книги из ГПНТБ / Френкс, Л. Теория сигналов

Тогда задача сводится к отысканию импульсной реакции h 2 (0. мини­ мизирующей ошибку /, причем

где \Kx (f)\2 = Kzz(f) + X и /Ся, (/) выбирается с помощью спектральной факторизации (9.126). Взяв X достаточно большим, можно удовлетво­ рить произвольно жесткому ограничению на площадь усиления, т. е. реализовать фильтр с произвольно малым значением I х. Чтобы пока­ зать это, заметим, что

Следовательно, если Е [ш2] ограничено, то и I х ограничено величиной, которая может быть сделана произвольно малой, при достаточно большом X.

Физически реализуемый согласованный фильтр

В качестве еще одной иллюстрации метода отбеливающего фильт­ ра рассмотрим снова задачу согласованной фильтрации, но теперь с уче­ том условия физической реализуемости. В этой задаче принимаемый сигнал не является стационарным случайным процессом, поскольку

261

он имеет детерминированную форму r(t)co случайным масштабным множителем а, которому и нужно дать оценку в виде напряжения на выходе фильтра с постоянными параметрами в момент t = t0.

При учете условия физической реализуемости необходимое усло­ вие для к (t) изменяется:

Рис. 9.20. Физически реализуемый согласованный фильтр.

Или, изменяя обозначения,

Сравнение этого результата с (9.73) показывает, что в случае белого шума h (t) есть просто усеченная импульсная реакция оптимального фильтра, полученного без дополнительного ограничения. Более того, если i0 достаточно велико, так что г (t) — 0 при t > t0, то усечение не приводит к каким-либо изменениям характеристики фильтра. Говоря иначе, если имеется возможность наблюдать импульсный сиг­ нал в течение всей его длительности, оптимальный фильтр физически реализуем.

Для шума с произвольной спектральной плотностью мы можем применить показанный на рис. 9.20 физически реализуемый фильтр, отбеливающий шум с характеристикой Н 1 (/), такой, что

Аuu(f)

262

Будем теперь искать физически реализуемый фильтр /г2 (t), минимизи­ рующий функционал I = Е [{у (t0) — а}2]. Входной сигнал фильтра

Следовательно,

to

h(to~ s) = a?q{s) 1— ^ h2(t0~o)q(o)do

или

Выполнив спектральную факторизацию Kuu{f) = К (f)K* (/), такую, что характеристика К*1 (/) физически реализуема, получим оконча­ тельную передаточную функцию реализуемого согласованного фильтра

Фильтр с конечной памятью

Завершая вопросы реализуемости, упомянем ограничение на время памяти фильтра. Условие конечной памяти физически реали­

важно в тех случаях, когда линейная оценка выполняется не фильтром с постоянными параметрами, а эквивалентным перемножителем-интег- ратором, причем входной сигнал умножается на опорный, и их про­ изведение интегрируется для получения нужной оценки.

Ограничение на длительность опорного сигнала эквивалентно в этом случае ограничению на память фильтра. Аналогично, если фильтрация выполняется цифровыми методами, ограничение на объем запоминающего устройства эквивалентно ограничению на время памя­ ти. Условие конечной памяти может быть исследовано точно тем же способом, что и условие физической реализуемости. В этом случае мы применяем дополнительное условие в виде

263

Средний квадрат ошибки определяется при таком ограничении из (9.119), но с заменой w на w±, а оптимальный фильтр должен удов­ летворять уравнению

t

^ h (t, o)kzz (s, о) do = kz(i>(s, t) при s < t ^ s -f T. (9.157)

Способы решения уравнения Винера — Хопфа при незначительных изменениях применимы к уравнению (9.157). Ряд авторов (12, 13, 17, 19] приводят методы решения уравнений этого типа, в частности для стационарного в широком смысле процесса и рациональных

K zz(f) И Ксо,(/).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

p.1101 — 1103.

264

1 0

ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛОВ

10.1.ВВЕДЕНИЕ

Вэтой главе рассматривается другой тип обработки сигналов, для которой концепция пространства сигналов играет особенно боль­ шую роль. Теория обнаружения также рассматривает задачи оценки параметров, но иначе, чем в гл. 9. Там проблема оптимальной филь­ трации формулировалась как задача минимизации среднего квадрата ошибки. Но во многих случаях, особенно когда параметры сигнала об­ разуют конечное множество, критерий вероятности ошибки представ­ ляется значительно более важным для приложений.

