равен ,Т. Требуется определить ее дискретную передаточную функцию и найти ее реакцию в моменты kT на входную после довательность {хк} = 1 , 1 , ] , . . . .
zeiL
Р и с. 7.14. Пример
Составим р—2 -структуриую схему системы (рис. 7.14) с уче том р—2 -структурной схемы фиксатора. Дискретная переда точная функция W a (z) непрерывной части системы в данном случае равна:
\iZ |
|
|
(‘«О |
-Дт\ |
ИЛ,(z) = Ц |
z —е-77т |
|
|
Р( *Р+ Л |
(z— l)(z— е~ т1-л |
Общая передаточная функция равна: |
|
|
|
W(z) = W e(z) W„(z)= ( 1 - г - 1) |
ixZ (1— р—77х\ |
|
|
1—р—27* |
’ |
|
= ң- - ? - Ц - - |
|
(z—\){z - e~T!z) |
|
z — e~rix |
На основании определения передаточной функции получаем
V(z) = W(z)X(z),
или в более подробной записи
y ( z ) = !*1— е-Г/т z z —e~T'x z —
По ^-преобразованию требуется определить порождающую его последовательность. С этой целью функцию Y(z) следует разложить в степенной ряд по отрицательным степеням z. Для этого с помощью подстановки z = s“1 перейдем от 2 -преобра зования к производящей функции F(s):
F(s) = р.(1— е~тіх) |
- |
=(j.(l—а) |
1— |
1— 2 |
(1 —sa) (1—5) |
|
|
а = e~7/-. |
Функцию F(s) можно было бы разложить в степенной ряд по формуле Тейлора, однако это потребовало бы вычисления /г-той производной, что довольно громоздко. Поэтому поступим ина-
че. Представим с помощью метода неопределенных коэффици ентов функции F(s) в виде:
/=■($) = ц(1 —а) |
|
1 |
1 |
^ Т1 |
= [X |
Н— |
1і------—SCI |
1—sa |
1 |
из которого легко следует разложение в степенной ряд по фор муле для геометрической прогрессии
I |
CO |
оо |
\ |
оо |
|
— £ a!i sk + |
D s* i = |
S [p (1 - aA)] s*. |
|
*=.0 |
k=0 |
I |
* = 0 |
Отсюда получаем
vft= p( l - ^ ) = lx ( l - e - Tft-).
|
График этой выходной |
последовательности |
изображен |
на |
|
рис. 7.15. |
|
2. Дана дискретная система с экстраполя |
|
|
|
|
|
|
|
|
тор, сигнал с которого подается на уси |
|
и. |
|
|
лительное звено с коэффициентом усиле |
|
l l |
I |
--------- 3 |
ния |
|j.. Следует определить дискретную |
|
передаточную функцию |
этой системы, а |
|
|
|
|
|
Р и с . 7.15. Выходная по также найти ее реакцию на входной сиг |
|
следовательность |
|
|
|
|
|
|
|
|
нал 1, 0, 0, |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
В данном случае имеем W H(p) — — ц = |
— , |
W e(z)= 1. |
Да- |
|
|
|
|
|
|
Р |
Р |
|
|
|
|
лее получаем W H(z) — Л-р / — \ = |
{х.—-— и W(z) = W e(z)WH(z) = |
|
liz |
"• |
|
\ р I |
z — 1 |
W(z)X{z) |
— |
W(z) |
|
= |
Раскладывая функцию |
Y (z) = |
|
Z |
I |
|
|
|
|
|
|
OQ |
|
|
в ряд по отрицательным степеням z, получим |
Y (z) = ц |
1z ~ k. |
|
Таким |
образом, выходной сигнал |
|
|
|
k-0 |
|
|
y(t) в моменты времени kT |
|
будет |
равен y k = |х. |
|
|
|
|
|
|
|
§ 7.8. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЗАМКНУТЫХ
ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
Рассмотрим работу системы, схема которой изображена на рис. 7.16. Пусть дискретная передаточная функция разомкнутой системы (вычислять которую мы научились в предыдущем па раграфе) равняется W(z). В таком случае имеем
V ( z) = W ( z) E (z ), где E(z) = Z{ek}.
