книги из ГПНТБ / Френкс, Л. Теория сигналов

цию, физически более приемлемую. Мы превратим процесс х в стацио­

Физическая интерпретация этого в том, что наблюдатель, хотя он и зна­ ет, что наблюдаемый процесс образован путем периодических отсчетов некоторого исходного процесса, может и не иметь какой-либо «при­ вязки» моментов отсчета к исходному процессу. Если предположить, что б равномерна распределена в интервале 0 ^ б ^ Т, то получается

— oo

Итак, из-за случайного (рандомизированного) времени отсчетов (все моменты отсчетов расставлены равномерно), процесс х становится ста­ ционарным в широком смысле, причем автокорреляционная функция совпадает с полученной усреднением по времени [ср. (8.19)]. В неко­ торых задачах подобная случайность фазы дискретизации ясна апри­ ори, и мы заведомо имеем дело со стационарным процессом. В других случаях, важно сохранить исходную модель процесса с циклической стационарностью. Далее мы обсудим это более подробно.

Для стационарного случая имеет место простая связь спектраль­ ных плотностей на входе и на выходе (см. рис. 8.1). Беря преобразо­ вание Фурье от (8.22), находим

201

Теперь, используя формулу суммирования Пуассона (6.125) из (8.23), получаем

1 0 0

Таким образом, спектральная плотность процесса х есть периодиче­ ская функция, полученная суммированием сдвинутых по частоте спек­ тральных плотностей процесса у, умноженная на огибающую R (/).

Рис. 8.3. Спектральная плотность мощности процесса, полученного в результате дискретизации.

Это показано на рис. 8.3. Если Т выбрано достаточно малым, так что процесс у мало изменяется за Т сек, то полоса частот, соответствующая Куу (/), мала по отношению к 1/Т. В этом случае

Kxx{ f ) ^ ^ - K yy{f) = Kyy{f),

ления величины 0 постоянна в интервале 0 < 0 < 2я. Существуют ли другие плотности распределения для 0, при которых х стационарен в широком смысле?

функция t. Показать, что среднее по времени этого среднего квадрата ошибки есть

j, j №уу (0)— kyy (x)]dx.

о

Привести пример стационарного процесса у, для которого средний квадрат ошибки равен нулю.

202

Синхронизированные импульсы, с амплитудной модуляцией

Важное обобщение процесса дискретизации получается заменой прямоугольных импульсов s (t) импульсом произвольной формы. Мы предполагаем, как и прежде, что амплитуды импульсов задаются ре­ ализациями дискретного процесса {ah; k — 0, ± 1 , +2,...} (нет необ­ ходимости получать амплитуды как отсчеты непрерывного процесса). Говорят, что образованный таким образом сигнал

несет информацию в амплитудах {aft}, наложенную с помощью ам­ плитудной импульсной модуляции (АИМ).

Можно сказать, что такая модуляция является синхронной в том смысле, что интервалы между импульсами одинаковы.

Предыдущий вывод формул для среднего значения и для автокор­ реляционной функции охватывает этот случай, если предположить, что последовательность {aft} стационарна в широком смысле, т. е. если для всех k

Последняя сумма в (8.27) есть периодическая функция t (с периодом Т). Поэтому АИМ сигнал является циклостационарным процессом. Свой­ ство циклостационарности можно пояснить (но не доказать) также бо­ лее очевидным образом, притом в более общем случае. Пусть s (t) есть очень короткий прямоугольный импульс (по сравнению с Т), как пока­ зано на рис. 8.4. Тогда, очевидно, средний квадрат процесса kxx (t, t) существенно изменяется в течение периода.

С другой стороны, можно выбрать такую форму импульса, что процесс будет стационарным в широком смысле. Чтобы показать это, предположим, что s (t) есть импульс с конечной полосой, заданный вы­ ражением

S(f) =

о в других случаях.

203

Используя несколько измененную формулу суммирования Пуассона (6.125), согласно которой для любого s (t)

легко показать, что периодические члены в (8.27) имеют вид

2 s(t— kT) = 1,

k = — oo

2 s(/-f-t —kT)'s(t—kT —mT) = s (t + mT).

k = — oo

Рис. 8.4. АИМ сигнал, использующий короткие прямоугольные импуль­ сы: типичная реализация (а); средний квадрат процесса (б).

