Чтобы убедиться в непрерывности Dul (х) как функционала от х, запишем
|DU/ (x ) - D u / (Хо) | = |
| (**и, х)-(**и , |
х0) + |
(^ х . |
н)—(«т£х0, и)| = |
= |(^и , X—х0) + (^ |
[х—х0|, |
u ) |< |( i u ,• |
X—х0)| + |
+ I |
1х — х 0], |
и) К |
11 II || X— х 0 К+ |
||^# t X — х 01II ISи II- |
Здесь использовано неравенство Шварца. Поскольку Ив — ограниченный опе ратор, можно найти такое вещественное положительное число k, что
|| ивх || < k || х || для любого х.
Подставив это неравенство в предыдущее, получим
I Du I (х) — Du 1 ( х0) | < /г I х — х01| + fe|| х —x0|| = 2fe||x — х„||.
Отсюда сразу же следует, что Dul (х) — непрерывный функционал, поскольку это неравенство имеет место для любого х0 и любого направляющего вектора и.
К упр. 6.3. Пусть задано Н (/) (и, следовательно, f0), и пусть х (t) — сиг нал, ограниченный по длительности в интервале | t \ < Т. Пусть теперь Т стано вится весьма малым по сравнению с 1//„. Тогда, независимо от формы х (t) на интервале |^| < Т, входной сигнал приближается к импульсивному, т. е.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у (t) zzah(t), |
где а = |
^ * (t) dt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— т |
|
|
|
|
|
В |
этом |
предельном случае |
максимум выходной |
энергии |
просто соответствует |
максимуму |
а, |
если х (t) |
имеет |
единичную |
энергию. |
Найдем |
максимум |
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
а |
= /] = |
J w (t) |
х (t)dt = |
(х, |
w) |
при |
ограничении / 2 = |
J w (t) хг (t) dt = |
= |
|
— ОО |
1. Пусть |
I — lx + XI2, и, |
полагая |
V/ == 0, |
— ОО |
V/ = |
0 => |
(wx, |
х) |
= |
получаем |
=£- w (t) + |
2Xw (t) х (0 = 0 =>- х (<) — постоянная |
величина в |
интервале |
| i | < |
< |
Т, т. |
е. входной сигнал есть прямоугольный импульс. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) |
|
|
Импульсная |
|
дy(t) |
|
|
|
|
|
|
|
Энергия на входе |
реакция |
|
Энергия на выходе |
|
|
|
|
|
|
h(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(*,*) |
|
|
|
|
|
|
|
(У,У) |
|
|
|
|
= |
К |
упр. |
6.4. |
В |
этой |
задаче надо |
максимизировать |
/, = |
(wy, |
у) = |
(w [h |
|
xj, h ® |
x) при ограничении /2 = |
(x, x) = 1. Оба квадратичных функ |
ционала содержат самосопряженные операторы, таким образом, положив гра диент функционала / = /j — Х12 равным нулю, получим
00
^Л, (t,x) х (т) dx = Хх (t).