Учитывая, что E(z) = X(z) — Y(z), получаем
Y(z) |
W ( z ) |
(7.45) |
X(z) |
0 { Z ) . |
~ 1 + W(z) |
|
Формула (7.45) и определяет передаточную функцию замкну той системы.
Р и с. 7.16. Блок-схема дискретной замкнутой системы
Рассмотрим примеры.
1. Пусть требуется определить передаточную функцию и переходную функцию замкнутой системы (рис. 7.17).
Р и с. 7.17. Пример
Составим р—2 -структурную схему этой системы (рис. 7.18).
|
Передаточная функция W H(z) |
непрерывной части разомкну |
|
той системы равна W H(z) = Ар |
pTz -1 |
Передаточная |
|
ѴР21 ( 1- y-l\2 |
|
|
|
Р и с. 7.18. р—г-структурная схема
функция U7(г) разомкнутой |
системы равна |
|
|
W ( z ) ~ ( 1 - г - 1)*Т |
Г-1 |
pTz -I |
|
(1 - Z - 1)2 |
|
г - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее получаем |
передаточную |
функцию замкнутой |
системы |
|
1 + W{z) |
. . - г « - — |
. |
|
|
1 — (1 — цТ) z~l |
|
2 -преобразование |
переходной |
функции |
данной |
системы равня- |
ется Y(z) = Ф {z)Z { 1} = |
|
„. Tz -I |
1 |
|
Для опре- |
------------ --— - -------- • |
'1 I — (1 — рТ)2_1 1—2-1
деления членов у к выходной дискретной последовательности
перейдем от г-преобразоваиня У (г) к производящей функции F(s) II разложим ее в степенной ряд:
F(s) = |
V-Ts |
1 |
|
1 |
+ |
1- (1 — ?T)s 1— s |
|
1 — (1 — |
|
|
s |
|
*->0 |
|
ft~0 |
ft-0 |
|
Из последнего следует, что |
|
|
|
|
|
vft~ 1 |
- ( 1 |
- р Л*- |
|
Основываясь на данном примере, рассмотрим работу соответ
|
|
|
|
|
|
|
|
ствующей непрерывной системы (рис. 7.19) |
как |
предельный |
случай работы дискретной системы при Т |
0. |
Если Т — 0, то |
Кр) |
фиксатор представляет собой звено с пе |
редаточной функцией, |
|
равной 1, и соот |
|
ветствующая |
непрерывная система, |
как |
|
это |
нетрудно |
понять, |
имеет вид рис. |
|
7.19. |
Передаточная функция |
этой |
систе |
Р іі с. 7.19. Непрерывный аналог дискретной си стемы
мы-равна Ф(р)=-------- |
, а весовая функ- |
РІѴ-+1
|
|
ция Іі (/) —1— е- **'. |
1 —(1 —\>-Т)к. |
Для дискретной системы мы получили y(.tk) = |
Учитывая, что к — |
последнее соотношение для произволь |
ного |
дискретного t = |
кТ можно записать в |
виде: y(t) = |
= 1 - |
( 1 - ііЛ',т- |
|
|
|
Рассмотрим предел этой функции при Г-»- 0: |
|
|
lim [1 —(1 — р.7у г! =• ! — (Пт (1 —рГ)1*т1и<= |
|
г-о |
|
г-о |
|
|
1 |
і \и |
-v-t |
|
|
|
|
Следовательно,
lim у (t) = h (t).
г-о
Итак, при малых периодах дискретности работа дискретных систем весьма близка к работе непрерывных систем, и непре рывные системы могут рассматриваться как предельный случай дискретных.
2. Требуется определить передаточную функцию и переход ную функцию системы, изображенной на рис. 7.20. (Заметим, что данная функциональная схема соответствует работе радио дальномера.) Структурную схему этой системы изобразим в
виде рис..7.21. Передаточная функция разомкнутой системы (от точки а к точке Ь) равняется
W (г) = Ар Ü1 Q-Tp = Р Л' {1 {t—T)\ —p-Z (0, 1,1,...} =
Р
___ p .Z -1
1 - г - 1
Р и с. 7 2Ü Блок-схема радиодальномера
Передаточная функция замкнутой системы равна
где умножение на г учитывает сдвиг выходного сигнала (см. рис. 7.21) на один шаг влево по отношению к сигналу в точ ке Ь.
