2. Исходя из предъявляемых к системе требований и из ус ловия простоты реализации корректирующего устройства, син тезировать желаемую логарифмическую амплитудную характе ристику (ЛАХ).
3. Определить динамические характеристики и схему реали зации корректирующего устройства:
а) определить ЛАХ корректирующего устройства;
б) определить передаточную функцию IFK(р) корректирую щего устройства;
в) сформировать возможную схему реализации посредством R — С элементов.
4. Исследовать качество скорректированной системы с по мощью номо,прайм Честната—Майера [см. приложение 4].
Сопоставить полученные данные с требуемыми значениями. Рассмотрим последовательность решения задачи.
1. Составим 'Структурную 'схему САР без корректирующего устройства. Структурная схема представлена на рис. 5.35.
Р и с. 5.35. Структурная схема САР без корректирующего уст ройства
2. Определим значения параметров САР. |
электромашин- |
а) Передаточная функция однокаскадного |
ного усилителя имеет вид: |
|
|
W B( p ) = - ^ — , |
. (5.157) |
где |
Т3р + 1 |
|
|
|
= |
= 3 [ед]. |
(5.158) |
Эвх
б) Передаточная функция двигателя постоянного тока ха рактеризуется выражением
^ДВ( Р ) - |
+ 1) |
(5.159) |
где |
P { T RBp |
|
2тс п0 = 15,4 |
|
|
-- |
1 |
(5.160) |
£7дв вх |
^дв вх |
|
с В |
|
в) Коэффициент усиления К САР без корректирующего уст ройства равен:
К = К с/<у К3КАВір. |
(5.161) |
Из условия обеспечения заданной точности в установившем ся режиме получим следующее выражение для минимального значения коэффициента усиления АГШІП:
а |
ш- 60 |
[1 /с]. |
(5.162) |
Amin — |
120 |
е |
е |
|
|
Тогда величину коэффициента усиления Ку электронного уси лителя можно определить из равенства (5.161)
Кѵ |
Кm i n |
= 9,14 [1/с]. |
(5.163) |
Кс/Сэ/Сдв t*р
3. Исследуем вопросы устойчивости и качества САР без кор ректирующего устройства. Для этого выполним следующие процедуры:
а) Построим ЛАЧХ разомкнутойISсистемы, имеющей переда-
точную функцию W \ p ) = — ■ • — — , где К = К т\п-
р[ТмР + і) (^эр + И
L (ад) = 2 0 1 g / С — 2 0 1 g ш — 2 0 1 g іЛ),052<о2+ 1 — 2 0 1 g У 0 , 0 2 Ѵ + 1 .
(5.164)
График ЛАЧХ представлен на рис. 5.36. По графику ЛАЧХ разомкнутой системы находим частоту среза шс = 50 (1 /с), со ответствующую L (сос) = 0.
б) Вычислим величину фазовой частотной характеристики разомкнутой системы при ш = шс:
<р((ос) = — ^— arctg Тлви - arctg Гэш = — 203 [град]. (5.165).
Так как ірс < — тс> то' исходная САР неустойчива.
Для обеспечения работоспособности системы и удовлетвори тельного качества регулирования необходимо ввести корректи рующее устройство.
4. |
Синтезируем |
желаемую ЛАЧХ |
разомкнутой |
системы ме |
тодом |
типовых |
ЛАЧХ. |
Определим асимптоту среднечастотной |
области для желаемой ЛАЧХ. Для этого: |
|
а) |
По заданным допустимым величинам tp и Д Нт времени |
регулирования |
и перерегулирования |
соответственно |
найдем |
частоту среза |
шсж желаемой |
ЛАЧХ, |
учитывая соотношение |
( 5 . 1 4 5 ) : |
|
|
|
|
|
|
|
шсж = П , 2 |
-4- ] , 4 ) ü ) c „ |
|
( 5 . 1 6 6 ) |
где (і)с<— минимальное значение частоты среза, удовлетворяю щее заданным tp и Д Нт.
