книги из ГПНТБ / Основы авиационной автоматики учеб. пособие

2. Линейная функция х(і) — х0 + at (рис. 7.4)

А' [х0+ at] = Z ] x 0 + akT] = x aZ {1 } + aTZ [k].

На основании формул (7.10) и (7.22) получаем

Р и с. 7.4. Линейный сигнал Рис . 7.5. Экспонента

2 -преобразование как сумму бесконечной геометрической про­

Z - — 2 C O S t u T 4

22 — 22 COS tü Т Г 1

349

Введем теперь понятие -преобразования. Пусть задано изображение, по Лапласу, х(р) функции x(t). В таком случае А* -преобразованием функции х(р) называется Л' -преобразо­ вание от оригинала x(t) этой функции:

§ 7.5. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ ЭКСТРАПОЛИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ

Проанализируем сначала работу простейшего экстраполи­ рующего устройства — фиксатора.

350

Как это было установлено ранее, при таком способе экстра­ поляции кривая X (і) (см. рис. 7.2) заменяется ступенчатой

То обстоятельство, что представление ступеньки в приведенном выше виде включает в ступеньку правый конец и исключает левый вопреки представлению сту­

Из формулы (7.34) следует структурная схема экстраполятора типа фиксатор, представленная на рис. 7.7,а. Изображенный на этом рисунке 8-импульсный элемент представляет собой ге­ нератор 8-функций единичной интенсивности, которые образу_ются с промежутком дискретности Т. Не следует забывать, что реальные фиксирующие устройства в своей конструкции обык-

351

новенио ничего общего со своей структурной схемой, изобра­ женной на рис. 7,а, не имеют: нет ни образователя разности, ни импульсного генератора, ни интегратора. Как правило, фик­ сирующее устройство есть просто ячейка памяти, в которой в течение последнего такта хранится значение числа х п.

Зкстраполятор

о)

5)

Р и с. 7.7. Структурные схемы фиксатора

Проведем некоторые вполне очевидные преобразования фор­ мулы (7.34):

Из полученного представления функции следует другая струк­ турная схема фиксатора (рис. 7.7,6), эквивалентная структур­ ной схеме, полученной ранее. Из сравнения этих схем получа­ ем, что квадраты операций первой разности и 8 -импульсного элемента перестановочны. При изображении структурной схемы (рис. 7.7,6) нет необходимости изображать квадрат «дискрети­ зирующее устройство», так как в моменты времени t ф гІ{ сиг­ нал 8-импульсного устройства равен 0.

Работа линейного экстраполятора описывается формулой

352

Как это было установлено ранее, сигнал jc(x) при таком спо­

собе экстраполирования заменяется кусочно-линейной функцией

/V

х (*) (см. рис. 7.2,6). Рассмотрим образование &-той трапеции

Учитывая, что весь сигнал х(х) представляет собой сумму от­ дельных трапеций, получаем

Из формулы (7.35) и следует структурная схема линейного экстраполятора (рис. 7.9,я.) и эквивалентная ей другая струк­ турная схема, получающаяся путем перестановки 'квадратов об­ разования разности и 8 -импульсного элемента (рис. 7.9,6).

а)

Р и с. 7.9. Структурные схемы линейного экстраполятора

Рассмотрим далее работу еще одного экстраполирующего устройства, так называемого сумматора. Выходной сигнал сум­ матора в текущий момент времени t равен сумме всех преды­

дущих этому моменту импульсов

сигнал x(t) можно представить в виде:

(рис. 7.10), причем входным сигналом можно считать «а« не­ прерывный входной сигнал х(т), так и дискретную последова­ тельность {хк}.

354

рассматривать как оператор, ставящий в соответствие входной

выполняется для произвольных последовательностей и постоян­ ных С\ И С-2 .

для произвольного числа т и произвольной последовательности {х/г}. Аіы не будем здесь пояснять свойств линейности и стацио­

нарности дискретных систем, так как они вполне аналогичны соответствующим -свойствам непрерывных систем.

В качестве примеров дискретных линейных стационарных операторов можно привести операцию суммирования, когда по-

Дадим теперь определение передаточной функции дискрет­ ной линейной стационарной системы. Так мы будем называть отношение ^-преобразования выходной последовательности к z-преобразованию входной последовательности:

Вычислим передаточные функции уже известных нам линей­ ных стационарных операторов: суммирования членов последо­ вательности и образования r-той разности.

Из правила суммы вытекает следующая передаточная функ­ ция системы, осуществляющей суммирование:

*1

Из правила разности получаем передаточную функцию си­ стемы, осуществляющей операцию вычисления разности:

§ 7.7. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ РАЗОМКНУТЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ, ВКЛЮЧАЮЩИХ В СЕБЯ ЭКСТРАПОЛИРУЮЩИЕ УСТРОЙСТВА

Рассмотрим схему, изображенную на рис. 7.11. Дискретизи­ рующее устройство (например, радиолокатор или ЦВМ) в силу своего принципа действия непрерывный сигнал x{t) «превра­ щает» в числовую последовательность (л'Ц. Это обстоятельство, как уже объяснялось выше, является вредным. Экстраполятор

ло дискретизирующее устройство. Он «превращает» дискретную

осигнале x(t) пропадает безвозвратно.

Ри с. 7.12. р—2-структурная схема экстра-

356

В .таком случае структурная исходная схема (см. рис. 7.11) может бытыпредставлена в.виде рис. 7.13, где W n{p) = We(p)W{p). Структурные схемы такого типа будем называть р-с-струк- турными схемами.

Р и с. 7.13. р—2-структурмая схема незамк­

нутой дискретной системы

Рассмотрим работу схемы, изображенной на рис. 7.13, в дискретные моменты времени ik=kT. При этом выходной сиг­ нал y(t) можно рассматривать как дискретную последователь­ ность jyfe|, y k — y{kT). Наша задача состоит в том, чтобы оп­

а выходным — последовательность {у/г{, т. е. нам требуется оп­

ределить передаточную функцию от точки а к точке с. Ясно, что эта задача будет решена, если мы сумеем определить пере­

g h ^ g ( k T )

и будем называть их весовыми коэффициентами.

Тогда реакция непрерывной части системы с весовой функ­ цией g(t) на нулевую компоненту /08 {і) будет равна

Суммируя полученные выражения по столбцам (для одинако­ вого времени), получаем выходную последовательность {уй} по

357

заданной (входной для точки b) последовательности {/А,}:

которую принято называть сверткой для двух дискретных по­

Рассмотрим примеры.

1. Дана дискретная система с экстраполятором типа фикса­ тор, сигнал с которого поступает на инерционное звено с пере­

даточной функцией \Ѵ (р) ~ — -— . Промежуток дискретности

хр + 1

358