Рассмотрим, например, систему передачи информации, исполь­ зующую алфавит из т символов [1, 2]. В такой системе передатчик вырабатывает один из т возможных сигналов, образующих множество {s* (/); i= 1,2, ..., т). Предположим, что сигнал передается по каналу, вносящему случайные искажения за счет аддитивного белого шума и.

лов присутствует с наибольшей вероятностью. Можно свести эту и подобные задачи обнаружения к оценке параметра, если представить сигнал в виде функции двух вещественных переменных s (t, 0). Так,

жет выработать оценку 0 истинного значения параметра 0. Но, если статистические свойства шума известны, приемник может также вычислить т апостериорных вероятностей [т. е. вероятностей при условии, что принят сигнал у (f)], Р [0 = Qt\y(t)]\ i = 1, 2, ..., т.

Решение [0 = 0fe] принимается в том случае, если

Р [0 = 0fc | у (01 > Р 10 = Qi\y(t)h i= 1, 2, ..., т. (10.1).

Такой приемник не только выбирает наиболее правдоподобное зна­ чение параметра, но позволяет оценить надежность своего решения, т. е. вычислить вероятность подмены правильного значения параметра любым из т — 1 ошибочных значений. В данном случае мы могли бы получить те же результаты, используя менее строгий критерий сред­

него квадрата ошибки, т. е. минимизируя £[(0 — 0)2]. Действительно, нетрудно показать, что приемник (10.1) минимизирует также средний квадрат ошибки [2]. Однако такой подход завуалировал бы другие возможности. В предыдущих задачах оптимальной фильтрации для минимизации среднего квадрата ошибки нам понадобились лишь не­ которые статистические характеристики — среднее значение и корре­ ляция сигнала и шума. За конструирование приемника, минимизи­ рующего вероятность ошибки, а не средний квадрат, необходимо запла-

235

тить более полным знанием статистических свойств сигнала и шума — нужно иметь представления случайных процессов через плотности вероятностей.

Во многих случаях требуется построить решающее правило с уче­ том известных априорных вероятностей Р [0г] излучаемого сигнала или согласовать это правило с известными (неравными) штрафами за различные виды ошибок. В этих случаях оптимальный приемник выбирает не наиболее вероятное значение параметра, но все равно ре­ шающее правило использует вычисленные апостериорные вероятности Р [0г-1 у (01-Обычные способы построения решающих правил рассмат­ риваются в двух следующих параграфах. Для простоты, мы будем анализировать только двоичный случай, когда параметр сигнала при­ нимает одно из двух возможных значений. Обобщение на большее чис­ ло значений параметра несложно. В дальнейшем мы применим указан­ ные правила к некоторым классическим задачам обнаружения сигна­ лов и в случаях, когда сигналы наблюдаются на фоне аддитивного гауссова шума, получим легко объяснимые результаты. К счастью, эти весьма частные случаи имеют большое практическое значение, так как во многих физических системах помехи по своей природе аддитивны и гауссовы. Параграфы 10.2 и 10.3 содержат краткое изложение основных моментов из теории статистических решений и дают основу для после­ дующих применений. Для дальнейшего углубления в теорию обнару­ жения можно рекомендовать работы [2] и [5].

10.2.КРИТЕРИЙ ОТНОШЕНИЯ ПРАВДОПОДОБИЯ

Вдвоичной задаче обнаружения мы хотим на основе измерений, проведенных над принятым сигналом, решить, какая из двух гипотез

На основе принятой информации приемник должен решить, равно ли правильное значение параметра 0 нулю или единице. Во многих приложениях, например в радиолокации, нужно положить s0 (t) = 0, т. е. гипотеза Я 0 соответствует отсутствию сигнала. Часто именно та­ кая задача является основной, но наше обобщение на случай двух произвольных сигналов не связано с дополнительными усложнениями. Возможны четыре различных исхода. Они приведены в следующей таблице.

Учитывая, что штрафы за различные ошибки могут быть разными, мы вводим цены Cf и Ст ошибок I и II рода соответственно. Теперь можно построить стратегию решений, взяв апостериорные вероятности Р [Я0|у] и Р [Ях|у] с соответствующими весами-ценами*:

* Мы обозначаем через у функцию у (t), рассматриваемую как элемент про­ странства временных функций [в дальнейших приложениях L2 (Г)]. В этой главе под у следует понимать не случайный процесс, а отдельную реализацию случайного процесса.