—ОО
|
X |
Mi) |
------- |
|
1И=/ |
|
|
|
Ядро |
находим по табл. |
6.1: |
|
|
|
т |
|
|
Аг (t, |
т) = ^ h (о — т) h* (a — t) do |
|
|
— т |
|
Заметим, что |
|
|
|
|
|
|
® (0 = -£ -П + |
sign (Т — 1/|) |
|
|
|
|
ОС |
|
К упр. 6.5. |
Мы имеем |
{ /(0 = ^ |
ft (i—т)х(т)с1х, но |
в согласованном |
случае |
|
|
•ОС |
|
ft (to— t) = |
ах (0 =Ф- ft (0 = «х (t0— t) =ф - */ (() = |
|
|
|
|
ОС |
|
|
|
|
= |
^ ах (h — t + х) х(х) dx = arx (ta — t) = arx (t —t0). |
— оо |
|
|
|
|
Последнее равенство записано, |
исходя |
из (2.40) для вещественных сигналов. |
К упр. 6.6. Для вещественных сигналов преобразование |
Фурье функции |
автокорреляции согласно (2.41) |
имеет вид |
|
|
|
|
Rx ( f ) = |
\ Х ф |2 , |
|
таким образом, Rx Ф также имеет ограниченную полосу Щ < W. Согласно равенству Парсеваля
ООIV
г\ (т) dx = ^ |
I Rx (/) |2 df, |
|
|
— оо |
|
— W |
|
|
|
а применение неравенства Шварца дает |
|
|
|
w |
w |
г w |
|
|
$ I Rx (/) I2 df |
5 |
1df > |
jj Rx (/) 1df |
|
-w |
-w |
-w |
|
|
или |
|
|
oo |
|
|
oo |
|
|
|
|
5 ri м dT [2tt7i > л |
(°)=^ |
$ ri w |
dx |
2W |
|
|
|
|
|
Равенство достигается, когда | X (/) |2 есть константа на участке |/| < W; таким образом, импульс, обеспечивающий минимум радиуса корреляции, есть
x(t) = sin 2nWt
|
|
|
2n\Vt |
|
|
|
К упр. |
6.7. |
Максимизируем |
Д = у |
(t0) = |
(х, |
g); g (t) = h |
(iQ— t) при |
ограничении |
h = |
(x, x) = 1, x = |
wx при |
w (l) = |
j |
f1 +sign (T |
— | ij)]. |
Пусть
/ = (wx, g)-f-)l(wx, wx) = (x, wg)+A(wx, X ) ,
тогда
V 1 = 0 =>- wg -f- 2awx = 0,
т. e. |
x (t) = w (t) h (t0— t). |
К упр. 6.8. Максимизируем lx = v2 (t0) при ограничении /2 = (vb i) = 1. Используя функционалы в частотной области, имеем
Л=»*(<»)= 5 H( f ) vt (/) |
= (Vl. G), |
—•'со |
|
где
0(/) = Я* (/)е -'2я?Ч
/а = (VlP |
1) = |
|
(1, V1) = (YV1, V J . |
Пусть / => /х + Я/2. Полагая V/ = |
0, заметим, |
что / 2 не является самосопря |
женным оператором, поэтому |
|
|
|
|
|
V/, = |
[К ® |
+ У* 0 ] |
Ух 0 . |
Тогда |
|
|
|
|
|
V /= 0 = G 0 |
+ |
2MReY |
0 ] |
Ух 0 . |
Следовательно, |
|
|
|
|
|
I/ |
Я *(/)е-'2л^ . |
|
|
|
(—2А,) Re У 0 |
• |
Постоянный множитель (—\/2Х) следует определить из условия нормировки
энергии на входе. Учитывая, что У (—f) = |
У* 0 , получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
- 11/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—2Я = |
|Я(/) I2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
Re У 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
о- |
|
|
|
»(f) |
|
|
|
|
—о + |
|
|
|
|
у/ # |
|
Y(f) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— о- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— о — |
|
|
К упр. |
6.9. |
В частотной области задача формулируется так. |
Надо мини |
мизировать /х = |
|| G — ХН ||2 |
при |
ограничении / 2 = |
|| х || 2=const, где G 0 , |
Н 0 |
заданные функции частоты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ x = |
(G -X H , |
G—ХН) = (G, |
G) —2 (X, Н* G) + |
(| Н |2 X, |
X), |
|
|
|
|
|
|
|
/ 2 = |
(Х, |
