книги из ГПНТБ / Френкс, Л. Теория сигналов

k

k

Следовательно,

£ 1{х (<)—У (0}2]=2/гуу (0 )-2 2

few (<-ЬГ) s (/—feT),

k

где Sfc (t) — прямоугольный импульс,

шириной ahT, с началом в точке t = kT;

aft распределены равномерно в интервале (0, 1).

sJ t )

к Г

(к+1)Т

t

£xx(^ii ^2)

S Е lsft (*i) sj (^2)]»

E [Sfc (h) SJ (<a)] =

k

i

при j ф ft.

P [Sft (h) = 1 ]P [s, ( t 2) = l]=q (h-kT) q\{h-)T)

При j «= ft оба значения tx и t2 должны лежать в интервале (kT, (k +

1) Т), иначе

сомножители обращаются в нуль. Т. е.

Е [s* (h) sh (t2)] = Р [sft (h) =

1

и sk (t2) = 1] =

_ ( q ( h — kT)s(tz— kT)

при7!><2,

\ q ( t 2— kT)s(t1 — kT)

при h

< t 2 .

Поэтому, положив

= t + т; t 2 = t

и k =

/

+

m,

можно легко

увидеть, что

автокорреляция имеет период Т по t:

i'2t q(t +’t—jT)s(t —jT)+'Z

2

q (t-^-t —j T —rnT) q (t—/Т)

/

i

при т > О,

kxx W4" ^ > 0 :

^ q ( i - j T ) s ( t + X - ■ m + ъ

s

?(*+ * - - j T —тТ) q (t—jT)

i

i

тФ0

при

т < 0 .

Рандомизация

фазы. Рассмотрим х (t +

8),

где 8 — независимая случай­

т

т

1 Cx ( t ) d t = - y

j q(t)dt = -j-,

о

т

о

kxx (т)»:= у

Jkxx{t + t, t) dt =

т

о

т

= у § q ( t + x)dt + ~

2 ^ q ( t + r - m T ) q ( t ) d t .

т

t \ .

Т 1

т V / _ х

- + т W

Гд СФ

1 - — d t = — 1 —■

2 + — ), 0 < т < Т.

' - К 1- -

Т

6 \

Т

6

Заметив, что rq (т) — четная функция,

можем записать

Объединяя эти результаты, мы имеем

kxx (т) =Г(т) + - у ^

rq (т—тТ) ,

I 0

при | х | > Т .

Замечая, что

Е ц tf)=S* (/) Sj (/) при i, / =

0, 1,

запишем спектральную плотность мощности в виде

Kxx Ф = — Р (1 ■- Р ) 1 1So ф I2 + | Sj. Ф !2- 2

Re (S*o (f) St (f))} +

+ p ( l —р) 2 R e s5't W t

4 f - T ) •

дискретная составляющая

К

упр. 8.6. Двоичная А И М .

а)

Р[aft= 1]

=1/2

]

Т о г д а мы имеем

а т

= Р [ а й + т = 1

и

aft =

1] =

1 _ _

3

=^ ^ [ a f t + m - i = 0 и

a ft= l ] +

—

P [ a f t + m _ i =

l и а й = 1].

Н о

Р [aft+m- i = 0 и aft =

1] + Р

[aft+m- i =

1 и

aft = l ] =

P[aft = l ] = — ,

1 / 1

\

3

атп— 4 I g

— a m - l l +

4 а т-1

или , что

то

ж е ,

&т~~ g

a m -1—■g

П о л у ч и л о с ь

разностное ур ав н ен ие первого порядка с постоянными коэффици­

ентами,

общ ее реш ение которого есть

1)

а0 =

1/2,

2)

a OT =

1/4,

3)

ат — четная

ф ункция т,

мы

находим

0-т — ’

1

т Г + '

б )

И з

(8.39)

имеем:

Кхх Q) =

—

\S (f) | 2 2

« т

e /23tm rf =

|S(/)

^

| — ~У m ' е !2лтГ^ 4-

I ^ ^

I2 ^ e /2nmT7_

4 Г

m

2

Второй

член

1S(/)I

IjZnmTf _

\S(f)\

4 T

4 T 2

дает д и ск р етн ую с о с т а в л я ю щ у ю

спектра м ощ ности .

П ер в о е с лага ем ое

(см ., на ­

пример,

(8.52) при

р =

1/4)

мож но

переписать

в видеI

I S(f) I2

v

/ J _

V m 1rf9«n,Tf

3 | S ( / ) | 2

1

4T

^

\ 2

/

4T

1 -(-8 (sin n l/)2

'

К упр. 8.7. Полагая в (8.39) а т =

аор'

т |

получаем

Кхх

2

«оР 1-1е/2я-И = 1 М ) ] ! М (/)>

где

M ( f ) = a о ^

Рт е,2ятП + «о

2

Рт e ~ i 2n,rnTf—а 0 =

т = 0

1

т = 0

1

■1

а о(1 + р)

= ао 1 _ р е/2я77 ■+ 1 _ рре

i 2 n T f

(1—р) + —~^-sin2 nTf

1—р

а) Пренебрегая множителем

|S .® |2,

можно считать, что величина

М(0)

/1 + р \ 2

Pm= (—l)m«m = ao (—Р)1"Ч

т. е. просто р в предыдущем примере заменяется на —р. При р ^

1 в точке ft = О

имеет место минимум спектральной плотности.