Таким образом, для этой частной формы импульса АИМ сигнал стацио­ нарен в широком смысле, причем среднее значение и автокорреляцион­ ная функция определяются выражениями

т— — оо

Теорема отсчетов

Важным приложением этих результатов является теорема отсчетов для случайного процесса с ограниченной полосой, которая является непосредственным обобщением теоремы (6.128) для детерминирован­ ного сигнала с ограниченной полосой. Пусть имеется последователь­ ность {ah} равномерно распределенных отсчетов стационарного огра­ ниченного по полосе случайного процесса (в том смысле, что Kvu (Я —

— 0 для |/ | > 1/2Г). Мы имеем

Ч = У (kT)=>ат = kvy (mT).

Из (8.30) с учетом (8.28) получаем для любого /

204

Kxx(f) = S(f) 2 kyy (tnT) е/зятт-/ —

m—— oo

Кросс-корреляционный член в (8.32) можно вычислить, используя (8.29) с учетом ограниченности по полосе Куу (/) и S (/). Это дает

Выше учтено, что только один член суммы (с I — 0) отличен от нуля. Подставляя (8.31) и (8.33) в (8.32), окончательно находим

Таким образом, мы имеем право сказать, что ограниченный по полосе процесс может быть представлен своими отсчетными значениями:

k

Это представление точно в том смысле, что средний квадрат ошибки равен нулю.

Спектральная плотность мощности АИМ сигнала

Возвращаясь теперь к случаю произвольной формы импульсов, следует рассмотреть циклостационарный процесс, трактуя его как стационарный со случайной фазой, или, как было сделано выше, опре­ делить постоянную составляющую и корреляционную функцию усред­ нением за период. Следовательно, если мы определим процесс в виде

где б распределена равномерно в интервале 0 ^ б ^ Т, то

—оо

205

*т = — оо

причем последняя сумма периодична по / имеет период 1 /7, a R (/) = = | S (/) |2. В рассматриваемом более общем случае R (/) не обращается в нуль в точках, кратных 1 IT, как это имело место для прямоугольного импульса в (8.24). Это может приводить к росту отдельных гармони­ ческих составляющих, появлению дискретных компонент спектраль­ ной плотности процесса. Например, пусть {aft} статистически независи­

*■* т = — оо

где сумма периодична по х и имеет период 7;

К**(/) = - у Я ( / ) + ( f - ) 2 2 /?( т ) б ( / “ т ' ) ' (8'41)

б-функции в (8.41) представляют собой мощность, сконцентрирован­ ную в точках, кратных 1/7. Мощность на этих частотах зависит как от среднего значения последовательности {aft}, так и от формы импульса.

Эти результаты имеют практическое значение для тех случаев, когда при приеме информации дискретные компоненты спектра не ис­ пользуются и приводят лишь к энергетическим потерям. Проектируя систему, часто можно варьировать как последовательность сообщений, так и форму импульса, чтобы управлять относительным уровнем дис­ кретных компонент. Впрочем, наличие дискретных компонент на неко­ торых частотах не всегда нежелательно. Выделив эти компоненты, можно использовать их, например, для масштабирования времени на приемном конце [2, 4], что избавляет от дополнительного канала синх­ ронизации. Периодическая структура последовательности {ат } полу­ чается, например, при периодической вставке синхронизирующих импульсов в АИМ сигнал. В подобных случаях тоже могут возрасти дискретные компоненты спектральной плотности.

206

s i t )

1-

Показать, что процесс циклостационарен, затем с помощью рандомизации фазы получить процесс, стационарный в широком смысле. Вычислить среднее значе­ ние и автокорреляционную функцию, выделив члены, соответствующие непрерыв­ ной и дискретной частям спектральной плотности.

Упражнение 8.4. Рассмотрим двоичную систему передачи, в которой сиг­ нал s0 (t) соответствует «нулю», a sj (t) — «единице». Предположим, что после­ довательность двоичных символов статистически независима и что «единица» появляется вероятностью р. Предположив также, что сигналы излучаются син­ хронно (каждые Т сек), применить рандомизацию фазы для получения стацио­ нарного в широком смысле Процесса. Вычислить автокорреляционную функцию и спектральную плотность процесса, отделив дискретные компоненты, если они имеются. Как такая модель может использоваться для представления спектраль­ ной плотности при двоичной фазовой и частотной манипуляции? Наметить путь обобщения, переходя от двоичного алфавита к алфавиту с большим числом сим­ волов.

k—---- ОС

где случайные величины а^ могут принимать только значения 0 и 1.

