Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Френкс, Л. Теория сигналов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

12.79 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3530 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Тогда А,0 = 1;	(р, Р) — (а, а) = 0 и, поскольку / 0 (х) — монотон
ная функция, решающее правило принимает форму:
Принять Н0,	если \| (<а, р) \| — \| (w, а) \| < 0.	(10.92)

Блок-схема приемника, использующая комплексные огибающие, показана на рис. 10.13. Чтобы выяснить реализацию такого приемни ка, воспользуемся соотношениями (10.83).

Re(o>, а) = 2 (у, s0),

(10.93)

1ш(ю, а) = — 2 (у, s„).

Рис. 10.13. К ом плексное представление некогерентного приемника м аксимального правдоподобия для бинарного обнаруж ения сигналов равной энергии в белом шуме.

Следовательно,
Со =	\| (о,	а) \|2 =	4 [(у,	s0)2 +	(y,	s0)2],	(10 94)
Cf =	\| (o>,	P)\|2 =	4[(y,	Sl)2 +	(y,	s*)2].

Реализация с помощью умножителей, интеграторов и фазосдвигаю щих цепей квадратурных каналов, непосредственно вытекающая из

(10.94), показана на рис. 10.14.

Схему с комплексными огибающими, показанную на рис. 10.13, можно реализовать также с помощью фильтра и отсчетного устройства, что предпочтительно с практической точки зрения, так как детектор огибающей реализовывается просто. Поскольку модуль комплексной

огибающей	есть амплитудная	огибающая	узкополосного		сигнала
{см. (4.40)	и (4.46)], нужные величины Сх и С0			можно снять с выхода
детекторов, как в приемнике,		показанном	на	рис. 10.15.	Согласно
(4.57) мы	имеем
	Yi(*o) = - y j	®(т)Ч/о—Ч dx =
	—ОО
	= -~(<а, Р),	если 4 4 = P(ft)-—			(10.95)

где X (t) — комплексная огибающая импульсной характеристики ве щественного узкополосного фильтра. Импульсная характеристика узкополосного фильтра в верхнем канале схемы есть sx (t0— t), т. е. этот фильтр согласован с одним из передаваемых сигналов.

Ш* ‘

291

При выборе сигналов для бинарных систем связи разумно потре бовать, чтобы разность принятых сигналов на выходе приемника в от сутствии шумов была максимальной. При ц (t) = 0 разность выходных сигналов схемы (см. рис. 10.13) имеет вид

(С .-С о |Я 1; т) = 0)—(CV—С0[# 0, т] = 0) =

= 1(Р, Р)|-|(Р, «)|-|(о, Р)1 + |(«, а ) I = 2|| a f —2| (а, р)|. (10.96)

Ясно, что разность (10.96) будет максимальной при ортогональных комплексных огибающих, т. е. при (а, р) = 0. Этот результат суще ственно отличается от когерентного случая (см. § 10.4), где выходная разность максимальна при s0 (t) = — Sj (i). Сигналы, отличающиеся

Рис. 10.14. Реализация приемника максимального правдоподобия с помощью умножителей и интеграторов.

только знаком, непригодны для некогерентного приемника, так как при сдвиге фазы на 180° один сигнал будет совпадать с другим. Следует заметить, что из ортогональности сигналов (s„, не следует, что (а, р) = 0, хотя обратное верно. Ортогональные комплексные оги бающие можно получить различными способами. В частности, такая ортогональность возможна при условии, что амплитуда сигнала по стоянна, т. е. только за счет фазовой модуляции. Это практически важно, поскольку энергия сигнала максимальна при полном исполь зовании пиковой мощности передатчика. Кроме того, при применении фазовой модуляции и ограничителей амплитуды в приемнике можно получить некоторый выигрыш в помехозащищенности по отношению к импульсным помехам.