Р и с. 7.2!. р—г-структурная |
схема радио |
|
дальномера |
|
Из последнего получаем |
|
|
pz-1/ 1— Z-1 |
|
Ф(2) = |
y-l |
1+(р — |
l + pz: ’/I |
Переходная функция этой системы определяется из соотно>- шений:
|
У(г) = Ф [z) Z |
{ 1' |
|
Р |
1 |
|
1 + (р,— l)z _1 1 ~ z ~ l |
|
|
|
|
F(s) |
1 |
|
1 — у. |
1 |
|
1— s |
1—(1 —p)s |
1 |
|
1 н- ([JL — 1) s |
|
= - Е (1 - |0 * +1«*+ |
І У , |
j / * = l - ( l - t 7 * +I. (7.46)'. |
|
ft- 0 |
|
Ä =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переходные функции для различных значений |
р |
мзображе-. |
ны на |
рис. |
7.22. |
При ц > |
2, |
как |
это следует |
из |
(7.46), |
схема |
будет |
неработоспособна, |
так |
как |
переходная |
функция |
будет |
|
|
|
|
|
|
|
стремиться |
по модулю |
к |
бесконеч |
|
|
|
|
|
|
|
ности |
при |
&->оо. |
Этот случай, |
"f— |
|
— *—9- |
|
как мы увидим далее, соответствует |
|
I |
|
I |
I |
|
|
неустойчивой системе. |
|
|
|
і |
I |
А |
1=1 |
і |
і |
t |
|
§ 7.9. УСТОЙЧИВОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ |
СИСТЕМ
—і —'*-
т |
I |
I |
|
|
0 < / к 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
_1_ |
|
|
t |
|
|
|
|
|
Р и с. 7.22. |
Переходная |
по- |
|
следовательность |
|
|
чает, что |
для |
любого |
s > |
0 |
только ] |
( < |
S, то \укI < |
е. |
Дискретная система автоматиче ского управления называется ус тойчивой, если любому ограничен ному входному сигналу |л:А|<^С| соответствует ограниченный выход ной сигнал |y ft|< c 2. Нетрудно уста новить, что, как и в случае непре рывных систем, можно дать и дру гое, эквивалентное, определение ус тойчивости: система устойчива, ес ли бесконечно малому входному сигналу соответствует бесконечно малый выходной сигнал. Это озна найдется такое 8 > 0, что если
Докажем, что необходимым и достаточным условием устой чивости системы является абсолютная сходимость ряда весовых коэффициентов этой системы:
2 1 ё'й 1 = ^< со- |
(7.47) |
Достаточность. Дано: выполнение условия (7.47). Требуется доказать, что система устойчива, г-преобразования выходного и входного сигналов связаны соотношением
Y ( z ) = 0 ( z ) X [ z ) \
ОО / ОО \ / со \
2 Л « -* “ 2 ^ * " * |
, |
(7.48) |
к - 0 |
\ f t - 0 |
) \ к ~ о |
/ |
|
откуда следует |
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
У к = ё о Х к + |
ё і х к - і + |
’ • • + ё к Х 0 ~ |
2 ё і х к-і- |
(7.49) |
|
|
|
/-о |
|
Далее имеем
k |
< max \xh \ £ \g k \ < cxc = c2. |
І л Ь £ giXk. |
I=»0 |
к |
k=0 |
Отсюда и вытекает устойчивость системы.
Необходимость. Дано: система устойчива. Требуется дока зать, что выполняется условие (7.47).
сю
Пусть это не так и £|g*| = °o. Тогда для любых положитель
н о
ных чисел— существует такое число п, что
|
ft-о |
фиксируем число п и примем входной сигнал равным |
Х„ = Т) Sign g0, Хп-1 = ■>] Sign Tip • • •, X0= 'f]sign gn. |
Тогда выходной сигнал на п-ом |
шаге равен |
е П |
П |
Уп = |
~*і £ і & | > s- |
!'=О |
1=0 |
Итак, для |
любого сколь угодно малого т) получаем \уп | > е, |
что означает |
неустойчивость системы. Получили противоречие, |
которое и доказывает необходимость.
