книги из ГПНТБ / Основы авиационной автоматики учеб. пособие

запишем уравнение (8.11) в относительной форме

Оба рассмотренных примера привели нас к нелинейным диф­ ференциальным уравнениям, которые не могут быть исследо­ ваны излагавшимися выше методами линейной теории. Для ис­ следования процессов регулирования в релейных системах ши­ рокое применение получил метод фазовой плоскости, отличаю­ щийся достаточно хорошей наглядностью. Однако естественно, - что этот метод может быть использован для исследования си­ стем, описываемых дифференциальными уравнениями второго порядка. Исследование систем более высоких порядков анало­ гичными приемами вызывает необходимость отображения про­ текающих в них процессов в фазовом пространстве, и нагляд­ ность метода резко уменьшается. Рассмотрим основные поло­ жения метода.

§ 8.2. МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ

Методом фазовой плоскости исследуется поведение откло­ нений координат или переменных системы от их невозмущен­ ных значений. В данном случае в качестве невозмущенного движения принимается состояние покоя или равновесия систе­ мы, когда все ее координаты равны нулю (или постоянны).

Фазовой плоскостью называется плоскость, на которой по двум осям координат (х, у) откладываются переменные, харак­ теризующие состояние системы. В качестве таких переменных

dt

379

Уравнения (8.14) дают закон изменения во времени регулируе­ мой величины (отклонения) х и скорости у. Оба уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения некото­ рой кривой в плоскости X, у, где параметром является время t. Деля уравнения (8.14) почленно друг на друга (исключая параметр /), получим дифференциальное уравнение этой кри­ вой на фазовой плоскости

Осуществив интегрирование (8.15), получим уравнение интег­ ральной кривой у = F (х, с) на фазовой плоскости. Кривая у = F(x, с) называется фазовой кривой, где с — постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий.

Бесчисленное множество возможных начальных условий оп­ ределяет бесчисленное количество фазовых кривых. Фазовые кривые называются также фазовыми траекториями так называе­ мой изображающей точки т. Изображающая точка — это точ­ ка с координатами х т= х т{() и y m— y m{t). Положение изо­ бражающей точки на фазовой траектории указывает на значе­ ние отклонения х и скорости у в данный момент времени. По­ скольку при определенных начальных, условиях дифференци­ альные уравнения имеют единственное решение, то изображаю­ щая точка будет двигаться по вполне определенной траектории и при отсутствии внешних сил не может перейти на другую траекторию. Примерный вид фазовых траекторий для разных случаев приведен на рис. 8.9. На рис. 8.9,а и б показаны фазовые траектории устойчивой системы. В устойчивой систе­ ме, независимо от того, описывается ли ее поведение линейны­ ми или нелинейными уравнениями, переходный процесс зату­ хает, следовательно, при t ос, х -> 0 и у -- 0.

Это означает, что у устойчивой системы изображающая точ­ ка по фазовой траектории всегда будет двигаться к началу ко­ ординат. Если в системе возможны незатухающие колебания, т. е. уравнение (8.13) системы имеет периодическое решение, то изображающая точка будет непрерывно двигаться по неко­ торой замкнутой кривой (рис. 8.9,б) (замкнутому циклу), так как значение отклонений и скорости повторяется через период. И наоборот, замкнутым фазовым траекториям будут соответ­ ствовать периодические колебания в нелинейной системе, кото­ рые мы в дальнейшем будем называть автоколебаниями. Время одного оборота изображающей точки, очевидно, будет равно периоду автоколебаний. В неустойчивой системе изображающая точка уходит от начала координат, т. е. х и у нарастают бес­ предельно (рис. 8.9,г, д). Теперь можем провести исследова­ ние приведенных выше двух релейных систем автоматического регулирования.

380

Исследование проведем для различных видов релейных ха­ рактеристик. Отдельно оценим влияние запаздывания в релей­ ном усилителе и влияние корректирующих цепей (тахогенератора в следящей системе и скоростного гироскопа в системе ста­ билизации) .

Рис. 8.9. Примеры фазовых траекторий:

аи б — фазовые траектории устойчивых систем; в — фазовые траектории при наличии незатухаю­ щих колебаний в системе; г и б — фазовые тра­

ектории неустойчивых систем

1. Релейно-контактная следящая система с идеальной релейной характеристикой

Характеристику, приведенную на рис. 8.10, будет иметь ре­ лейное устройство с очень высокой чувствительностью. Пола­ гаем, что реле срабатывает мгновенно и, следовательно, ts = 0, а тахогенератор отключен.