Пример 10.1. Частотная манипуляция. Существует простой спо соб получения ортогональных комплексных огибающих для узкополос ных сигналов с постоянной амплитудой. Положим

a (/) = e - / 2"v/; 0 < / < Г .
$(t) = e,2nvt. 0 < t < T .	{ • °

292

В этом случае
т
(а, Р) = ^ е~!'2л <2v>1dt = e~i23lvt sin 2nvT		(10.98)
о	2ял>

Комплексные огибающие вида (10.97) получаются за счет положитель ного и отрицательного сдвига несущей частоты / 0. Подобная операция называется частотной манипуляцией. Как следует из (10.98) наи меньшее значение v, при котором комплексные огибающие ортого нальны, есть v = 1/277 Передаточные функции согласованных филь тров при реализации приемника с помощью фильтров и отсчетных устройств показаны на рис. 10.16. В первом приближении можно счи тать, что приемник работает как частотный дискриминатор. Чтобы

Фильтр, согласованный

Отсчет

Рис. 10.15. Реализация приемника максимального правдоподобия с помощью фильтра и отсчетного устройства.

вычислить характеристики приемника для случая ортогональных комплексных огибающих сигналов равной энергии, удобно в качестве

базисных функций	в		S	взять сами нормированные сигналы, т. е.
Ф1 (0 = II « II-1« (0		и		Ф2 (0 = II Р II"1 Р (4- Тогда а г = (а, <р0 =
= \|\| а \|\| и а 2 = (а,	q>2)		=	0. Согласно (10.88) функция правдоподобия

для гипотезы Н0выражается через ортогональную проекцию на 5 при нятого сигнала в виде

l(wRl, w!t, wRl, wi, | Я0) =

II п\|1г				)
_ e 4*’	[ « + */,) + « + "?.)]				(10.99)
(4лА/0) 2		4	2iV0	! ‘

Переходя	к полярным координатам
wRl — zocos Bi		wh — zosin P =>-dwRi dwi, — z0 dz0dp,			(10. 100)
wR, = zxcos v;		wjt — zxsin v =>■ dwRl dwIt — zt dzt dv,

можно записать новую функцию правдоподобия для переменных z0 и zlt пропорциональных напряжению на выходах верхнего и нижнего

ЮВ Зак. 527

293

каналов блок-схемы рис. 10.13. Согласно (10.99) и (10.100) эта функция правдоподобия имеет вид

l{z0, zv р, v \| Яо) ^	N° N*	___L / г , 2)	II ССII г„	( 10. 101)
l{z0, zv р, v \| Яо) ^	4JV« е	4*°(zo + Zl)In	II ССII г„	( 10. 101)
	(4nlV0)2		2JV„

В соответствии с (10.12) вероятность ошибки I рода (принять Н х в слу чае, когда верна Я 0) дается интегралом от функции правдоподобия по критической области R -р

^ = ^ ^ /( г ° , г1( [X, v\H0)z0z1dz0dz1d\idv.

(10.102)

Рис. 10.16. Форма сигна
лов и частотные характе
ристики	фильтров при
частотной	манипуляции.
Приемник выбирает гипотезу Нх, когда zx> z0, поэтому R x легко най
ти. Рис. 10.17 дает область R t в координатах	гх, г2■ Заметим, что

сама плоскость zlt z2 есть двумерная часть четырехмерного пространст

ва выходных сигналов {zlt z2; р, v}.
Подставляя	(10.101) в (10.102),		получаем
	Pl = Plz1> z a\H,\ = —				II я Г
	Pl = Plz1> z a\H,\ = —			;е	х
			(4лхЛ/о)3		22
2зт	2 я	ОО		оо	22
X ^ d\i ^ d v\z0dz0e 4Л'° / 0			\ 2N0	' z„	z1e~*7r°dz1. (10.103)
0	0	0	\ 2N0	' z„

