =	L (t, х, Г)			+ Ж ((, х, р) и
dS (t, х)				a s (t, x) \
dt				dx )
				=	L {t, x , T { t , x ) ) - ( V { t t x)\p{t, x)),

т. e. форма {{L (/, а:, Г (/, x)) — (Г (/, x) \p(t, л:))) dt + (p (t, x) |dx)

равна dS (t, x). Предложение 4 доказано.

Комментарий к гл. 7. Зародыш понятия 5-функции содержится уже в принципе Гюйгенса (Гюйгенс [1]): волновой фронт есть линия уровня S-функции, построенной по заданному пучку траекторий. Теория Гамильтона — Якоби и метод динамического программирова ния Веллмана в теории оптимального управления дают описание S-функций, соответствующих стандартным возмущениям. Развивая идеи Гильберта [3], Каратеодори [1] (см. также Янг [2]) ввел, по су ществу, понятие локальной /(-функции для задач классического ва риационного исчисления. Глобальные /(-функции рассматривал Кро тов [3]. Исчерпывающее изложение теории для выпуклых функций содержится в монографии Рокафеллара [14]. Оттуда мы заимство вали термин «возмущение». Весьма подробное исследование до статочных условий проведено в последних работах Левитина, Милю тина и Осмоловского [1]. Их концепции весьма близки к некоторым нашим конструкциям из § 7.2. Упомянем еще работы Янга [2] и Иоффе [4], [6], где для задач вариационного исчисления проводится совместное изучение возмущений и /(-функций.

Г л а в а 8

ИЗМЕРИМЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ

Эта глава содержит фрагмент сравнительно новой ветви анализа, посвященной изучению многозначных отображений. Изложенные в этой главе факты группируются главным образом вокруг понятия измеримости. Особенно важны теорема измеримого выбора и различ ные условия, гарантирующие измеримость многозначных отображе ний (§ 8.1), теорема А. А. Ляпунова, теорема о выпуклости интеграла от многозначного отображения (§ 8.2) и теорема о конволюционном интеграле (§ 8.3). Всюду в этой главе, если нет специальных огово рок, через (Т, 2, ц) обозначается произвольное пространство с конеч ной положительной мерой. Читатель, не знакомый с абстрактной теорией меры, может без ущерба считать, что Т — отрезок действи тельной оси, 2 — совокупность его измеримых (в смысле Лебега) подмножеств и ц — мера Лебега на Т.

§8.1. Многозначные отображения и измеримость

8.1.1.Определения. Пусть X и У — некоторые множе ства, а 2У — совокупность всех подмножеств множества

У. Многозначным отображением из X в У называется

всякое отображение

F: Х - > 2 Г.

С этим определением мы уже встречались в § 0.2. Мно жества

gr F = {(x, y ) e X X Y \ y * = F ( x ) } ,

dom F — \x e X |F (x) Ф 0 }

называются соответственно графиком и эффективным множеством многозначного отображения F.

Можно указать несколько естественных операций с многозначными отображениями. Если F и G — много значные отображения из X в У, то многозначные ото

бражения

x->(F U G )(x) = E(x)UG(x),

x ^( F ( \ G ) (x) = F(x)nG(x)

§ 8.1. МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

337

называются соответственно объединением и пересече нием отображений F и G. Если G — многозначное ото бражение из X в У, a F — многозначное-отображение из У в Z, то многозначное отображение

x - > ( F o G ) ( x ) = U F (у)


						У^О(х)
называется	суперпозицией				отображений G и				F.	Если
У — линейное		пространство, a F, Fu F2— многозначные
отображения из X в У, то многозначные отображения
	x - * ( F t +			F2) (х ) =		Fi (*) +		F2(х),
	х - » (aF) (x) — aF (x),
	x —►(conv F) (x) =					conv F (x)
называются		соответственно				суммой		отображений		Fu
F2, произведением отображения F на число а и выпук
лой оболочкой отображения F.
Если У — линейное пространство, F — многозначное
отображение из X в У и все множества F(x)									выпуклы,
то отображение			F	называется			выпуклозначным			или
просто выпуклым. Пусть У — топологическое									простран
ство. Если	все		множества		F(x)		замкнуты		(открыты,
компактны),		то	многозначное				отображение		F назы

вается замкнутозначным (открытозначным, компактно значным) или просто замкнутым (открытым, компакт

ным*)). Наконец, если X		и	У — топологические					про
странства и график многозначного				отображения				F	из
X в У замкнут, то это отображение				называется				полу
непрерывным сверху.					из		в		У и
	Пусть F — многозначное отображение					X
у(х) — (обычное) отображение множества X						в У. Ото
бражение у(х) называется		сечением		многозначного ото
бражения F, если y ( x ) ^ F ( x )			при всех х 6			dom F.
	В этой главе мы рассматриваем главным образом
многозначные измеримые		отображения			в	R".		Пусть
(Т,	2, р )— пространство с	конечной		положительной					ме
рой	и пусть F — многозначное отображение					из	Т в		Rn.

*) В литературе эти термины часто употребляют в другом смысле: отображение F называют замкнутым (открытым, компакт ным), если его график есть замкнутое (открытое, компактное) мно жество.

338	ГЛ. 8. ИЗМЕРИМЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Мы будем говорить, что семейство {jcv(•)} (v е N) из меримых отображений из Т в Rn аппроксимирует много значное отображение F, если для всякого v е N мно жество

{ / e 7 4 * v( / ) e F ( 0 }

измеримо и почти при всяком / е Г множество F(t) принадлежит замыканию своего пересечения с множе ством

U М01-

V е N

Многозначное отображение F из Т в Rn будем называть измеримым, если существует счетное семейство измери мых отображений из Г в Rn, аппроксимирующее ото бражение F. Многозначное отображение, одновременно измеримое и замкнутое, называется нормальным.