381

Данное выражение является символическим обозначением скачкообразной функции, изображенной на рис. 8.10, и читает­ ся «знак е ». Выражение (8.16) можно заменить эквивалент­ ным выражением вида:

Исключив из (8.18) независимую переменную т, получим уравнение, связывающее х и у.

382

На рис. 8.12,0 по уравнениям (8.20) и (8.21) построены фа­ зовые траектории при различных начальных условиях для х = 1

и х = — 1.

Рис. 8.12. К пояснению построения фа­ зовых траекторий:

а — фазовые траектории при различных начальных условиях для х= 1 и х = —1; б — фазовая траектория упрощенной системы без запаздывания с идеальным релейным элементом

383

с каждым колебанием скорость, благодаря наличию потерь энергии в системе, уменьшается. Уменьшается амплитуда ко­ лебаний выходной оси (рассогласование), система стремится к состоянию покоя. Изображающая точка по спирали прибли­ жается к началу координат. Фазовая траектория имеет вид спирали с изломами на оси ординат, являющейся линией пере­ ключения реле. Изломы соответствуют моменту переключения реле и изменению знака момента сервомотора. Найдем зави­ симость выходной величины х и скорости ее изменения у от времени.

Воспользуемся первым уравнением системы (8.18). Так как х постоянна для правой и левой полуплоскости, то мы можем решить данное уравнение, считая х = const, и затем учесть изменение знака х при изменении знака х:. Решение уравне­

На основании (8.22) и (8.23) методом припасовывания началь­ ных условий можно построить графики изменения х и у в функ­ ции безразмерного времени т.

Рис. 8.13. Временные характеристики системы:

а — переходные функции х (т) и у (т); б — изменение * (график переключе­ ния реле)

На рис. 8.13 построены графики изменения х и у в функ­ ции времени. Эти графики соответствуют фазовому портрету

* Если из (8.22) и (8.23) исключить параметр т, то получим уравнения фазовых траектории (8.20) и (8.21).

системы (см. рис. 8.12). На этом же рисунке 8.13 показан про­ цесс изменения х, т. е. процесс переключения реле. Графики показывают, что частота переключения непрерывно растет, стремясь в пределе к бесконечности. Таким образом, в состоя­ нии покоя рассматриваемая система будет характеризоваться колебаниями бесконечно большой частоты и бесконечно малой амплитуды. Этот результат объясняется допущением, сделан­ ным выше, о возможности мгновенного срабатывания релей­ ного элемента системы.

2. Система стабилизации углового положения космического летательного аппарата с идеализированными релейными характеристиками

Рассмотрим процессы в упрощенной системе стабилизации углового положения летательного аппарата с релейным управ­ лением, структурная схема которой приведена на рис. 8.14.

рис. 8.2,6).

Величину зоны нечувствительности для релейной характе­

ристики F(x) обозначим о = — а, где а — угол рассогласо- k

вания, при котором происходит включение реактивного сопла. F(x) принимает следующие значения:

3 8 6

(8.24) представим в виде двух уравнений:

dy

(8.26)

öx

(8.27)

Деля первое уравнение на второе, найдем дифференциальное уравнение фазовых траекторий:

dy _ ■/.

(8.28)

dx у

Интегрируя (8.28), получим уравнение фазовых траекторий

ных условиях х0 и уо оказываются замкнутыми, так как пара­

При *■Ф 0 скорость изменяется по линейному закону, откло­ нение— по параболическому. При х = О скорость постоянная, отклонение изменяется по линейному закону. Графики времен­ ных зависимостей ij(f) и x(f)

приведены на рис. 8.16,а и б. Данной системе свойственно бесконечное множество перио­ дических колебаний, соответ­ ствующих бесконечному мно­ жеству начальных условий. Период колебаний определяет­ ся начальными условиями. Си­ стема с такими динамическими свойствами к эксплуатации не­ пригодна как неустойчивая.

нии сигнала через релейный усилитель. Изучим влияние запаз­ дывания в срабатывании реле и переключении регулирующего органа в системе стабилизации углового положения летательного аппарата. Для отдельных участков уравнения фазовых траек­ торий для данного случая и законы изменения координат х и у

в отключениях и включениях соплового аппарата скачкообраз­ ное изменение вращающего момента будет происходить после того, как ]х | достигает значения а.

Зная величину запаздывания, всегда можно определить точ­

£88