Интегрирование по р, v и zx в (10.103) легко выполняется, после этого находим

II я II1	ОО	ZqII а \|1
II я II1			dz0.
4ЛЦ 5 г0е			dz0.	(10.104)
	о	2JV0

Или, после замены переменных по формулам z2=zllN0 и а2= ||а |2/4Я0,

Pf =	1	II я II» ОО	—L(z»+ a»)	Iо (az)dz =
Pf =	— е	ze	2	Iо (az)dz =
	2

294

II «XII2 II а II2

e 8N« Q {a, 0) = -i-e 8" ° .	(10.105)
2

Интеграл (10.105) с переменным нижним пределом часто встречается


в теории обнаружения	сигналов		[2, 5].	Этот интеграл называется
Q-функцией Маркума, ее значения табулированы в [7]:
Л	ОО		1
	(*	---- (2*1+ а2)		I0(az)dz,
Q{a,	6) = ^ ze		2

Выходной сигнал, _

соответствующий

s . it) 8 отсутствие 0 шума

Рис. 10.17. Критическая область для некогерентного приемника мак симального правдоподобия.

		W	14		18
	Сигнал/шум jo,d5
Рис. 10.18. Ошибки когерентного и	некогерентного	приемников		(энергии
сигналов равны):			Ре=Ф(—р);		_
1—когерентный приемник, сигналы противоположной полярности			Ре=Ф(—р);		_
2—когерентный приемник, ортогональные комплексные огибающие Ре=-Ф(—р/ V2);
			1	е	_1/ р2
3— некогерентный приемник, ортогональные комплексные огибающие Ре™~				е	4
причем
Q(a, 0)= 1;	Q(0, Ь) = е	2.*			(10.106)

В силу симметрии задачи, условная функция правдоподобия гипотезы

Hi имеет ту же самую форму (10.101),			но с заменой z0 на zx. Следова
тельно, в случае равновероятных сигналов				Рт — Pf — Р{. Замечая,
что \|\| а \|\|2*= 2 (s0, s0) = 2 (s1;		Sj), находим		простое выражение для
вероятности ошибки
Ре	L a	4 Р ! . n 2	(s 0. s o)		(10.107)
	2	’ 9	N0

где р — отношение сигнал/шум, т. е. отношение импульсной энергии сигнала к спектральной плотности шума, как в (10.57). Используя

10В*

29,5

(10.107), можно построить график вероятности ошибки и сравнить результаты со случаем когерентности по фазе (см. рис. 10.10). Так как характеристики некогерентного приемника рассчитываются при усло вии, что комплексные огибающие ортогональны, сначала мы проведем сравнение в предположении, что и в когерентном случае используются ортогональные сигналы. В этом случае (d, d) = (s0, s0) + (sx, st) =

= 2 (s0, s0) и Pe = Ф ( — p /]/2 ), где p определяется для когерентного случая согласно (10.107). График вероятности ошибок показан на рис. 10.18. При больших отношениях сигнал/шум эквивалентное уве личение шума, обусловленное случайностью фазы, незначительно. Для вероятности ошибки порядка 10~7, ухудшение составляет лишь 0,6 дб. Мы видим, что при больших отношениях сигнал/шум основная доля потерь (примерно 3 дб) связана с использованием ортогональных сигналов вместо сигналов противоположной полярности.

В задачах радио- и звуколокации особенно важен случай, когда s 0 (t) — 0. В этом случае согласно (10.89) отношение правдоподобия имеет вид

_	Ш !
Чо>) = е	4" o/o(IJl ^ ) -	(10Л08)

В силу монотонности Т0 (х) сравнение отношения правдоподобия с по рогом эквивалентно сравнению с порогом величины | (©, Р) |, и реша ющее правило имеет вид:

принять Н0, если | (<*>, Р) | < г,

где г определяется из уравнения

(,0Л09)

Приемник имеет ту же структуру, что и ранее (см. рис. 10.13—10.15), с той разницей, что нижний канал отсутствует и на выходе устанавли вается порог, определяемый либо с учетом цен и априорных вероят ностей, либо из условия заданной вероятности ложных тревог. Выра жения для характеристик приемника не так просты, как для бинарных сигналов равной энергии (см. упражнение 10.7).