Естественным было бы следующее определение. Мно гозначное отображение F из Т в R" естественно на звать измеримым, если для всякого открытого множе ства A cz R" множество

{tc=T\F(t)()A=£ 0 }

измеримо. Это определение, однако, не совсем удобно для наших целей, так как получение с помощью этого определения нужных нам результатов сопряжено с ря дом технических сложностей, да и проверка измери мости конкретных многозначных отображений требует подчас больших усилий.

Рассмотрим некоторые примеры.				Тогда
1)	П о с т о я н н о е	о т о б р а ж е н и е . Пусть А с: R".
многозначное отображение F ( t ) = A измеримо.			Аппроксимирующее
семейство образуют, например, вектор-функции xm(t) = хт,					где
'{•!, 2,	...} — счетное плотное подмножество множества А.			‘	и
2)	О т о б р а ж е н и е	К а р а т е о д о р и .	Пусть l / c R

g: Т X U-*■ R” — отображение, удовлетворяющее условиям Каратео

дори (см. §	0.4), т. е.	измеримое	по t при	всяком а е ( / и непре
рывное по и почти при каждом t s			Т. Положим F(t) = g(t, U). Тогда
отображение F измеримо. Аппроксимирующее семейство может быть
образовано,	например,	из вектор-функций		хm ( t ) = g ( t , u m), где
{«I, «2, ...} — счетное плотное подмножество множества 0.
3) И з м е р и м а я		т р у б к а .	Пусть х(-)' Т-*■R" — измеримая

вектор-функция, р (<)— измеримая почти всюду конечная неотрица тельная действительная функция. Положим

F ( 0 ={х е Г

| Г * -

х ( 0 К

Р ( О ) .

§ 8Л. МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

3 3 9

Чтобы убедиться в измеримости многозначного отображения F, до статочно положить xm(t) = x(l) + р (/)* т , где [xi,x2, ...} — счетное плотное подмножество единичного шара в R".

8.1.2.	Элементарные			свойства			измеримых			многознач
ных отображений. Из определения сразу следует										много-х
П р е д л о ж е н и е		1.	Пусть			F — измеримое
значное отображение		из		Т	в	Rn.	Тогда		множество
dom F измеримо.				С	точностью			до	множества
Д о к а з а т е л ь с т в о .
		оо
меры нуль	dom F = U		{ t ^ T \ x m(t)<=F(t)}.
П р е д л о ж е н и е		2.		Справедливы				следующие ут
верждения:					чем счетного семейства из
а) объединение не более

меримых многозначных отображений измеримо-, б) сумма измеримых многозначных отображений и

произведение измеримого многозначного отображения на число измеримы-,

в) если Ft и F — многозначные отображения из Т в Rn, причем отображение Fi измеримо и почти при вся ком t выполняется соотношение Fi(t)cz F(t)cz Fi(t), то отображение F тоже измеримо.

Доказательство следует прямо из определений.

П р е д л о ж е н и е 3. Выпуклая оболочка измеримого многозначного отображения — измеримое многозначное

отображение.		Пусть F — измеримое	много
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Пусть F — измеримое	много
значное отображение из Т в R". Положим
Л=== \|а== (а,,	•. •, а„+1) G
e R " + ,\|ai		п-И		)•
		< = i		)•
	неотрицательны, рациональны, 2 a f = l
Для каждого а е Л положим
		п+1
	f e (<) =	S a,F (<)

i=i

и пусть

Ф ( 0 = U Fa (t).

а е А

340 ГЛ 8. ИЗМЕРИМЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Отображение Fa измеримо согласно утверждению б), а отображение Ф — согласно утверждению а) предложе ния 2. Наконец, отображение Ф и conv F согласно тео реме Каратеодори связаны условиями утверждения в)


предложения 2. Предложение доказано.
П р е д л о ж е н и е			4.	Пусть F — многозначное ото
бражение из Т в Rn. Если для всякого						х е	R" множе
ства	{ t ^ T \ x ^ F ( t ) }		измеримы и отображение					F от
крыто, то оно измеримо.				Пусть	D =	{xlt х2, ...} —
Д о к а з а т е л ь с т в о .
счетное плотное множество в Rn. Так						как	множества
F(t)	открыты,	пересечения D f\| F(t) плотны в F(t). Для
доказательства		осталось		положить xm(t)==xm.
П р е д л о ж е н и е			5.	Пусть F\ и F2 — многозначные
отображения из Т в R” , причем первое измеримо, вто
рое	открыто и для всякой измеримой					вектор-функции
x(t)	множество {t <=T\x{t)<=:Fz(t)}				измеримо.			Тогда
пересечение отображений Ft и F2 измеримо.								— се
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Пусть {xi(t),		x2(t), ...}

мейство отображений из Г в Rn, аппроксимирующее многозначное отображение Ft. Мы покажем, что это же семейство аппроксимирует и Ft f) F2. По условию все множества

{/ е т,„(0^М0ПД>(0} =

={t е Т\ xm(t) е Ft (0) П [t ^ Т\ xm(t) е F2 (0}

измеримы. С другой стороны, поскольку множества F2(/) открыты, пересечения

плотны в Ft( / ) П Fz{t), откуда и следует предложение 5.

П р е д л о ж е н и е 6. Пусть F — нормальное много значное отображение из Т в Rn. Тогда для всякой

измеримой	вектор-функции	х ( - ) : Т —►R"	множество
{t е T\x(t) е	F(^)} измеримо.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим
Fe()= {€ = R "\| *e= F (/),		\х — а: (0 I < е),	е > 0.

Отображение Fe измеримо в силу предложения 5. По этому множества domFe измеримы (предложение 1), а

<<< < Предыдущая 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 4934 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