книги из ГПНТБ / Основы авиационной автоматики учеб. пособие

Оптимальные процессы во времени приведены на рис. 8.25,6 и в. Графики •/(т) характеризуют закон изменения вращающего момента (или напряжения) двигателя.

Из рассмотренного следует, что для получения минималь­ ного времени отработки начального отклонения в системе не­ обходимо сначала осуществить разгон х с максимально допу­ стимым положительным ускорением (максимальным положи­ тельным моментом), а затем при максимальном отрицательном по знаку ускорении (максимальном отрицательном моменте) произвести торможение этой величины.

Указанный способ обеспечения минимального времени регу­ лирования в системе является следствием более общего прин­ ципа максимума Понтрягина Л. С., из которого вытекает [1], что для получения максимального быстродействия при любом порядке линейного дифференциального уравнения объекта все­ гда необходимо использовать релейное управление.

Если порядок уравнения объекта равен двум, то минималь­ ное время регулирования получается при предельном отклоне­ нии регулирующего органа в одну сторону и переключении его затем в противоположном направлении также на максимально возможную величину (одно переключение реле). В более об­ щем случае, если порядок уравнения объекта равен п, то для получения максимального быстродействия (при отрицательных вещественных корнях характеристического уравнения) за вре­ мя переходного процесса регулирующий орган должен п—1 раз

изображающей точки лежат па отрезке траектории хоцщ). При начальном положении на д'озиіз и на х^пц процессы уже не будут оптимальными. В первом случае процессы будут с пере­ регулированием, во втором — будет скользящий режим.

Для того чтобы при любых начальных отклонениях переход­ ный процесс был оптимальным, линией переключения должна быть сама фазовая траектория отп\р (и соответственно оп'т\'р' — в противоположном квадранте).

Непрямая линия переключения означает нелинейный харак­ тер воздействия корректирующего устройства.

Уравнение системы стабилизации углового положения кос­ мического летательного аппарата с нелинейной корректирую­ щей цепью будет иметь вид:

Функция f нелинейного корректирующего сигнала зависит от скорости X и свойств реле. Следовательно, для получения опти­

399

мального процесса релейная система должна снабжаться спе­ циальным вычислительным устройством, образующим функ­ цию f. Для уравнения (8.35) линией переключения ріщпо будет парабола

X + — з/2 = 0.

2

Множитель sign.v указывает, что квадратичная функция про­ изводной должна быть нечетной функцией (для образования линии переключения р'т\'п'о).

Для релейной следящей системы нелинейная функция име­ ет еще более сложный вид. Однако фазовая траектория, на ко­ торой должно происходить переключение, не сильно отличается от прямой. Мирясь с некоторым отступлением процессов от оп­

§ 8.4. МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ

Метод фазовой плоскости дает достаточно точную картину движения нелинейной системы, однако он применим лишь для систем второго порядка. Для исследования автоколебаний в системах, линейная часть которых описывается уравнениями более высоких порядков, удобно использовать метод гармониче­

его на системы автоматического регулирования для исследо­ вания устойчивости и автоколебаний нелинейных систем, и По­ повым Е. П., осуществившим его дальнейшее обобщение и раз­ витие (в частности для исследования качества регулирования нелинейных систем). Метод гармонической линеаризации по­ зволяет исследовать устойчивость систем и исследовать уста­ новившиеся процессы, т. е. определить амплитуду и частоту автоколебаний и получить зависимость основных параметров автоколебаний от параметров системы. Метод является прибли­ женным, но довольно широко применяется, так как по своему математическому аппарату является весьма простым и, кроме того, обеспечивает достаточно высокую для практики точность. Чтобы пояснить сущность метода гармонической линеаризации, представим нелинейную систему в виде двух частей: нелиней­ ной и линейной (рис. 8.26,а).

400

Применяя метод гармонической линеаризации, мы полага­ ем, что автоколебания в системе существуют в синусоидальной форме

X = А sin t,

где А и и) — искомые амплитуда и частота автоколебаний. Эти автоколебания, действуя на нелинейную часть, создадут на вы­ ходе периодический несинусоидальный сигнал, действующий на

б)

Рис . 8.26. К пояснению метода гармонической линеаризации:

а — представление нелинейной системы в виде нелинейной и линейной частей; б —

структурная схема нелинейной системы с од­ ним нелинейным элементом

входе линейной части системы. Однако линейная часть систе­ мы, как правило, представляет собой фильтр низких частот, хорошо пропускающий низкие частоты. Вследствие этого перио­ дический сигнал у на выходе линейной части системы превра­ щается в сигнал X, близкий к синусоидальному.

Подавление линейной частью высокочастотных гармоник по­ зволяет при анализе автоколебаний в нелинейной системе огра­ ничиться в первом приближении учетом лишь первой гармони­ ки периодической несинусоидальной кривой у.