Рабочие характеристики приемника, полученные с использова нием значений Q-функций, имеются в работах [2], [5].

Упражнение 10.6. Показать, что в (10.84) вещественная и мнимая части коэффициентов комплексного шума некоррелированы, т. е.


Е [nKft пл^1 = Е [n/ft	] = 0 для k		^ i ,
Е [п^& П/i]= 0 для всех k н		/
и что каждая компонента имеет дисперсию 2N0.		с	s0 (t) = 0 и порогового
Упражнение 10.7. Для задачи обнаружения
уровня г, определяемого из (10.109), показать, что

296

	4N, ЦЭЦ»
P*=Q о, ^oU PII
'Pm—Q	llPli
	V 2N0 ’ V 2 N 01

где Q (a, b) определено согласно (10.106).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

W o z e n c r a f t

and

J a c o b s

M. Principles of

communication

engineering. John Wiley and Sons. 1965.

Изд. «Сов. ра

Ван Трис Г.

Теория обнаружения, оценок и медуляции, т. 1.

дио, 1972.

random

variables

and stochastic

processes.

Р а р о u 1 i s A. Probability

McGraw-Hill,

1965.

D a v e у

R. Data transmittion. McGraw-Hill,

В e n n e t t

R. and

1965.

К. Статистическая

теория

обнаружения

сигналов.

М.,

Х е л с т р о м

ИЛ, 1963.

Т. A projection

method for signal

detection in colored gaussian

К a i 1 a t h

noise. — «Trans.

IEEE»,

1967,

v. IT-13, № 3,

p. 441—447.

Rpt,

1950,

M a r c u m

Table

Q-functions.

Rand

Corparation

RM-339.

P.,

Г и л ь б е р т Д. Методы

математической

физики,

т. I.

К у р а н т

Гостехиздат,

1951.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
К упр.	1.3. Дано:		S =	Sj U S2 [J S3...		и	S; П s j = 0	Для	i ф j.
Покажем, что х ~ у -ф==ф- { х £				S* и y(^Si для одного i) действительно есть от
ношение эквивалентности. Для этого убедимся,						что	оно удовлетворяет		свойст
вам (1.12 а, б и в):			может быть только в одном подмножестве,					поскольку
а) х ~ х,	так как х
Si П Sj = 0;		S{ => у ~ х;
б) х ~ у =$- х, у
в) х ~ у	и у ~	z =>■ х, у,		г £ Si =>- Xi ~ г.
Обратно, если дано отношение эквивалентности, покажем, что множество
всех различных подмножеств вида Sx = {у; у ~						х)	является разбиением мно
жества S. В силу рефлексивности х £					Sx при любом х, объединение всех различ
ных множеств	эквивалентности			есть	полное множество S.

Осталось показать, что разные множества эквивалентности действительно не пересекаются. Для этого мы просто покажем, что любые два множества экви


валентности, имеющие общий элемент, совпадают (т.			е. являются одним и тем
же подмножеством разбиения). Предположим г £ 5Ж1			и г	( SX2, тогда исполь
зуя свойства симметрии и транзитивности, получаем хг ~				х2. Теперь предполо
жим, что х — произвольный элемент из S ^, тогда можно показать (снова исполь
зуя симметрию и транзитивность), что х ~		х2, т. е. х		Аналогично дока
зывается, что если у	— произвольный элемент из 5Жг> что у —- х =>• у £				Sx
Следовательно, S* =	SXz. Таким образом,	подмножества вида Sx = {у; у ~			х),
или совпадают, или не пересекаются.		Покажем,	что	х ~ у -Ф==>- &(х) =
К упр. 1.4. Sx =	{у; t, (У) = f (х) }.

fi (у) — действительно есть отношение эквивалентности. Для этого убедимся, что

свойства (1.12

а, б и в) выполняются:

— f (х)

следует х ~

х;

а) в силу однозначности отображения из f, (х)

б) I (х) =

Н у) => НУ) =

ft (x) => У ~ х;

в) f(x)

f (У) и f, (у) =

(х) --= f, (г) => х ~ г.

