книги из ГПНТБ / Основы авиационной автоматики учеб. пособие

где g f ( t , t )— весовая функция системы от точки приложения возмущения до выхода системы.

§ 6.3. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕСОВЫХ ФУНКЦИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

Пусть нестационарная система задается дифференциальны­ ми уравнениями

329

Составим из этих решений матрицу

Ясно, что эта матрица, называемая в математике нормирован­ ной фундаментальной матрицей решений, совпадает с матри­ цей G(t,x) весовых функций системы (6.13)

Отсюда и следует способ для вычисления весовых функций, основанный на решении однородной системы дифференциаль­

Определим решение y{t, т) однородного уравнения y(t) =

=— а0' (t)y(t) при начальном условии _у(х, т) = 1 . Разделяя переменные, получаем

dy[t) = — а0' (t) dt.

у{і)

Далее имеем, интегрируя в пределах от х до і,

330

В таком случае, применяя интеграл Дюамеля (6.12), полу­ чаем связь выходного сигнала y(t) системы (6.19) с входным сигналом х'(і)

!- I' а Д І ,) й ,

І — 1 , rt.

331

§6.4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕСОВЫХ ФУНКЦИЙ

ИВЫХОДНЫХ СИГНАЛОВ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

МЕТОДОМ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Вычисление весовых функций и выходных сигналов неста­ ционарных систем аналитическими методами, описанными выше, в общем 'случае либо весьма затруднительно, либо вообще не­ возможно в квадратурах. По этой причине для исследования нестационарных систем широко применяется метод моделиро­ вания.

Сущность этого метода мы поясним на примере системы вто­ рого порядка:

x.(t)= 'Xi (t)

*2 (О

Схема моделирования этой системы на аналоговой вычис­ лительной машине, производящей операции сложения, умноже­ ния на фиксированные функции времени и интегрирования, приведена на рис. 6.4.

Подавая на входы этой модели входные сигналы X\(t) и x2(t), на выходах ее будем получать выходные сигналы yi{t) и уг(0 -

Рассмотрим теперь метод вычисления весовых функций

'gii (*.■=) ë n i t , ' ) ' '

.ftl (*. Т) §22^, Х) . *

В § 6.3 было доказано, что если входными сигналами системы считать сигналы

ет на выходы интеграторов ввести начальные условия у\ (0 ) = 1 ,

332

P и c. 6.4. Схема моделирования нестационар­ ной системы второго порядка

Следовательно, искомые весовые функции равны:

Из (6.25) следует, что функции gn (t, x) и£21(£, x) могут быть по­ лучены i-ia выходах модели, если на выходы интеграторов по­ дать начальные условия Ьп (х) и 62 1 (х), а функции g 12(C х) и

g 22(^> х) — если на выходы интеграторов подать начальные ус­ ловия &12 (х) И &22(х).

333

Заметим, что указанным способом весовые функции си­ стемы получаются как функции непрерывного переменного t и функции дискретного переменного т, так как, естественно, при моделировании можно задать, хотя и очень большое, однако, конечное число различных значений т.

Ясно, что описанный выше способ моделирования легко рас­ пространяется на случай системы п уравнений (6.1). При этом число интеграторов будет равно /г, а векторы весовых функ­ ций, являющиеся столбцами матрицы весовых функций

будут получаться на выходах модели, если начальные условия на выходах интеграторов соответственно равны

Таким образом, для получения всей матрицы весовых функ­ ций при одном значении т требуется m-кратное моделирова­ ние при начальных условиях (6.27).

§6.5. МЕТОД СОПРЯЖЕННЫХ СИСТЕМ

Внекоторых задачах статистической динамики линейных нестационарных систем возникает необходимость в вычислении

весовых функций g lk (t, т) как функций непрерывного перемен­

моделирования не дает такой возможности, поэтому требуется создать такую новую модель, чтобы, выходные ее сигналы бы­ ли равны функциям g(t, т) переменного т.

Пусть задана нестационарная система п-го порядка

yi{t) = an (t) уі (t) + . . . + ain(t)yn(t) + x L{t), i = \,ti. (6.28)

Требуется с помощью некоторой модели определить ее весо­ вые функции gik(iix) как функции переменного t при фикси­ рованном значении t.

3 3 4

Ф„(0 = —«ш(0Фі(if) —«2«(ÖФя(Ö—-•’- а яа\і)^п(і).

Так называют однородную линейную систему (6.29),- матри­ ца коэффициентов .которой является транспонированной по от­ ношению к матрице системы (6.28), и у всех коэффициентов изменен знак.

Докажем следующую лемму: Скалярное произведение

ординаты, а k — номер решения однородной системы диффе­

335

Положив t = i , находим величину этой постоянной

S g u V ’ Т)Ф/ (0 = S giki'f х)ФА) = Фй(х)-

1=1

ФА ) !

Если решение ф (х) = выбрать таким образом, чтобы

ІА Ы . «конечные» условия были равны

Итак, на k-том выходе сопряженной системы при выполнении

не начальными условиями весьма затруднительно. С этой целью в сопряженной системе (6.34), которую мы запишем здесь, обоз­ начая независимую переменную через х

336

Итак, если начальные условия при а = 0 для системы (6.35) имеют вид:

ГО

1 — г'-тое место,

0

то на ее выходах мы получаем t-тую строку весовой матрицы системы (6.28)

рону. Конечно, эти представления имеют формальное значение и никакого физического смысла не имеют.

Рассмотрим применение метода сопряженных систем на конкретном примере.

Пр и ме р . Составим схему моделирования прямой и сопря­ женной системы для нестационарной системы второго порядка

у2(^)=-а0(Ол(^)-аі(О>'2(О+92^ИО=—'Оо(^)Уі(0—аіЮл (0+

+ x i[t)'

В таком случае прямая схема 'Моделирования имеет вид

рис. 6.5.

Р и с. 6.5. Схема моделирования прямой системы

Р и с. 6.6. Схема моделирования сопряженной системы

Сопряженная система имеет вид:

<І>, (х) = 0 ф, (х) + а0 (т) ф2 (х);

Заметим, что схема моделирования сопряженной системы вы­ текает из схемы моделирования прямой системы, если выпол­ нять следующие правила перестроения:

а) направление всех сигналов изменяется на обратное; б) сумматоры заменяются узлами, а узлы сумматорами;

в) переменные коэффициенты считаются переменными ар­ гумента / — о.

Эти правила могут быть строго доказаны для нестационар­ ных систем общего вида.

на втором выходе сопряженной системы, если начальные ус­ ловия имеют вид (1 ,0) (ом. рис. 6 .6).

338