книги из ГПНТБ / Френкс, Л. Теория сигналов

сти некоторое ограничение на площадь усиления —произведение коэф­ фициента усиления на полосу. Одно из возможных ограничений та­ кого рода имеет вид

Стационарные точки функционала / + К1г (X — множитель Лаг­ ранжа) определяются для фильтра с постоянными параметрами урав­ нением

—оо

Вчастотной форме решение уравнения (9.21) принимает вид

Мы видим, что, взяв достаточно большое К, можно в любой степе­ ни ограничить площадь усиления, и при достаточном жестком огра­ ничении фильтр будет существенно отличаться от идеального компен­ сатора (без ограничения). Заметим, что при ограниченном усилении компенсатор имеет такую'же характеристику, как оптимальный фильтр для случая белого шума. Далее, при наличии ограничения харак­ теристика компенсатора зависит от спектральной плотности переда­ ваемого сигнала, а при отсутствии ограничения — не зависит.

Пример 9.2. Совместная оптимизация передающего и приемного фильтров. Мы установили, что характеристика оптимального филь­ тра в рассмотренной задаче (рис. 9.2) существенно зависит от диспер­ сионной характеристики канала G (/). Это наводит на мысль, что можно улучшить параметры системы, изменив G (f) путем «предыскажения» в передатчике, как это показано на рис. 9.3. Рассмотрим задачу о на­ хождении наилучшей пары Я (/) и G (/), минимизирующей средний квадрат ошибки при оценке формы сигнала. Для удобства будем

фильтрованный шум имеет весьма малый уровень. Сигнал в таких усло­ виях просто «подавляет» шум. Но обычно допустимая мощность сигнала лимитирована. При этом приходим к нетривиальной зада­

линейны или постоянны по отношению к G (/) и Я (/):

231

Полагая градиент / + XPs при вариации Я (f) равным нулю, полу­ чаем уравнение

2Кхх (/) | G (/) р Я (f) - 2Kxx (f) G* (/) + 2Кии (/) Н (f) = 0. (9.25)

уСтационарный в сиироном смысле шум

снулевым средним, К (ff

Рис. 9.3. Оптимальная фильтрация с предыскажающим и приемным филь­ трами (Р„ — мощность сигнала).

Аналогично, вычислив градиент по G (/) и полагая его равным нулю, имеем

2Кхх (f) | Я (/) р G0f ) - 2 Kxx (/) Я* (/) + 2ХКии (/) G(/) = 0. (9.26)

Чтобы найти совместное решение (9.25) и (9.26), умножим (9.25) на Я* (f), а (9.26) на G* (/) и вычтем друг из друга. Тогда получим

Из (9.27) ясно, что величина X положительна. Как следует далее из (9.26), произведение G* (f)H* (/) вещественно и неотрицательно. Поэ­ тому G (/)Я (/) = | G (/)Я (/) | = | G(/) | | Я (/) |. В результате, комбини­ руя (9.27) с (9.25) или (9.26), можно получить решение:

232

B\JB' = R, Bf[B’ = 0 .

Объяснение этого результата состоит в том, что лучше не расходовать допустимую мощность сигнала на те частотные участки, где отношение сигнал/шум слишком мало. Нетрудно понять и причину того, что уравнения содержат только модули передаточных функций. Средний квадрат ошибки, обусловленной искажениями сигнала,

оо

$ Kxx(f)\l-G(f)H(f)\*df

минимален при нулевой фазе произведения G (/)Я (/), а ошибка, свя­ занная шумом, не зависит от фазы Я (/). Поэтому Я (/) может иметь произвольную фазу при условии, что фаза G (/) дополнительна (соп­ ряжена) с фазой Я (/).

и, как видно из (9.28), передающий и приемный фильтры взаимно об­

Эти результаты близки к оптимальным (9.28) и (9.31), когда отношение сигнал/шум велико.

Пример 9.3. Можно дополнительно проиллюстрировать преиму­ щества, получаемые при совместной оптимизации G (/) и Я (/), рас смотренной в примере 9.2, если взять сигнал и шум частного вида. Пусть аддитивный шум будет белым со спектральной плотностью Nq em/гц, а сигнал — случайным фототелеграфным процессом с еди­

233

мальный приемный фильтр определяется согласно (9.16). Когда при­ меняются оба фильтра, их оптимальные передаточные функции опре­ деляются согласно (9.28), и в соответствии с (9.31) минимальный сред­

С другой стороны, если используется фильтр только на приемном кон­ це, применив (9.19), находим значение для минимального среднего квадрата ошибки

Величина отношения / j / / 2 для различных значений параметраf0./V0 показана на рис. 9.4.

