книги из ГПНТБ / Основы авиационной автоматики учеб. пособие

Учитывая, что

t

y{t) = y d t ) = J

u

t

= f [£11 {*» *)ЯіЫ H-ffia^. x) ЧіЬ)\ x ( i) d ^

получаем

g{t, = fti (t, x) qx(x) + g lt ((, x) q2 (x).

В таком случае для получения на сопряженной модели g{t,i) выходные сигналы с интеграторов следует просуммировать, предварительно умножив их на функции <71 [t — °) и q2{t — о). Последнее еще раз подтверждает указанные выше формальные правила построения сопряженных систем по прямым системам.

У п р а ж н е н и е . Составьте прямую и сопряженную схему моделирова­ ния для структурной схемы, представленной на рис. 6.2. При решении за­ дачи воспользуйтесь результатами упражнения к § 6.1.

22*

сигналам является затрудненным из-за дополнительных слож­ ностей, связанных с тем, что управлять в промежутки времени, когда сигнал неизвестен, приходится до некоторой степени «вслепую».

Системы автоматического управления принято называть дис­ кретными (или импульсными), если значения хотя бы одного из сигналов, используемых для управления, определены в дис­ кретные моменты времени.

В качестве примеров дискретных систем, наиболее часто встречающихся на практике, можно назвать следующие: систе­ мы управления самолетом по сигналам о его координатах, по­ ступающих от радиолокатора, радиодальномеры и системы ав­ томатического управления, в контур которых входят дискрет­ ные цифровые машины.

Вданной главе мы органичимся изучением лишь линейных

истационарных дискретных систем с постоянным периодом

дискретности Т.

§ 7.1. ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ

Пусть управление объектом осуществляется во времени не­ прерывно путем отклонений регулирующих органов, а некото­ рые сигналы, используемые для управления, известны лишь в дискретные моменты времени. Тогда возникает необходимость таким образом «заполнить» эти дискретные сигналы, чтобы они ,в некотором смысле наименее отличались от непрерывного сиг­ нала в те моменты времени, когда он нам неизвестен. Эта за­ дача может быть сформулирована следующим образом.

Пусть имеется некоторый сигнал х(і) (рис. 7.1), заданный на отрезке времени І0< т < t, где t — текущий момент времени.

1340

Рис. 7.1. Экстраполяция дискретного сигнала

приближенное, необходимо для проведения управления. Возни­ кает потребность в экстраполировании сигнала за «последним» показанием имевшим место в момент времени t0 + пТ. Для решения этой задачи поступают следующим образом (рис. 7.1): либо принимают, что

нейному закону. В формулах (7.2) и (7.3) x(t) обозначает экстраполированное значение сигнала, принимаемое нами за не­ имением действительного значения x(t) за истинное. Выраже­ ния (7.2) и (7.3) представляют собой экстраполяционные фор­ мулы, являющиеся многочленами нулевого и первого порядка от переменного і. В этих формулах для построения экстрапо­

вид сигналов л:(т), вводимых в систему управления вместо ис­ тинного сигнала х (") при фиксации и линейной экстраполяции, представлен на рис. 7.2.

341

следняя формула задает многочлен m-того порядка, проходя­ щий при t = *n, . ., ъ,-т через точки х п, х п_ѵ . . ., х„_т.

§ 7.2. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, ПРОИЗВОДЯЩИЕ

ФУНКЦИИ И 2-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Пусть задана конечная последовательность чиселх 0, х ѵ ..., хп. Производящей функцией F(s) этой последовательности назы­ вается многочлен

Р (s) = *о + *iS + x 2sa + • • • +

342

fc= 0

Рассмотрим примеры. Производящая функция последователь­ ности О, I, 0, — 2, 3, 0, 0 раина F ( s ) = s — 2 s3; производя­ щая функция последовательности {1 } равняется

как сумма бесконечной геометрической прогрессии с коэффици­

343

дем говорить, что они не имеют производящих функций. На­ пример, последовательность {ехр £2}производящей функции не имеет.

Производящая функция F(s) однозначно определяет поро­ дившую ее последовательность; для этого достаточно разложить F (s) з степенной ряд около точки s = 0:

производящей функции.

Рассмотрим примеры. Определим z-преобразование последо­

344

По известному z-преобразованию X(z) может быть опреде­ лена числовая последовательность {лй}, порождающая это пре­ образование. Для этого функцию X(z) следует разложить в функциональный ряд по отрицательным степеням г -1. Удоб­ нее всего это сделать так: от z-преобразования X(z) следует перейти к производящей функции F(s), положив в X(z) пере­ менную г = s—1

искомая последовательность равна 1 , 0, 1 , 0, 1 ,...

Нетрудно понять, что область сходимости ряда (7.9) пред­ ставляет собой внешность круга

Вводя обозначения ерГ= г и e~pT= s , получаем, что х(р) —

— X(z) и х(р) = F(s). Последние равенства могут быть за­ писаны в виде:

345

ß дальнейшем прямую и обратную операции ^-преобразования последовательности {xft} будем обозначать символами *

тельностей равно той же линейной комбинации г-преобразова- ний отдельных последовательностей:

= 0, х 0> х и х„, . . .

Про последовательность {л:й_,} говорят, что она сдвинута от­ носительно последовательности (л-А} на один шаг вправо. Не­ трудно понять, что 2 -преобразования этих последовательностей

Итак, 2 -преобразование сдвинутой на один шаг вправо по­ следовательности равно 2 -преобразованию исходной последо­ вательности, умноженному на 2-1.

Нетрудно понять,‘что если исходную последовательность сдвинуть на г шагов вправо, то будем иметь соотношения

Формулы (7.14) и (7.15) называют правилом сдвига.

346

А-тый элемент которой равен разности /г-того и предыдущего элемента исходной последовательности:

разностью последовательности. Члены второй разности, как это следует из (7.17), имеют вид:

—** - 2Хк~1 + Хк-2-

Аналогично можно определить и разность r-того порядка как первую разность от (г— 1)-той разности. Ясно, что г-преобра- зование r-той разности связано с ^-преобразованием исходной последовательности соотношением

Суммой этой последовательности называется новая последова­ тельность, й-тый член которой равен сумме первых k членов исходной последовательности

| S xl j = Л‘о> + Л'о + Л:1 + Х2’ ■• •

Естественно, что исходная последовательность является для суммы первой разностью, так что

z \x k\ = (і - z - ]) z ( S * /| • x-0

347

Из последнего равенства получаем, что z-лреобразование суммы

* Функцию, имеющую разрыв первого рода и непрерывную справа, бу­ дем изображать так, как показано на рис. 7.3. Жирной точкой обозначено значение функции в момент времени разрыва.

343