записать

х2 (1) =

К упр.

1.6. Принимая,

что

х (t) = х*

(t),

можем

= х (t) х* (t).

Используя

(1.29),

находим далее

оо

со

J х2(t) d t —

x{t)

j X ( f ) e ~ j2llft dfdt.

— CO

— o o

Изменим здесь порядок интегрирования и учтем (1.28),

тогда

ОО

СО

о о

x2(t)dt= j

X*(f)

x ( t ) e - f23lltd td f= J

\X(f)\*df.

— oo

К упр.

1.7. Обычно под знаком ж мы понимаем следующее: х ж у =>- |х —

—УI < 8> гДе 8 — некоторая (достаточно малая) погрешность (х и у могут быть,

например, действительными

числами).

Используя

понятие

метрики,

данное

в гл. 2, мы можем сказать

более строго х » у

d (х, у) <

е,

однако ^

не есть

отношение эквивалентности, так как в общем случае транзитивность не имеет места:

d (х, у) < s и d (у, г) < е =£> d (х, г) < в.

Относительно (1.31) можно сказать, чтох ~ у^==$~}к (х) = fд (г/) для некоторого множества значений k. Это естественное расширение условия (1.27), и множества эквивалентности имеют вид:

S x = l y ;

(У) = l h W Д л я в с е х k £ К) .

298

Для примера укажем, что две функции времени принадлежит одному и то

му же множеству эквивалентности, если у них совпадают первые п членов разло-
ния в ряд Фурье.	£ S B (W) мы имеем X (f) — 0	для \|j \| > W (1.7)
К упр. 1.10. Для х
и можно представить X (/)	рядом Фурье па интервале 1Л <	W:

	СО	.	nmf
*(/) =	V	Cm е 1	W ,
*(/) =	—I	Cm е 1	W ,
где

.яmf

е ~ ‘ w df.

Поскольку X ф равна нулю при \f\~f> W, можно также записать

		С	1			. 2яmf				1	(1.29)
		С			X (/) е~! ~W~ df					— х	(1.29)
		т — 2W								2W
Поэтому, делая замену k				= —т,		получаем
						ОО			k \	-1*т
			X (/)=—			У	х		k \	-1*т
			X (/)=—			У	х		—	е •	w
			u'		2W	^			2 W
						k —— оо
Обратное		преобразование Фурье дает далее
		W						/ Ь \ ]		^	-О / 4 ^ \ t
x ( t ) = Г Х ( / ) е » й / = Ъ - 1 -
		_V				к \ 2 W / 2 W J w
Выполнив	интегрирование, приходим к								(1.34).
К упр. 1.11. Заметим,					что	ОО	X(f — mix) — периодическая функция f
К упр. 1.11. Заметим,					что	2	X(f — mix) — периодическая функция f
с периодом 1/т.						т—— оо					_
с периодом 1/т.		Разложим эту функцию в ряд Фурье:
			2	П	' ”	Т	"	, 2		j2ltlxf
			2	П	' ”	Т	"	, 2		с-
		1= — оо		'		'			— оо
где
				1 /Т	оо					р—/2я/т/ df.
			с , = т {		2					р—/2я/т/ df.
		т		0 т=—сю
		т	и проинтегрируем почленно, тогда
Положим v = f — —			и проинтегрируем почленно, тогда
		х
сг=	сю —(т—1)/т									оо
сг=	2	т	I	X(v)e~i2nlxvdv= r						J X(t))e-'2lt/xc,rfu=tx(-rt).
т= —оо		—т/х							—оо
Таким образом, мы можем записать
			2	х ( / - — ) = х					2
		т=—оо V				Ч" /			ft=—оо
Поэтому,	если х ~		у^=>- f (x)=f (у) -<==>• х (&х) = у (йх) при fe = 0, ± 1, ± 2 , ...,
то