Эти результаты показывают, что совместное использование предыскажающего и приемного фильтров дает ощутимый выигрыш, только если отношение сигнал/шум в канале велико. Результаты этого при­ мера были впервые опубликованы в [2].

234

Рис. 9.4. Сравнение эффективности при сов­ местном использовании передающего и при­ емного фильтров (/2) и только приемного фильтра (/1).

Упражнение 9.1. Пусть нужно непрерывно оценивать «сглаженный» пе­ редаваемый сигнал. Найти оптимальный фильтр для задачи

где х и и — статистически независимые стационарные в широком -смысле про­ цессы с нулевым средним.

Упражнение 9.2. В схеме рис. 9.2 предположить, что передаваемый сиг­ нал х (t) есть сигнал известной формы с конечной энергией. Нужно, чтобы вы­ ходной сигнал приемного фильтра у (t) был по возможности точной копией этой формы. Одно из требований такого рода состоит в том, чтобы средняя норма ошибки в L2 (—эо, со), Е [х (t) — у (*)] не превышала заданной величины.

Найти характеристику оптимального фильтра с постоянными параметра­ ми, удовлетворяющего этому условию, и минимизирующего дисперсию ошибки

* (0 - У (О-

Упражнение 9.3. Для задачи проектирования передающего и приемного фильтров, рассмотренной в примере 9.2, проверить результат (9.32) для случая

G (/) = Я -1 (/).

Упражнение 9.4. При совместной оптимизации передающего и приемного фильтров предположить, что ограничение на мощность сигнала относится к вы­ ходу передающего фильтра, т. е. на рис. 9.3 Gx (/) задано, а условие имеет вид

ОО

P So= J Kx x (f)\G2 (f)\*df.

—ОО

Найти оптимальные функции G2 (/) и Я (/).

Влияние мультипликативного шума

В некоторых системах передачи искажающие факторы точнее описываются мультипликативным процессом (флюктуациями усиле­ ния), чем аддитивным. Мы рассмотрим упрощенную задачу, показанную на рис. 9.5, где w — процесс стационарный в широком смысле и ста­ тистически нез ависимый от сигнала х. Таким образом,

235

T i:z (t)= (t) §g(t — o)x(o)do^xv(t)z(t).

—oo

Процессы z и о совместно стационарны в широком смысле, а их кор­ реляционные функции определяются в виде

kzz (s>о) = Е [w (s) z (s) w (a) z (a)] = E [w (s) w (a)] E [z (s) z (a)] --■=

Рис. 9.5. Фильтрация сигнала со стационарным мультипликативным шумом.

Согласно (9.11) передаточная функция оптимального фильтра имеет вид

то лучшая оценка — это просто нуль. В практически интересных слу­

236

Как и следовало ожидать, если ковариация w очень мала по сравне­ нию с квадратом среднего, то Н (/) приблизительно обратна характе­

ристике канала G (f) с постоянным коэффициентом усиления 1/w. Чтобы получить некоторое представление о влиянии ковариации mww (т) на характеристику оптимального фильтра, положим G (/) = 1 и рассмотрим два предельных случая мультипликативного шума — когда его флюктуации либо очень быстры, либо очень медленны по сравнению с сигналом. Если w флюктуирует много быстрее х, то в час­

Рис. 9.6. Оптимальный фильтр для синусоидальной мультипликативной помехи.