Пусть задана передаточная функция системы Ф{г), тре буется исследовать устойчивость этой системы. На основании предыдущего результата можно было бы поступить так: по за данной Ф(г) вычислить весовые коэффициенты g k и исследо вать абсолютную сходимость этого ряда. Однако такой путь
является слишком длинным. По |
этой |
причине |
предлагается |
следующий критерий устойчивости. |
|
|
|
|
|
Дискретная система устойчива тогда и только тогда, если |
передаточная функция Ф(г) не имеет |
полюсов вне |
единичного |
круга. |
|
|
|
|
|
|
Необходимость. Дано: система устойчива. Требуется дока |
зать, что передаточная функция Ф{г) |
не имеет |
полюсов |
вне |
единичного круга. |
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
Имеем Ф ( г ) = £ g k z ~k- Вне |
единичного |
круга |г£>1 |
вы- |
л—о |
|
следует, что ряд £ |
|g-ft| |
полняется соотношение \г 1|< 1, отсюда |
является мажорирующим для ряда Ф ( г )= |
gk |
r-k |
Ä=0 |
|
z ~ |
По пред |
“ft-O
положению устойчивости ряд >j | gk| |
сходится, а |
следователь- |
*=о |
ряд Ф (г)= |
“ |
но, и вне единичного круга сходится |
Ь g kz~k. По- |
|
|
ft-0 |
•следнее же означает, что функция |
Ф(г) не имеет полюсов (не |
равна со) |
вне |
единичного круга. |
Необходимость |
доказана. |
Достаточность. Дано: Ф (г) не имеет полюсов вне единично |
го круга. Требуется доказать, что |
система |
устойчива. Будем |
предполагать, |
что |
Ф (z) |
является |
рациональной |
функцией и |
тем самым представляется в виде |
(гп < а): |
|
|
ф (г) = |
М |
" + ••• + |
?>(> |
/>я гм- " + - + |
^ г - " = |
|
|
ап2"Н-------h а0 |
|
----- +Ö 02“" |
|
|
|
= d0+ |
ѵч |
|
d, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=i |
|
|
|
|
Ф (2 ) = со |
при |
|
z~l = |
z~\, |
т. е. при z — Zj. |
|
|
По условию дано, ч то |гг|< 1 . Вычислим весовые коэффици енты системы. Для этого функцию F(s)= <2>(г) |г=і_і разложим в степенной ряд
F |
— — |
----- = ^ o + S |
d, |
1 |
|
|
/=.1 |
1—s s, |
/ ft-0 |
Ч |
|
;=i |
Из последнего получаем величину весовых коэффициентов
=У — /г — 1, 2.........
/■=1
Ряд
|
Ѵ |
ц . і |
= Е |
А |
У |
|
|
и=0 |
|
(=і |
S: |
ft=0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
со |
|
сходится, так как |
S, = |
1 и тем самым |
—V - <С |
|
> |
|
|
|
Z; |
|
|
I С И |
|
Рассмотрим в виде |
примеров устойчивость |
ft-О |
|
приведенных в |
предыдущем параграфе замкнутых систем. Для первой системы
u .T z~ 1 |
|
|
Ф (z) = --------------------- иполюс передаточной функции z t= 1 —ң-Т. |
1— (1 — pTJz“ 1 |
|
если \гл |<Д, т. е. |
Система будет устойчива лишь в том случае, |
— 1 < 4 — рР < Д . Из последнего |
неравенства |
следует условие |
устойчивости этой системы |
|
|
° 0 < |
у ■ |
|
Известңо, что интегрирующее звено, охваченное обратной связью, для непрерывных систем устойчиво при любых коэффи циентах усиления. В случае же аналогичной дискретной систе мы существует уже критический коэффициент усиления, превы шение которого ведет к неустойчивое™. В этом, в частности, проявляется недостаток дискретных систем по сравнению с не прерывными.