266

или апостериорные риски, связанные с принимаемыми решениями.

обеспечивающую наименьший апостериорный риск, называется байесо­

вероятности со свойствами источника сигналов (априорными вероятностями) и с каналом передачи

(вероятностью случайных искажений). Для этого мы используем по­ нятия пространства сигналов. Рассмотрим пространство сигналов S, включающее все возможные сигналы на входе приемника и разбиения S [см. (1.9)] на подпространства (Sp, i = 1, 2, ...,}. Теперь, применяя формулу Байеса для несовместных событий [3], можем записать

есть априорные вероятности гипотез. Можно выразить условные ве­ роятности Р [у £ S ( | Я0] и Р [у £ 5 г | ЯД символически, вводя плотности вероятностей I (а\Н0) и I (а|Я Д , такие, что

Если S есть n-мерное вещественное пространство, то интегрирование в (10.6) производится по n-мерным объемам, а / (а | Я„) и I (а | ЯД есть просто п-мерные плотности вероятностей. Они называются функция­ ми правдоподобия и описывают нужные нам свойства канала (заметим, что они не зависят от априорных вероятностей).

2 6 7

Если мы будем выполнять разбиение S так, что каждая область может быть сделана произвольно малой, то апостериорные вероятности и функции правдоподобия естественно считать постоянными в каж­ дой из областей, и для каждой отдельной точки (10.4) можно переписать в виде

Объединяя (10.3), (10.7) и (10.8) мы видим, что отношение апосте­ риорных рисков пропорционально отношению функций правдоподобия:

Величина X (у) называется отношением правдоподобия для канала. Байесов приемник выбирает гипотезу Н0, когда отношение (10.9) меньше единицы, и гипотезу Hlt когда это отношение больше единицы (Неопределенная ситуация, когда риски равны, не имеет практиче­ ского значения, так как вероятность такого случая равна нулю.) Эта стратегия эквивалентна выбору гипотезы Н0, когда отношение правдоподобия А0 меньше порогового значения

PL m

и гипотезы # i — в обратном случае. Уравнение X (у) = Х0 опреде­ ляет поверхность в пространстве сигналов, которая делит это про­ странство на две области Д0 и R u такие, что

Таким образом, байесов приемник вычисляет значение отношения правдоподобия для принятого сигнала и сравнивает его с порогом, определяемым с учетом цен и априорных вероятностей. Если отноше­

2 6 8

Аналогично, обозначим через Рт вероятность ошибки II рода для слу­ чая, когда верна гипотеза Н и

апостериорный риск, обеспечивает и минимум среднего риска. Чтобы доказать это, возьмем произвольную стратегию, соответствующую областям R'o и R{ (S — R'0\j R'r, /?оП^ 1 = 0 ) и сравним получаемый

средний риск С' с риском Св для случая байесовых областей, соответ­ ствующих (10.11),

269

Из условия (10.11), определяющего области R0и R видно, что подын­ тегральные выражения в (10.16) положительны над областями интег­ рирования, следовательно,

| Риск вля фиксированной

стратегии, оптимальной при р=р0

~с, рР

Минимаксный риск Байесов риск Сд

Априорная вероятность р

Рис. 10.3. Типичная зависимость среднего риска от априорных вероятностей.

Некоторые частные случаи байесова приемника представляют особый интерес. Если пены ошибок равны, Ст = Cf = 1, то средний

риск С (10.14) есть просто средняя вероятность ошибки. В этом случае, = q/p и мы приходим к критерию идеального наблюдателя. Далее, если обе гипотезы равновероятны, то Я.0 = 1 и получается приемник (критерий) максимального правдоподобия. Типичная зависимость бай­

есова риска Св от априорной вероятности р показана на рис. 10.3. Для разных р нужны разные Х0. Интересно рассмотреть зависимость среднего риска от р при фиксированной стратегии (т. е. при конкретном значении Х0). В этом случае Рт и Pf фиксированы и

C = pCmPm + ( l - p ) C f Pf = {CmPm~ C f Pf}p + Cf Pr (10.18)

Следовательно, С есть прямая с наклоном СтРт — CfPf, как показа­ но на рис. 10.3.

Из рис. 10.3 видно также, что проигрыш за счет фиксированной стратегии может быть большим, если априорные вероятности сущест­ венно изменяются. Когда априорные вероятности заранее неизвестны,

£70