в) Дифференциальная АИМ:

Ch — a h — ak - i >

Ут — Е [cfc+m cft] —Е [(а&+т

afc+m-i) (aft— afc-i)] —

= 2am—am_i—am+! = ao [2p|m| —pi m~l l _ plm+ 1I];

M (/) = 2 a0 2 P1m 1e,'2nmr?—a 02

p' "*1е '2я

+

m

m

— « о 2 P 1 m ' e ^ 2 r t <m~ n T f _

a «

I 4 s i n 2 n 7 7 ]

( H - p )

l _ p + _ t e - „ n.„7T

'

1 - p

00

оо

1> 0 ) = 2

2

п (т+ п) Рп (h) Pm(h — t\) —

= 0 т —0

= е - м . . - ы е- « .

2

I „(„+„)

ч = 0 т=0

«I т!

“ Гн^ (Яр)”

+

—Я.0)

П (kti)n

—Xji [Я/2 “Ь 1] при t<i >■ ^ ^ 0.

4= О

/г!

П!

В силу симметрии

^NN (0> 0) =

^2 [^1 “Ь П при ti ^ ^

О*

ОО

Р [| < а < | + Д|] =

2 Р [наличия k — \ пуассоновских точек в £]х

k=i

Х Р [отсутствия переходов в этих k — 1

точках] X

ХР [наличия fe-й точки в интервале |

-f-£ + Д|] X

X Р

[наличия перехода в k-й точке] =

ОО

= 2 P k - i ( i ) ( i - p ) k- 1 № i ) p =

*= 1

=pU6 2

-p)k- l=pUle-»*;

_________P [Белого] =p

a

Черное

Черное

D- Белое

t

о

В силу симметрии,

среднее время

между переходами

обратного направления

(т. е. бело-черным и соседним черно-белым) определяется выражением

1

M i —р) '

Следовательно, среднее время между любыми двумя переходами равно

[a -f-b\

1

1

2

Mi—p)

. м

2M

( 1 - P ) ’

что соответствует средней частоте

переходов

2Яр (1 — р).

К упр. 8.10. Для случайной

функции

скачков раньше было определено

Поэтому kxx (т) = Е [х (/-(-т) х (/)] = а2Р [/

т и t попадают в один интервал] +

+ (а)2Р [t

-f т и t

попадают в разные интервалы] = а2Р [отсутствия точек пе­

рехода за

т сек] +

(а)2Р [наличия хотя бы одной точки перехода

за

т сек] =

= а2Р0 (т) + ( а ) 2 (1— Р0 (т)) = [а2—(д)2] Р 0 (т) + (a)2 = a l е

я 1т 1 + (а)2.

К упр. 8.11. Пусть а т=Е [ah+mak\ = а 2 р1т 1, где |р |< 1 .

Так как « „,= 0,

мы имеем Е [х (t)] = £ [дд] = 0 ,

kxx (т)

оо

Е [х (t +

т) х (/)] = д а ^

Р1* 1

[наличия

k=o

k пуассоновских точек

ОО

pfe(Xx)k e ~ ^ =

между моментами

t и

( + х ] = а 2

k— 0

k\

= a | e ~1I—

при т >

0. Следовательно,

kxx (r) =Ga ё~^1~ Pi ^ ' x ' =Oa e—^ ' x L

Этот процесс

эквивалентен

случайной

функции скачков с нулевым средним и

параметром

Х= (1—р)Я.

К упр. 9.1.

T0 :(o(t)—

J

А0 (t — а) х (о—Т) da,

— ОО

ОО

7’i : e ( / ) =

J * [f - 6 )x (S )d g + «(*)•

Кыг Ф

//о (/) G* (f) Кхх (!) е~~12пТ1

Н (/) ~ Кгг ( f ) ~

I G (f) |2 Кхх Ф + Кии (О

'

Таким образом, мы просто даем наилучшую оценку для х (t — Т) [см.

(9.16)]

и достигаем этого путем «сглаживания», характеризуемого

множителем

Н0 ф.

СО

1Х= Е [{Jh(t — a) u(a)da)2J =

J | Я (/) |3KUu Ф df.

Теперь, положив / = Ix +

будем варьировать Я ф

и приравняем гради­

ент функционала I нулю. Мы получаем

ф 1Я ф =0 .

Следовательно,

н ф

I * Ф I2 G* ф

|О (/)|2|Х ( 0 |2+ЯХцц(/)’

где множитель Лагранжа %выбирается так,

чтобы удовлетворять ограничению

00

№ К и а Ф \ Х ф |2

/ 2 = j 11 —G (/)Я (/) |21X (/) |2 df

[| О ф Х ф

|2 + ХЯин(/)Г df-

— ОО

I

e->0

8

Kxx (f) lim

V ( f ) + zU(f)j-%- J - 4 f )

df =

8 —►0

&

—oo

Поэтому согласно (6.34)

имеем

Пусть теперь

VPS == —2 /~ 3 (/) Kx x (f).

V (/ + IPs) = 0 =*- 2Kua Ф J (/) -

2kKxx (f) У-з (/) = 0 > -

J* (f)

(f) K ~ 1(/);

^Ш =

\'ККХХ(1)ЛХ1‘‘

= | G (/) | _1,

|Я (/)| = [ - £

^ |

Кхх I Gi |2

( G2 I2

\Н |2—KXXG*\ g! H* -\-Kuu \H ]2 = 0 ,

]

Kxx | Gj |2

| G212

| H \ * - K xx Gi Gi H* +XKxx 1G2 p = 0

P

=^Kuu\ K\ 2 —XKxx | G212.