X). |
|
|
|
|
|
|
Заметим, что оператор (| Н |2х, |
х) самосопряженный. |
|
|
2| Н |2Х + |
= 0, |
Берем / = /х + |
Х12и полагаем V/ = |
0, т. е. —2H*G + |
отсюда получаем искомый результат |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X(f) = |
Н |
* ( П |
G |
Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\Н(/) I2 |
+ К’ |
|
|
|
|
|
|
где X должно быть выбрано так, чтобы удовлетворить условию J |
|Х 0 |2 dfi = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— ОО |
|
Н - 1 0 , |
= / 2. Если соответствующее значение А, достаточно мало, то X (f)=G 0 |
т. е. мы получаем тот же результат, |
что в задаче без ограничений. |
Наиболее |
интересен" случай, когда G 0 |
содержится |
в полосе Н 0 . |
Заметим, |
что при |
G 0 = |
1 результат |
получается таким |
же, как в примере |
6.4. |
|
|
К упр. 6.10. |
Например, |
пусть 1Х= |
1/2 и / 2 |
= |
1/2 |
(при этом мы попадаем |
на линию с — 0 на рис. |
6.10). Положим х = |
xt + |
х2, где хх — прямоугольный |
импульс длительности Т, а х, |
|
|
|
|
sin 2nWt |
|
|
|
— импульс вида —2nWt |
’ имеюш‘ии пол°су W. |
Далее, подберем такие амплитуды, |
что || хх П2 = |
II х2 1[2 = |
1/2. Теперь, не из |
меняя |
W, положим |
Т -*■0. Тогда с -> 0. |
Заметим также, |
что (хх, |
х2) |
0, так |
что I) |
х || 2 = |
ИХх (] 2 + |
(I х2 Ц2 => 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К упр. 7.1. Рассмотрим вещественный процесс у (<) на выходе фильтра. Согласно (7.31) для него
Куу (f) = I Я (/) |2 К хх (/).
Пусть х (0 — белый |
шум со спектральной |
плотностью Кхх (/) = 1 для |
всех /, |
и пусть |
|
|
|
|
00 |
|
|
|
5 1Я(/)12# < ТО, |
|
|
—оо |
|
|
й (t) — произвольная |
вещественная функция из L2 (—оо, оо) (вообще |
говоря, |
это условие также не обязательно). Тогда |
|
|
|
|
ОО |
|
Kyy{f) = \ H { f ) \ ^ k y y ( x ) = |
5 h ( t ) h ( t+ x ) d t , |
|
|
|
— ОО |
|
и, следовательно, kyy (т) = гд (т) есть временная функция неопределенности фильтра h (t).
К упр. 7.2. Непрерывность kxx (т) вытекает из следующего. Мы имеем
I kxx (х + в) - k xx (х) | = | E [{x (t + x + e) - x (t + t)} x* (I)] | <
< {E [ | x (t + x + e )-x (t + т) 12]},/2 {E [| x (01* ]}1/2 = = {2kxx (0) —2 Re kxx (e)}1^2 {kxx (0)}'/2.
Далее, если kxx (т) непрерывна в нуле, то для любого у > |
0 найдется такое малое |
е > |
0, что |
|
|
У > I kxx (0) kxx (в) | = [{kxx (0) Re kxx (e))2 + |
|
+ (Im kxx (e))2 ]112 > kxx (0) —Re kxx (e). |
Следовательно., \kxx ( x г) — kxx (т)\ <^[2ykxx (Q)]1!'1 |
и kxx (т) непрерывна |
при |
всех т. |
|
К упр. 7.3. Согласно (7.22) средний квадрат флюктуаций имеет значение
|
|
|
оо |
|
|
|
|
(0) —2&жж (т) = |
2 J |
Кхх (/) [1 —е/2я^т1] df = |
|
|
Г |
-----ОО |
|
г |
|
|
|
|
= |
2 |
^ АГжае (/) [1 —COS 2л/т] df = 4 |
I' /С** (/) sin2 (я/т) df < |
|
W' |
|
|
W7 |
-W' |
|
|
|
/Сжж (/) df = {2iiWx]2-kxx (0). |
< 4 |
J /СЖх (/)[я/т]2<*/<4[я1Гт]2 |
С |
—W |
|
|
—W |
|
Следовательно, |
средний квадрат |
флюктуаций меньше, чем [2я№т]2£ [х2 (<)]. |
Мы имеем также |
|
|
|
W
кхх (т) = ^ Кхх if) cos 2nfxdf.