Величина |
иіс< |
определяется по графику приложения 6 |
Тогда |
|
|
|
шс |
= 2,3іс. |
|
|
(5.167) |
|
|
2,3 п |
|
|
|
|
|
|
|
|
С0с £= |
6,5 |
[1/с] |
и |
«= в,5 [!/с]. |
(5.168) |
|
|
|
І„ |
|
|
|
|
|
|
б) |
Проведем |
Р |
точку U) = |
0>сж |
прямую |
с |
наклоном |
через |
— 20 дБ/дек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
Определим |
возможные |
диапазоны |
частот |
ш2 |
слева и |
ш3, <и4 справа отточки <осж из следующих условий: |
|
— |
> 10; |
— = |
2 -н 4; |
033= |
шдв; ш,= со^.; ш4=ш ; |
ш2= |
шк= |
ш 2 |
|
<“ с ж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
^ = 1 , 9 6 |
fl/с]. |
|
|
|
г) Найдем ЛАЧХ и передаточную функцию WK(р) коррек тирующего устройства. По ЛАЧХ определяем <о, = 0,14 Г1/с], ч>4 = 280 [1/с]. В случае параллельного корректирующего уст ройства исходная структурная схема САР рис. 5.35 примет вид рис. 5.37, где
|
W A P ) = K ; |
w 2 (p) = |
к , Ку |
W z{p)< |
|
Тэр + \ |
|
W Ky(p) - |
|
р(Тлвр + 1) |
|
передаточная функция |
корректирующего устройст- |
Р и с. 5.37. Структурная схема системы с корректирующим устроіісі аом
ва. Нетрудно проверить, что условие |
ш4 = си3 шк |
(ом. рис. |
5.29,а) выполняется. Передаточная функция W,K(р) |
разомкну |
той желаемой ЛАЧХ определяется равенством |
|
W A p ) W 2 (p ) W 3 (p ) _ |
W{p) |
(5.169) |
|
|
\ + W 2 (p)WK(p)
где W(p) — Wx(p)W2 (p)W3 {p) — передаточная функция исход ной разомкнутой системы
|
|
W * ( P ) = 1 + W2{p) W K(p). |
|
(5.170) |
Полагая, что |
№ж( р )= |
WzAp)> |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
W (р) |
|
|
|
(5Л71) |
Очевидно, |
|
|
|
(Р) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т. е. |
201g I W K(/«) I = |
201g I W (> ) I - |
201g I И7Ж( » |
|, |
(5.172) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
= |
|
|
о |
|
(5.173) |
По виду |
|
|
|
|
|
|
и вы |
LK(u>) |
можно записать выражение для W K(p) |
числить |
передаточную |
функцию |
W K(P) |
параллельно |
корректи |
рующего устройства: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Р) |
|
(ТіР + \){Ткр -f |
1 ) |
|
(5.174) |
|
|
|
(Т2р + \)( Т 3 |
р + |
1) |
|
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
j p ) - l |
|
|
|
(5.175) |
|
|
w K{p) = |
w 2[p) |
|
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[р) = |
(Г,Г4 - |
Т2 Т3) р 2 + (7\ + |
Т4— Г2— Г3) р |
(5.176) |
|
|
|
КуКш[Т2р + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из равенства Т\Т4 — Т2Т3 следует |
|
|
|
|
|
|
WAP) |
Ккр |
|
|
|
(5.177) |
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
т * р + г |
|
|
|
|
|
Г і+ Т4 - Т , - Г3 |
|
|
|
|
|
|
0,244 [ед]. |
|
(5.178) |
|
|
|
|
|
|
|
агу/с9
Схема реализации 'корректирующего устройства с переда точной функцией W xl(p) имеет вид рис. 5.38, где
|
|
|
_ К/ |
|
} |
(5.179) |
ß f - C Z |
Я І— |
г --:--- 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тк, |
можно вы- |
|
с |
h |
u6ötr |
|
|
|
U5x |
|
щей цели. |
|
корректирую- |
&------ |
___ I-------0 |
|
|
|
|
|
5. |
Определим параметры качестрис |
538 |
Схема |
реализации |
.ва скорректированной |
системы по |
корректирующего |
устройства |
номограммам (см. приложение 4). |
|
|
|
|
а) |
Для W K(р ) = |
1<Р |
тип ЛАЧХ — первый. |
|
|
б) |
|
|
Т2р + |
1 |
|
|
системы |
(рис. |
Параметры ЛАЧХ |
скорректированной |
5.36): |
Рч = 56 |
[дБ]; |
юс = |
8,5 |
[1/с]; |
ш,/шс = 1,65-ІО-2 [ед]; |
|
|
|
|
|
|
швМ: = |
2.35 [ед). |
|
|
|
в) Вычислим показатели качества: |
|
|
|
|
10 |
= 0,67; |
Ép = |
0,79 [с]; |
Д <р3= 45 [град]; |
Д Я т = 20[46]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученные параметры соответствуют требованиям зада ния.