299

2 Х ( / - т / т ) = V Y Q - п и т). m~—oo m=—oo

В частности, при ж(0) = 1 и x(kt) ~ 0 для &^ О

	2	т
	2	T
	(П = —oo \	T

Мы получили критерий Найквиста для интерполирующих импульсов.

К упр. 2.1.

Пусть

d — псевдометрика, покажем,

что имеет

место

отно

шение

эквивалентности,

определяемое

соотношением

d (х,

у) =

0 =>- х

у.

Действительно, условия (1.12) удовлетворяются:

а)

d (х,

х) = 0,

следовательно,

х ~ х;

d (у, х) =

0 п х ~

у =>-

б)

d (х, у) =

d (у, х), следовательно,

d (х, у) =

=>- У ~ х\

г) <

d (х,

у) + d (у, г),

следовательно, если d (х, у)

= 0 и d

(у,

в)

d (х,

г) — 0, то d (х, г) = 0 и х ~ у, у ~ г =£- х ~ г.

S = { S j} ,

содержащее

все

Теперь

рассмотрим множество (пространство)

образованные таким образом множества эквивалентности. Мы можем определить

метрику d' на множестве

следующим образом:

(Si, Sj)

d (x, у),

где x

( S(

и у

£ Sj.

Вначале мы должны показать, что d' определено однозначно. Пусть х' —

произвольная точка в Sj, и у’ — произвольная точка в Sj, тогда

d' (х’, у') < d (х , у) + d (у, у') = d (х', у)< d (х’, х) + d (х, у) <=

= d (х, у), т. е.

d (х', у') < d (х, у).

С другой стороны, d (х,

у)

< d (х,

у')

d (у',

у')

= d(x, у ’) <

d (х, х’) +

+ d (х’, у’)=

d (х',

у'), т. е. d (х, у)

(х', у').

однозначна.

Отсюда мы заключаем, что d(x',

y ' ) = d (ху).

Итак, метрика d'

Теперь покажем, что d' является метрикой:

(Sj,

Sj) =

(x,

x) =

Sj ф Sy,

(St,

S.) =

d (x,

у)

0 при

Si);

(Sj,

Sj) = d ( x ,

y) =

d (y,

x) =

d' (Sit

(Sj,

Sft) =

d (x,

г)

< d (x,

d (y,

z) =Ф- d' (Sit Sh) <

rf (Sj, Sj) "f- d (Sj,

Sft),

где

Sj; у

Sj',

Sj.

Рассмотрим в качестве примера

d 2 ( х, у)= [J 1jc(0 —

(Ol2

1/2»

как в уравнении (2.5); здесь d2 есть псевдометрика, так как имеются разные функции времени, для которых d2 (х, у) ~ 0 (см. рис. 1.10). Рассматривая же d2 как метрику, мы в действительности говорим, что элементами метрического пространства (90, d2) являются не отдельные функции, а, скорее, множества функций, эквивалентных почти всюду. Мы впредь будем трактовать эти мно жества эквивалентности как элементы функционального пространства. Это

необходимо,	например, для того, чтобы можно было говорить об «обратном пре
образовании	Фурье».
К упр. 2.2.		Чтобы показать, что d (х, у) = \| f (х) — ft (у)\ есть псевдомет
рика, проверим условия, приведенные в упражнении 2.1:
a) d (х,	у)	= \ft	(х)	— fi (у) \| >	0	по определению модуля действительных
чисел, и d (х,	х)	=	(х)	— ^ (х)\| =■	0,	поскольку функционал есть однозначное

300

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3530 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