8.4. ВЛИЯНИЕ КОДИРОВАНИЯ НА СПЕКТРАЛЬНУЮ ПЛОТНОСТЬ

Из предыдущего примера ясно, что форма импульса оказывает основное влияние на спектральную плотность АИМ сигнала. Однако, изменяя последовательность {ай}, также можно изменить спектраль­ ную плотность. Обратимся к операции кодирования сообщений. Обыч­ но вопросы кодирования обсуждаются в связи с обнаружением и ис­ правлением ошибок, но некоторые простые операции кодирования ока­ зываются весьма полезными для перераспределения мощности в час­ тотном дипазоне. Это часто делают, чтобы более эффективно согласо­ вать сигнал с параметрами канала передачи.

Для иллюстрации соответствующих идей рассмотрим влияние ко­ дирования двоичных сообщений (ak = 1 или 0). Предположим для про­ стоты, что элементы основной некодированной последовательности ста­ тистически независимы и что вероятность события [ah = 1] равна р. Мы считаем, что форма импульса s (t) произвольна, однако в большин-

207

стве практических приложений полоса импульса не превышает 1J2T, так что межсимвольные помехи малы (см. § 6.7). Для некодированного двоичного сигнала имеем*’

С учетом (8.41) спектральная плотность принимает вид

Влияние рассматриваемых ниже различных кодирующих схем будем оценивать путем сравнения получаемой спектральной плотно­ сти с (8.43). Многие последующие результаты можно распространить на случай алфавита из большего числа символов [5].

Дифференциальное двоичное кодирование**’

Измененный двоичный АИМ сигнал

Из (8.46) следует что b = 1/2, т. e. «нули» и «единицы» дифферен­ циальной последовательности равновероятны, независимо от вероят­ ности «нулей» и «единиц» исходной последовательности.

Пусть

pm = £ (b ftbft+m] = P[6ft= l и 6fc+ra= l ] = ± P [ b h+m= l \ b k=\]. (8.47)

*> Напомним, что ад есть конкретная реализация случайной величины а^. **> Рассматриваемый способ кодирования весьма близок к так называемым

относительным методам передачи сообщений. — Прим. ред.

208

Условную вероятность в (8.47) можно представить как сумму двух ве­ роятностей, взятых при условии [bk — 1],

Из (8.47) и (8.48) следует, что рт удовлетворяет разностному уравне­ нию первого порядка с постоянными коэффициентами,

Решение этого уравнения при начальном условии ро = V2 и при условии рт = р_т имеет вид [9]

Теперь, используя (8.39) с заменой {<хт } на {|Зт } для спектральной плотности, находим

=2 (1 -2 р )| " 'е '2” г'

т— — оо

(8.51)

Второй член в (8.51) дает дискретную часть спектральной плотности, обусловленную только постоянной составляющей последовательности

{Pm}-

Мы видим, что дискретные компоненты не зависят от величины р и они такие же, как для некодированного сигнала (8.43) при р = V2. Непрерывная часть спектральной плотности изменяется за счет перио­ дической «модулирующей» функции М (/) в (8.51) Можно получить простое выражение для М (/), разбив сумму по т на две части, каждая из которых представляет собой геометрическую прогрессию и легко вычисляется:

209

циальном двоичном кодировании.

Биполярное кодирование

В силу ряда практических причин при конструировании системы передачи с АИМ часто желательно уменьшить спектральную плот­ ность на низких частотах и в районе частоты повторения импульсов. Это было бы достигнуто при дифференциальном двоичном кодирова­ нии, если бы можно было гарантировать, что сигнал до кодирования имеет высокую плотность импульсов, так что р > V2. Поставленная задача решается более успешно при применении биполярного кодиро­ вания [4]. Как отмечалось, некодированный сигнал униполярен, по­ скольку импульсы генерируются лишь тогда, когда ah = 1. Бипо­ лярный сигнал обладает такой же структурой, но соседние импульсы последовательности имеют противоположную полярность. Интуи­ тивно ясно, что эта операция уменьшает спектральную плотность на низких частотах. Амплитуды импульсов биполярного сигнала за­ даются последовательностью {сй}:

оо

2 4 s (t— kT), k= -00

причем спринимают три значения (троичная последовательность):

Расчет среднего значения и корреляционной функции последо­ вательности {сft} упрощается, если установить связь {cft} с дифферен­ циальной двоичной последовательностью.

210