Г Л А В А VI
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
§ 6.1. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ КАК ОПЕРАТОР ОБЩЕГО ВИДА ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
В данной главе мы будем изучать теорию линейных неста ционарных систем, оператор которых задается системой линей ных дифференциальных уравнений с переменными коэффици ентами.
Уі (0 = в/і(О.Уі (*) + |
ЯпЩУг ( 0 + |
■■- + аіпУпѴ) + bn {t)xx[t) |
__ |
|
+ • • • + |
bim (() x m(t), |
i = l , n . |
|
|
(6.1) |
Системы вида (6.1) |
могут быть |
весьма |
компактно записаны |
в матричном виде:
y{t) = A{t)y(t) +
где
г у ,( * Г |
|
y 2(t) |
; |
y(t) = |
-Уп (0 - |
|
an (0 > |
|
A ( 0 = |
. • |
. • |
ап\ (0 . |
а «-к. |
|
Ö |
В {t) X (t),
"Xi (t ) '
хг{і)
=
- Хт(0 -
. ■•, öjn(t)
• •> апп ( 0 -
М *). М О , . ■■1b\m( 0
ß ( 0 =
bn, (t), . . bnm (t) _
Покажем, что к такому виду могут быть сведены операторы одномерных линейных стационарных систем, задаваемые
соотношениями вида: |
|
|
|
|
а) |
Ул)(^) + яп-і(^)У п_1) (0 |
+ |
• ■■+ a-i(t) y (X)(t) + a0(t) у { t) ~ |
|
= |
b0x i t ) + b xx ^ i t ) |
+ |
. . . + b m(t)xW(i); |
(6.2 ) |
б) |
2 ^ ( 0 |
+ an_1(t) zin-V(t)+ |
. . . + |
a0(t)z(t) = x(t); |
|
y{t) = |
b0{t)z{t) + bx{t)z^ |
(£) + |
. . . + bm(t)z№{t). |
(6.3 ) |
Методику сведения уравнений вида (6.2) к системе урав нений вида (6.1 ) мы продемонстрируем здесь для простоты для случая нестационарной системы второго порядка
yW(t)+ fli (0 У !)(0 + «о (t)yV) = b0(t) X it) + bx(/) *<»(*). (6.4)
Введем в рассмотрение систему дифференциальных уравнений вида:
J y(t) = |
V\{t) + qx{t)K[t)\ |
(65) |
I У № = |
— а, [і)Уі(і) — аоУ(і)+ q2{t)x{t) |
|
и подберем функции q\{t) и q2it) таким образом, чтобы систе ма (6.5) была эквивалентна уравнению (6.4).