Этот метод позволяет получить тем более точные результа­ ты, чем ближе линейная часть по своим «подавляющим свой­ ствам» к фильтру низких частот.

Структурную схему нелинейной системы с одним нелиней­ ным элементом представим в виде рис. 8.26,6.

dt

Нелинейная часть системы может быть представлена нели­ нейной функцией

Полагая, что F (х) — однозначная нечетная функция х, разло­ жим ее в ряд Фурье и ограничимся лишь первым членом ряда

ны нелинейного элемента. ф(/1) зависит от вида характеристи­ ки нелинейного элемента и амплитуды сигнала А, действующе­ го на его входе.

Рассмотрим некоторые типы нелинейных характеристик и со­ ответствующие нм зависимости ф(4).

Если на вход идеального нелинейного элемента (рис. 8.27,а) действует гармонический сигнал а' = і4 зіпшЛ то на его выходе

б — периодический несинусоидальный сигнал ре­

402

а амплитуду первой гармоники нелинейного элемента предста­ вим как

то отношение указанных комплексных величин и будет назы­ ваться передаточной функцией нелинейного элемента

циентом усиления W H(A), так как нелинейное уравнение (8.33) заменяется линейным (8.46). Такой процесс сведения нелиней­ ной зависимости к линейной носит название гармонической ли­ неаризации нелинейных зависимостей. Это название вытекает из разложения нелинейных колебаний на гармонические состав­ ляющие (гармоники) и пренебрежения высшими гармониками на выходе нелинейного элемента и линейной части системы. В результате гармонической линеаризации мы получаем своеоб­ разное линейное звено, коэффициент усиления которого ІУДА) зависит от амплитуды входного сигнала А.

Передаточные функции нелинейных звеньев с однозначными характеристиками (см. рис. 8.2,а, б, в) представляют собой дей­

404

лексный коэффициент усиления некоторой линейной системы и, следовательно, в данном случае имеет место гармоническая линеаризация нелинейной зависимости.

Гармоническая линеаризация нелинейных элементов дает возможность исследовать устойчивость нелинейных систем, вы­ явить автоколебательные режимы, оценить их устойчивость.

Понятие о передаточной функции нелинейного элемента по­ зволяет представить структурную схему в виде последователь­ ного соединения W H(jA) и W (jus) (рис. 8.29).

Р и с. 8.29. К пояснению метода гармо­ нической. линеаризации. Представление нелинейной системы в виде последова­ тельного соединения Wn{jA) и W (/шj

По правилу встречно-параллельного соединения звеньев пе­ редаточная функция для замкнутой системы есть выражение

а характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

входных колебаний и частоты. При постоянном значении А и изменении со от 0 до оо вектор W (/А , ш) вычертит на комплекс­ ной плоскости годограф, аналогичный амплитудно-фазовой ха­ рактеристике разомкнутой системы W (/со).

устойчива, и автоколебаний в ней не возникает. В этом случае

в системе возникнут колебания, то после снятия этих возму­

405

II, наконец, если j W (jA, <uj | = I, система находится па гра­ нице устойчивости, в системе будут автоколебания. Это проис­ ходит при определенных значениях А и ш, которые и являют­ ся искомыми амплитудой и частотой автоколебаний Аа и ша.

Следует заметить, что при однозначной характеристике не­ линейного элемента равенство t f ( с о ) г = — л может быть исполь­ зовано для определения возможной частоты автоколебаний, а

системы устойчивые решения, соответствующие устойчивым пе­

Если на комплексной плоскости построить амплитудно-фа­ зовую характеристику линейной части системы W (у'ш) и об­ ратную отрицательную передаточную функцию нелинейного элемента — Ен(/А), то пересечение характеристик будет ука­

4 0 6

зывать на наличие в системе автоколебаний. Пересечение ха­ рактеристик соответствует нахождению системы на границе ус­ тойчивости или прохождению годографа W ( j A , < s > ) через точку

Следует заметить, что если в системе имеются интегрирую­ щие звенья, то для получения области, охватываемой годогра­ фом W (/со), его приходится дополнять дугой бесконечно боль­ шого радиуса. В соответствии с определением передаточной функции нелинейного элемента его обратная передаточная функ- *

Поскольку W„(/'A) и En(jA) являются функциями комплекс­ ного аргумента, их можно представить в алгебраической и по­ казательной формах:

звеньев.

З в е н о с и д е а л ь н о й р е л е й н о й х а р а к т е р и с т и ­

годограф обратной отрицательной передаточной функ­ ции нелинейного элемента £„ (]А)

407

Однако он построен со знаком минус ( — EH(JA)), что’бы удоб­ нее было его использовать при расчетах, связанных с опреде­

На рис. 8.32 приведены амплитудные характеристики и годо­ граф — Е„ (JA ). Условно две сливающиеся ветви показаны раздельно. В действительности они обе располагаются на отри­ цательной вещественной оси.

408