—w
|
Ho cos 2nfx > cos 2nWx при | / | < W и | x \ < |
If AW. Поэтому |
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
kxx (t) > |
cos 2nWx |
^ |
Kxx (f) df = |
kxx (0) cos 2nWx |
при | т | < 1 /4U7. |
|
|
|
|
|
-w |
|
|
|
|
|
|
Также, если т<Л /4№ , |
то |
|
|
|
|
|
|
к...... . |
Ww |
|
|
|
|
|
W |
|
|
> |
Kxx5 |
(ft |
cos2 |
(2' ^ dfT) = \ |
5Kxx (ft |
11+ c o s (4 lt/ dfT)] = |
|
W |
|
|
|
|
-w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
2 |
(0) ~b k x x (2t )] . |
|
|
К упр. |
7.4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
E [ \ y { t ) \ * ) = E |
J 5 |
x ( / - о ) A (a) x* (t - l) h* (6) dadl |
|
|
|
|
|
|
—oo |
|
|
|
= \ \ k x x ( l - c ) h ( o ) h * ( l ) d o d l .
x (t) |
b(t) |
y(t)=fx(t-d)t{d)dd |
|
Среднее значение |
представляет собой квадратичную форму |
{ah, h) типа (6.16) |
с ядром вида A (t, |
т) = kxx (t — т). |
|
|
Следовательно, оператор: 1) инвариантен во времени (оператор свертки); |
2) положительно-определен, так как при любой h (t) {ah, |
К) = Е [| у {t)\2]> |
> 0; 3) самосопряжен по (6.17), так как |
|
|
|
A'{t, т) = А* (т, |
t) = kxx{x - t); |
|
Е (х (£ + т - 0 х* (I)]* = Е [х (|) х* (| + т - 0 ] |
= |
= Е [х (a + t —x) х* (а)] = |
kxx{t —x) = A { t , т ) . |
К упр. 7.5.
kyy (т) = Е [у (t + т) у* (*)] = Е У (t + х) $ h* (t - I) х* (|) dl
“ $ |
A*-(<-|)£[y(/ + T)x*(i)]d6= J Л*(<-£)А№(/ + т - Е ) й6. |
— со |
— оо |
|
со |
|
•■= ^ h* (о —х) kyx (a) da. |
|
— оо |
Здесь использовано (7.29) и введено обозначение а = t + т —
ij(i)-fft(i,s)x(s)ds
Купр. 7.6. В общем случае выходной процесс не является стационарным
вузком смысле и согласно (7.24)
h v i h , h) = Е [у (*i) у* (tz)) = Е ^ h (<!, s) /г* (/2, о) х (s) х* (ст) d s d a
=s) h* (t2, о) kxx (s— o) ds do.
—00
Следовательно,
CO
|
k y y (t1» ^ 2) ” |
^ ^ (^1> |
^ 2 » |
k Xx (f) dx t |
где |
|
— 00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
H t l9 t 2j t ) = |
^ h ( t t , % + G ) h * ( t 2 , a ) da. |
|
|
|
|
00 |
|
|
|
y (t)= f fr(t,s)x(s)ds |
Аналогично |
|
|
|
|
h x ( h , |
h)= -E[y(t1)%*(i2)]=E |
^ h (h, s) x (s) x* (i2) ds |
|
|
|
■OO |
|
= |
^ h ( t lt s) kxx (s |
/2) ds — ^ |
h(tu |
x + tz) kx x (x)dx. |
К упр. 7.7.
Если ввести определения
kx x {%)=E[x(t) х* (/-ft)],
kyy М = £ [ у ( 0 У* V + т)],
то
kyy (т) = Е $§ А (*-о)х(о)А * (/ + т - 6 ) x*(l)dodl
00 |
ОО |
h ((—°) h* {t+ X— Q kxx ( l —o)da dl = ^ w ( t — s) kxx (s) ds, |
—oo |
—00 |
где |
00 |
|
|
w(t) = ^ h (ri) h* (t) + t ) d t) . |
|
—00 |
Но в этом случае |
W ф ■= | Н (—f) |2, |
К у у Ф ^ \ Н ( - П \ г К ш Ф -
Далее, если Н ($ соответствует узкополосному фильтру на частоте f, мы полу чаем (см. рис. 7.3)
£11 у (012]« ***(-/) Д/.