Для структурной |
схемы |
радиодальномера |
имеем Ф(г) = |
= ----- :— ----------- |
. |
Полюс |
этой передаточной |
функции |
равен |
1 + (р — 1) г -1 |
|
будет |
устойчива, |
если |
|І — р |< |
1, |
или |
2 j= 1 — IL. Система |
|
— 1 < 1 —fj. < 1. |
Из последних неравенств п |
следует |
условие |
устойчивости системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < [ л < 2 . |
|
|
|
|
Для систем высокого порядка определение полюсов дискрет |
ной передаточной |
функции |
является |
затруднительным. |
Если |
1-(- р |
|
|
|
круга при |
этом |
положить г = -----—, то внешность единичного |
1 — Р
преобразовании перейдет в правую полуплоскость, а внутрен ность единичного круга — в левую полуплоскость. Проведя за
мену переменной z |
— — |
в передаточной функции |
Ф(г), к |
полученной функции |
~1— Р |
Рауса— |
Ф(р) |
можно применить критерий |
Гурвнца. Этот метод, естественно, освобождает от необходи мости вычислять полюса передаточной функции Ф(г).
Продемонстрируем этот метод на приведенных выше приме рах. В первом случае имеем
Ф(г] 1± р_ |
1 Л-Р |
= |
а ( 1 — р) |
|
i - р |
1 _ ( 1 _ а ) Ш Т |
( 2 - а ) р + а |
’ |
|
|
1 + Р |
|
|
|
где а = [I Т. Критерий Турвица для |
системы первого |
порядка |
состоит в том, что требуется положительность всех коэффици
ентов знаменателя, т. е. |
а = |
0; 2 — а = 2 — р.7 > 0. Отсю |
да и получаем уже |
известное |
нам |
условие |
устойчивости |
2 |
|
|
примера |
рекомендуется |
0 < р < ^ — . Вычисления для второго |
провести самостоятельно.
§ 7.10. УСТАНОВИВШИЕСЯ РЕЖИМЫ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
2 -преобразование E(z) дискретной |
последовательности сиг |
нала |
рассогласования UJ выражается |
зависимостью |
|
X( z) |
|
|
|
|
= 5(2)АЧг), |
|
где |
1 + W(z) |
|
|
|
1 |
|
|
|
5(г) = |
|
(7.50) |
|
1 + W { z ) |
|
S(z) |
|
|
|
является передаточной |
функцией |
ошибки. |
В дальнейшем |
нам |
будет удобно записать |
ее как функцию |
аргумента г-1: |
5(2) |
= 5*(2->). Будем предполагать, |
что замкнутая система |
является устойчивой. В таком случае 5* (г-1) не |
имеет полюсов |
в окрестности точки 2 = |
1 , следовательно, разлагается в бес |
конечный ряд Тейлора |
|
|
5(г) = 5 * (2 -і) = |
50*(1) + у5*П )(1)(г- |
1 - 1 ) + |
•со
+ ^ S'W (1) (z -‘ - 1,2 + • • • = X 5 , (1 - 2 -4* .
о
5 _ 5*(*)(1)(- І ) *
(7.51)
'/г!
Подставляя последнее в (7.50), получаем
Е (Z) = 50 * (г) + 5, (1 - 2 - 1) А' (г) + • • ■+ 5* (1 - г - :1)»X (2) +
На основании правила разности получаем
Iе*) =-М-**) + 5і (Лх*! + 52і д2**1 н—
или
|
|
4 = S0x s |
I |
+ |
I Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, |
что ~ |
*k = 1^- Х ^ ^ \ |
, на |
отрезке Г(k — \)Т, Т] |
|
получаем |
|
Tk |
\ |
dtr /ср |
|
|
|
|
е* = |
$охк+ |
(S\T) х ср‘ |
(5272)хср + ■• • |
(7.52) |
|
|
|
Формула |
(7.52) |
и |
представляет |
собой |
основное |
соотношение |
для расчета установившегося режима. Как видно, она является аналогом соответствующей формулы с коэффициентами ошибок для непрерывных систем, так что коэффициенты 5 0, 5,7’, 5 27’2, ...
уместно также называть коэффициентами ошибок дискретных систем.