Дифференцируя первое уравнение системы (6.5), получаем
У (9=.У і(0 + ?’і (t) * (*) + Яі Ѵ)*Ѵ) = |
~ |
аі (*)Уі (.t) - |
a0 (t) у (0 + |
+ Я2 ii)x it) + Я\ it)x it) + qx it) x(t) = |
- a , |
(t)\y (t) — qx{t) x(t )] - |
— «о it)У it) + lq2(t) + q1it)]x(t)+ql (t)x |
it). |
(6.6) |
Записывая последнее выражение в виде |
|
|
|
У it)+ax[t)y it) + а йЦ)у it)=\alit)qlit) + |
q2{t) + q1{t))x{t) + |
+ 9i{t)xit)t |
|
|
|
получаем соотношения для <71 it) и q2ii) : |
|
|
|
9iM = M 0 ; |
|
|
_ |
' |
(6 7) |
Яг it) = b0 it) - ax it) |
bx it) - |
bx (t), |
|
|
обеспечивающие эквивалентность |
системы уравнений |
(6.5) |
уравнению (6.4). Эквивалентность здесь следует понимать в том
смысле, что при подаче на входы систем |
(6.4) и (6.5) сигна |
ла x(t) выходной сигнал у it) системы (6.4) |
будет равен выход |
ному сигналу у it) системы (6.5).
Нетрудно понять, что примененная выше методика легко может быть распространена и на случай дифференциальных уравнений/2-го порядка (6.2 ).
Оператор вида (6.3) приводится к системе вида (6.1) еще более просто. Введем систему дифференциальных уравнений
z{ t) = z 1 (/?);
|
z, (t) = z2 (О, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 6.8) |
|
2 я- і ( * ) = - я „ - і ( 0 г „ -і(* )-. ■■— al(t)z1{t) - a 0(t)z(t)+ x(t). |
|
Совершенно очевидно, что система |
(6.8 ) |
эквивалентна |
|
диффе |
|
ренциальному уравнению (6.3). Выходной сигнал y(t) |
операто |
|
ра (6.3) |
получается в виде линейной комбинации |
фазовых ко |
|
ординат |
z(t) , ..., 2 „_, (t) |
системы |
дифференциальных |
уравне |
|
ний (6.8). |
|
|
|
|
|
|
|
(6.1) |
могут |
|
В виде системы дифференциальных уравнений |
|
быть записаны операторы систем, |
являющихся |
сложными сое |
|
|
|
|
|
динениями |
линейных |
|
неста |
|
|
|
|
|
ционарных |
подсистем. |
Мы не |
|
|
|
|
|
будем здесь доказывать это ут |
|
|
|
|
|
верждение .в виде общего поло |
|
|
|
|
|
жения, а ограничимся демон |
|
|
|
|
|
страцией |
его |
справедливости |
|
|
|
|
|
на конкретном примере. |
|
|
Р и с . 6.1. |
С оединение |
нестационар |
|
Рассмотрим |
соединение ви |
|
да |
рис. 6 |
.1 , |
где x(t) |
— вход |
|
|
ных звеньев |
|
|
|
|
|
|
ной сигнал, |
а |
f(t) |
— |
помеха. |
|
Будем предполагать, что передающие свойства всех четы |
|
рех подсистем описываются линейными |
дифференциальными |
|
уравнениями типа |
(6.2). |
В таком случае работа всего соедине |
|
ния описывается следующей системой линейных уравнений: |
|
|
л, |
|
гл, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ца)(^)У1')(0= S b}{t){xU{i)~y<‘ 4t)\\ |
|
|
|
|
|
і - О |
|
і = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і - О |
|
/- о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л3 |
|
т.{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е я?(%(0(0 = Е Щ (0[у</>(0 + уф (0 + /(,) (П); |
(6.9) |
|
|
і= 0 |
|
і-0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п, |
|
ті |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е * ) [ t ) y W ) = |
Е b*{t)>*4t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
і= 0 |
|
/-0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Система уравнений (6.9) может быть с помощью указанной выше методики записана в виде системы уравнений первого порядка (6.1 ).