Таким образом, при указанных определениях Кхх Ш будет давать спектральную плотность на частоте —Ц. Ясно, что предпочтительно другое определение авто корреляции для комплексных процессов.
К упр. 7.8. Применяя (7.31), мы можем получить спектральную плотность мощности профильтрованного белого шума. Обозначим процесс на выходе фильт ра через х (t):
|
I Нф |2 = |
1 |
^ Кхх{ )~ |
1 |
1 |
|
1+ (Ш 2 |
п/о |
1+ (///о)2 ^ |
|
|
|
|
=> ^ ( т ) = |
е - 2л?»1т1 [см. (6.57)]. |
а) Поскольку Е [х (<)]= 0, то дисперсия kxx(Q)=e 2jlf« I * I — i . |
|
т |
|
|
т |
|
б) |
E |
|
|
§ kxx(0)dt = 2Г. |
|
—т |
|
|
—т |
|
в) |
Оптимальные базисные функции |
дает |
разложение Карунена—Лоэ |
и для их определения нужно найти собственные функции уравнения
Т
(j е—2nfo И—s! .ф.(S)ds = А,* ф; (О-
—г
С точностью до множителя я/0 последнее уравнение совпадает с (6.58). Поэтому собственные числа (6.61) следует лишь разделить на я/0. Ненормализованные собственные функции даются выражением (6.63).
г) В (6.148) использовано то же самое интегральное уравнение. Поэто при больших п
|
|
|
|
1 |
( 4 UT \2 |
|
|
|
|
|
'^n+i: |
|
|
|
|
согласно (7.49) |
|
|
|
|
|
|
|
Л|> — |
2 |
^‘ |
(4/о Т)* |
00 |
1 |
(4/,Г)« |
_dy_ |
(4/0 71)2 |
я/о |
2 |
|
я/о |
л»2 |
я/0п |
|
i— n+ 1 |
|
п+1 ^I* |
|
Теперь найдем такое я, при котором |
ss 0,01 (2Т): |
|
|
|
|
|
|
800 |
|
|
|
|
|
|
|
« = ------ /о г = 254/0 Т . |
|
|
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
Такое число членов требуется в разложении Карунена—Лоэва. |
|
д) |
Временное |
представление, использующее прямоугольные импуль |
вкачестве базисных функций, дает для (7.41)
Тп т
|
7ф= |
^ kxx{0)dt— ^ |
|
§§£**(*—s)9«(s)9*(0d<ds- |
|
—г |
|
|
г= 1 —г |
|
|
|
|
|
Применяя дважды равенство Парсеваля, |
находим далее |
|
|
Т |
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
J |
Ф/(0 |
\ k xx(t-s)<fi (s)dsdt^ |
$ Ф* (/) |
(/) Фг (/) <*/> |
-Т |
|
— г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
Jr |
f Wfl |
|
|
|
1 |
ф; ( / |
I (/) ф, (/) ■!/ |
|
(2я/)2 |
|
|
|
|
|
|
277я |
kxx (t) f 1 »1 *1 |
d/. |
|
|
|
|
|
= |
|
^ |
|
|
|
|
|
|
— 2TJn |
|
|
' |
|
2? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что это значение |
|
не зависит от г. |
Поэтому суммирование по t дает |
|
|
|
|
|
|
|
|
2Т |
|
|
|
|
|
|
/ф= |
J kx x ( 0 ) d t - 2 n |
J |
e ~ 2l* * ( V |
nt |
dt = |
|
|
2Г |
|
|
|
—Г |
|
|
|
|
|
о |
|
2я1о 2Г |
|
|
|
|
|
|
!■ |
|
|
|
|
|
|
|
= 2 Т — 2п |
+ |
|
|
|
" |
- 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 2я/0 |
2Г |
|
(2я/0)2 |
|
|
Или, используя степенной ряд для экспоненты, |
|
|
|
|
/ф = 2 Т - 2 п |
1 |
|
|
1 |
|
1 / 2Т )1 |
1 |
|
2Т \2 |
+ |
|
|
2я/0 + 2 |
V п )1 |
6 |
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
-2Т — 2Т -f |
2я |
, |
( |
2Т |
\2 |
4я |
|
(2Т). |
|
|
— |
(2я/0) ( |
|
~ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
Следовательно, для /ф« |
0,01 (2Г) |
|
нам необходимо |
я = 100 (4я/3) /оТ==420/о Т |
членов разложения. Это в 1,65 раза больше, чем при оптимальном базисе.