В этом случае оптимальный фильтр близок к фильтру для аддитив­ ного шума (9.16) со спектральной плотностью, пропорциональной

Mww (f),

Kxx(f)+{l2l{w?)Mww(f)

С другой стороны, если флюктуации w очень медленны по срав­ нению с х, то свертка Mww (/) и Кхх (/) приблизительно пропорцио­ нальна Кхх (/),

и оптимальный фильтр имеет приблизительно постоянный коэф­ фициент усиления

Пример 9.4. Канал с синусоидальными флюктуациями усиления. Часто случайные флюктуации коэффициента усиления имеют перио­ дический характер. В этом примере мы положим G (/) = 1, a w — си­ нусоидальная мультипликативная помеха с частотой /0:

причем а и 0 — независимые случайные величины, 0 имеет равномер­ ное распределение в интервале б ^ 0 ^ 2 я. Тогда w —стационарный

237

Типовая передаточная функция для этого случая показана на рис. 9.6,

Канал со случайными дисперсионными свойствами

При исследовании фильтрации на фоне аддитивного белого шума (см. рис. 9.2) мы отмечали, что структура оптимального фильтра су­

G (/) есть какая-либо функция из некоторого множества передаточных функций. Фильтр, оптимальный для одного элемента множества, будет, конечно, квазиоптимальным для остальных элементов. Мы рас­ смотрим одно из приближений к такой задаче, когда G (/) трактуется как реализация случайного процесса, и найдем характеристику филь­

редаточную функцию фильтра с постоянными параметрами, прини­ маемый сигнал z (t), показанный на рис. 9.7, есть стационарный в ши­ роком смысле процесс. Дисперсионные свойства канала характери­ зуются множеством случайных функций {G (/);— оо < / < оо} или, что эквивалентно, множеством случайных импульсных реакций

{g ( / ) : — оо < t < оо }.

Итак, для задачи

Тп: (о (/) = х (t),

нужные корреляционные функции имеют значения

оо

kzz(г) — Е [z(t 4- т) г (/)] = [ j‘ Е [х (t + т — о) х(t —|)1 Ё [g (a) g (£)] dad%+

—(X)

оо

н- Ки (т) = j f Е [g (а) g (£)] kxx (т—о + g) dodl + kuu (т), (9.53)

238

—х>

Применяя к (9.53) преобразование Фурье, находим

Если изменить здесь порядок усреднения и интегрирования, а так­ же преобразовать (9.55), можно получить

Случайный канал

Рис. 9.7. Оптимальная фильтрация при случайном канале и НЭ' зависимом аддитивном шуме.

Аналогично, из (9.54) получается

С учетом (9.11) и полученных выражений передаточная функция опти­ мального фильтра принимает вид

Кхх (!) I G (/) \2+Кии(П

Можно наглядно интерпретировать этот результат, если представить средний квадрат усиления | G (/) |2 как сумму квадрата стандартного

отклонения 2 2 (/) и квадрата среднего |G (/)|2. Тогда (9.58) перепи­ шется в виде

Очевидно, можно рассматривать оптимальный фильтр как фильтр, построенный согласно (9.16) для усредненного канала и ад­ дитивного шума, имеющего спектральную плотность Кхх (/) 22 (f). Таким образом, флюктуации канала имеют много общего с аддитивным шумом. Заметим, что здесь было использовано обычное приближение, для оценки среднего значения (медианы) передаточной функции ка­ нала, а затем построен фильтр Винера, соответствующий такой пе­ редаточной функции. Погрешность этого приближенного метода может быть значительной, если относительные флюктуации в канале велики.

239

Типичное приложение этих результатов дано в следующем примере. Некоторые другие задачи такого рода рассмотрены в [3].

Пример 9.5. Выравнивание частотной характеристики скани­ рующего окна случайной ширины. В § 5.4 отмечалось, что операция развертки пространственно распределенного сигнала с использова­ нием «окна» k (t), движущегося с постоянной скоростью, эквивалент­ на фильтрации с постоянными параметрами и импульсной переход­ ной характеристикой k{—t). Во многих устройствах обработки сигналов окно имеет прямоугольную форму. При выполнении таких приборов, например магнитных считывающих головок или оптических щелей, имеют место отклонения ширины окна. Часто

Рис. 9.8. Типичные реализации передаточных функций при случайной ширине считывающего окна.

за этими приборами ставят корректирующие цепи для некоторой компенсации высокочастотных потерь, обусловленных ненулевой шириной считывающего окна. Интересно выявить фильтр, минимизи­ рующий средний квадрат ошибки на выходе, для случая, когда ширина считывающего окна подвергается случайным флюктуациям. Это со­ ответствует задаче о случайном канале в предположении, что g (t) — прямоугольная функция со случайной шириной т, как показано на рис. 9.8. Соответствующая функция передачи

nf

Обозначая плотность вероятности случайной величины т через Рх (£), находим

оо

-----ОО

240