Если передающие свойства всех или части подсистем опи сываются дифференциальными операторами вида (6.3), то ра бота всего соединения также будет описываться системой ли нейных уравнений первого порядка. В этом легко убедиться, учитывая, что на входы «последующих» элементов будут пода ваться линейные комбинации фазовых координат с «предыду щих» элементов.
У п р а ж н е н и е . Состаньте систему дифференциальных уравнений вида (6.1), исходя из структурной схемы устройства, представленного на рис. 6.2.
|
Р и с. 6.2. |
Соединение |
нестационарных звеньев |
|
|
§ 6.2. ВЕСОВЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ |
|
НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ. ИНТЕГРАЛ ДЮАМЕЛЯ |
|
|
ДЛЯ |
НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ |
|
Весовой |
функцией g { t , т) одномерной линейной нестацио |
нарной системы называется ее |
реакция на 8 -функцию, |
подан |
ную на вход в момент времени |
т |
|
|
|
g [ t t *) = |
A b { t - * ) . |
(6.10) |
Весовой |
функцией |
g /k(^ "О |
многомерной линейной |
неста |
ционарной системы называется сигнал і-того выхода при воз действии на &-тый вход 8 -функции в момент времени т. Сово
купность весовых функций g lk((л ) і = 1 , п; k — 1 , пг, запи санных в виде таблицы, называется матрицей весовых функ ций системы:
т)£іа(*. х) • ■glmit’
(6. 11)
-gnl (*. х) gniit' т) •
где п — число выходов, а т — число входов системы.
В случае линейных стационарных систем связь выходного сиг нала y{t) с входным сигналом x(t) при известной весовой функ ции системы g [і — т) задается (1.66) интегралом Дюамеля. Выясним связь входного x(t) и выходного y(t) сигналов при из вестной весовой функции g ^ , т) для нестационарных линейных систем.
Входной сигнал |
дг(^) |
может быть сколь |
угодно |
точно |
ап |
проксимирован ступенчатой функцией (рис. 6.3). Реакция |
на |
каждую |
г'-тую ступеньку входного сигнала будет приближен |
но равна |
реакции |
системы на 8 -функцию |
интенсивностью |
х (хг) Д-с, |
поступающую на |
вход в момент времени |
тг. В этом |
Р в с. 6.3. Аппроксимация входного сиг нала
случае реакция системы на каждую такую ступеньку в момент времени t будет приближенно равна g (/, xt)x (^) Дт. С учетом линейности системы ее выходной сигнал y(t) представим в виде:
N |
t |
|
y{t) = lim Yi g [t, х/)* К -)Лт = |
Г g(t, x)x(i)dx. |
(6.1 2 ) |
ir_0;-o |
І |
|
Выражение (6.1 2 ) является аналогом интеграла Дюамеля для стационарной системы. Таким образом, оператор любой неста ционарной системы может быть представлен как интегральный оператор с весовой функцией g (t , т).
Заметим, что для нестационарной системы можно, как это было сделано для стационарных систем, ввести понятие ошиб ки:
8 (0 = “ У ( 0 — Ут(0.
где ,ут(0 — требуемый выходной сигнал.
Для следящих систем, когда у т(t) = х (t), имеем
е(0 =.У (0 - * ( 0 -
Внекоторых случаях представляет интерес не столько вы
ходной |
сигнал |
y(t), |
сколько ошибка |
системы |
е(£). В силу |
(6.1 2 ) |
и известного свойства |
8-функции |
для случая |
следящей |
системы, |
на которую не воздействуют помехи, имеем |
|
|
|
|
t |
|
t |
|
|
|
|
|
s(t) |
= J |
g (t, т) X |
(x) öfx— I* 8 (t — t) X ( t ) di |
= |
|
|
t |
o |
t |
|
t |
|
|
|
= |
\ lff(0 t) —8(/f - |
i ) ] x { i ) d i = |
J g, (t, |
%)x(*)dx. |
|
|
( q |
|
|
|
to |
|
|