К упр. 7.9 Из приведенного определения «случайной мгновенной частоты» fi (t) мы имеем
1
£[w 3 (t) ff (01 = 2я • E fx (t) x (/) —x (/) x (/)] =
CO
(f)]df.
Можно подсчитать эти значения, используя частотное представление (7.29) для кросс-корреляции
Ky x (f)= H {f)K x x (f).
y(t)
А. Применяя (4.26), заметим, что
Таким образом мы получаем
К х (f)= [2я/ sign /] Кхх (/) = 2я | f | Кхх (/) •
X X
Б. Аналогично
К ■- |
(/)= [ —2я/ sign/] Kxx(f) = — 2n\f\Kxx(f)- |
XX |
|
|
|
|
|
Используя А и Б, находим далее |
|
|
оо |
|
Отт |
оо |
|
|
|
г* |
2 |
|
(* |
Е {w * ( 0 f i( 0 ] = - ^ - |
$ |
| / | * « М = 4 ^ //C**(/)d/. |
|
|
— оо |
|
0 |
Кроме того, |
|
|
|
|
|
Е К |
(01 - Е [х2 (0 |
+ |
х» (/)] =й*« (0) + |
~ (0) = |
= 2kxx (0) = 2 |
^ |
Кхх (/) d f — 4 ^ Кхх (/) df. |
Следовательно, «средняя частота» |
|
|
|
Е [w2 (0 f, (Q]
совпадает с
оо
] m x x (f)df
О
оо
J Кхх (/) df
о
К упр. 8.1. |
Использование |
комплексного представления |
упрощает |
эту |
задачу. |
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х (t)= Re [у e/2ltfo 1 \ =а cos 2лД, t — b sin 2л/0t, |
|
|
|
где у = |
а -f- / Ь, |
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
Е [х {t)\ = Re [£ [у]е,2я^ ] = асоз2 л /0/ — bsin2n/0/ = |
|
|
|
|
= К ( а )2 + (Ь)2 cos (2л/01 + 0). |
|
|
|
Следовательно, Е [х (/)! не зависит от t в том и только в том случае, |
когда а = |
Для автокорреляции мы имеем |
|
|
|
|
|
Е [х (t + |
т) х (0] = |
Е {Re [уу* е—у2я^° х + у2 е,2я^“ (2* + т)] } = |
|
|
— — - Re {Е [ | у j2] е~ <2ltf»T |
Е [у2] е!'2п^° (2<+ х^}. |
|
|
|
Чтобы устранить зависимость |
от |
t, мы потребуем, чтобы |
|
|
|
|
|
Е[у2] = £[а2 — Ь2 + / 2 а Ь] =0 . |
|
|
|
Так как вещественная и мнимая части должны обращаться в нуль, то £[а2] |
== |
= £[Ь2] и Е [a b ]= 0 ; тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
Е [Jv|2] = |
Е [а2 + Ь2] = 2Е [а2], |
|
|
|
|
|
kxx (т) = |
Е [a2] cos 2л/0т. |
|
|
|
Теперь, |
полагая |
х (t) — с cos (2лf0t + 6), |
так что а = с cos 6, |
b = |
—с sin |
6 |
и считая, что с и в статистически независимы, мы приводим предыдущие условия на а и b к виду:
о
о
2я
3) a b = 0 = £ -—с2^ |
cos г] sin tjPq(tj) dr] = 0 |
о |
о |
