книги из ГПНТБ / Френкс, Л. Теория сигналов

ной величиной. Обычно процесс имеет в среднем Заметное смещение либо к черному или к белому цвету. Мы построим модель этого процес­ са следующим образом. Пусть {tft; k = 0, ± 1 , ± 2,...} — упорядо­ ченная последовательность случайных величин, распределенных на вещественной оси по пуассоновскому закону с параметром К. Здесь мы снимаем ограничение, использованное в (8.77), что точки лежат на положительной полуоси.

Это не вызывает затруднений, поскольку в силу стационарности процесса начало отсчета можно выбрать произвольно. Мы принимаем далее, что в интервале между соседними точками х есть константа, равная 0 или 1 с вероятностью р или 1 — р соответственно. Значения х в различных интервалах статистически независимы. Это дает нам модель случайного фототелеграфного сигнала, который характери­ зуется только двумя параметрами р и X. Типичная реализация показана

Рис. 8.12. Типичная реализация случайного фототеле­ графного сигнала. Последовательность (0J распреде­ лена по пуассоновскому закону с параметром X.

Для произвольного t среднее значение процесса имеет значение

Среднее значение х = р постоянно и не зависит от t. Автокорреляцион­ ная функция

Величина совместной вероятности в (8.90) зависит от того, находится

просто Р0(|т|), независимо от t. Используя (8.84) и (8.91), приводим

(8.90) к виду

Ясно, что процесс стационарен в широком смысле; спектральная плот­ ность процесса

221

показана на рис. 8.13. Очевидно, что X можно трактовать как ширину полосы процесса.

Вместо процесса, имеющего два уровня, можно разрешить х при­ нимать любое вещественное значение между 0 и 1 (серые уровни) в соответствеии с некоторой плотностью вероятности. Автокорреляционная функция такого процесса имеет форму, совпадающую с (8.92) (см. уп­ ражнение 8.10). Эта модель полезна для представления телевизион­ ного сигнала [8]. Другой процесс, часто называемый случайным те­ леграфным сигналом [1, 3], образуется, когда переходы от 0 к 1 проис­ ходят в любых случайных точках оси времени. Этот процесс эквива­ лентен случайному фототелеграфному сигналу при р = V2 и величине к, увеличенной в два раза.

Рис. 8.13. Спектральная плотность мощности для слу­ чайного фототелеграфного сигнала.

Упражнение 8.9. Для случайного фототелеграфного сигнала вычислить средний временной промежуток между переходами с черного на белое и с белого

с плотностью распределения ра (ё). Этот процесс называется случайной функцией скачков [11]. Вычислить среднее значение и автокорреляцию для х.

Упражнение 8.11. В случайной функции скачков, описанной в упражнении 8.10, часто можно принять, что последовательность {ад} представляют собой марковский в широком смысле процесс (как в упражнении 8.7), а не статисти­ чески независимую последовательность. Показать, что по отношению к среднему значению и автокорреляции такое изменение эквивалентно изменению параметра

к. Пусть к — новое значение параметра для эквивалентной случайной функции скачков с независимыми уровнями, найти связь между к, к и р.

Случайная последовательность импульсов

В качестве более общего приложения пуауссоновского процесса рассмотрим модель сигнала в виде последовательности импульсов про­ извольной формы со случайными амплитудами и случайными момен­ тами прихода:

222

где {aft} — стационарная последовательность, статистически незави­ симая от последовательности значений {tft}, которые упорядочены и распределены по пуассоновскому закону с параметром К. Мы исклю­ чили в (8.94) член с k = 0, что подробнее обсуждается ниже. Чтобы вычислить среднее значение и автокорреляцию для процесса х, выби­ раем некоторое значение t, а затем пронумеруем {tft} в реализации так, что t 1 — первая точка справа от t и t_x — первая точка слева от t, как показано на рис. 8.14.

На первый взгляд это может показаться странным, но длина интервала между t_x и txстатистически отлична от длины всех других

в то время как для других интервалов такой необходимости нет. Плот-

Рис. 8.14. Типичная реализация случайной последовательности, ил­ люстрирующая нумерацию импульсов.

ность вероятности для отрезка времени х от любой точки временной оси до точки появления следующего случайного импульса задается выражением рх (а) = ^е- *-0. Поэтому, если положить tQ= t и опре­ делить случайную переменную = t k — tfe _ то хь имеют одина­ ковые распределения для всех k (включая нуль). Учитывая сказанное, можно переписать (8.94) более точно:

Другой корректный способ рассмотрения заключается в том, чтобы принять произвольную точку t за начало отсчета времени, тогда слу­ чайные величины tfc — t для k > 0 и t — t h для k < 0 соответствуют плотностям распределения (8.87) и (8.88). С учетом (8.95) можем написать

(8.96)

223

Для вычисления автокорреляционной функции предположим, что

В заключение отметим эквивалентность этого процесса и того из процессов, описанных в § 8.2, для которого моменты появления им­ пульсов независимы и равномерно распределены на временной оси

[см. уравнения (8.10) и (8.11)].

Упражнение 8.12. Проделать преобразования, опущенные при выводе (8.99).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Р а г z е п Е. Stochastic process. Holden-Day, 1962.

2.B e n n e t W. R. Statistics of regenerative digital transmission. — «Bell Sys. Tech. Jour.» 1958, v. 37, p. 1501—1542.

6.К r e t z m e r E. R. Binary data communication by partial response trans­ mission. Paper № CP65-419 at the 1965 — «IEEE Communications conven­ tion», Boulder, Colorado.

7.J о h n s M. V. Spectral analysis of a process of randomly delayed pulses. — «Trans. IEEE», 1960, v. IT-6, № 4, p. 440—444.

8.F r a n k s L. E. A Model for the random video process. — «Bell Sys. Tech. Jour.», 1966, v. 45, p. 609—630.

9.H i l d e b r a n d F. B. Methods of applied mathematics. Prentice-Hall, 1952.

10. L e n d e r A. The duobinary technique for high-speed data transmission. —

224

9

ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ

9.1. ВВЕДЕНИЕ

Разработанные в двух последних главах способы описания слу­ чайных процессов позволяют более полно рассмотреть вопросы про­ ектирования систем оптимальной фильтрации сигналов. Это обуслов­ лено тем, что мы теперь с помощью линейных и квадратичных функ­ ционалов можем описывать характеристики как детерминированных, так и случайных элементов системы. Применяя вариационные методы гл. 6, мы будем оптимизировать некоторые детерминированные эле­ менты системы для повышения ее эффективности. В частности, можно оптимизировать форму сигнала, применяемого в системе с АИМ, или импульсную характеристику фильтра, выделяющего сигнал из шума. В этой главе рассматривается проблема фильтрации. Мы имеем возможность исследовать широкий класс задач, требующих отыска­ ния оптимальных фильтров по критерию минимума среднеквадра­ тической ошибки. Наглядная интерпретация этих результатов осно­ вана на введенных ранее понятиях, связанных с пространством сиг­ налов.

В следующем параграфе дана общая формулировка проблемы оценки параметров сигнала при линейной фильтрации и получено условие на импульсную характеристику фильтра, обеспечивающего минимум среднего квадрата ошибки. Дальнейшие параграфы посвя­ щены отысканию характеристик, удовлетворяющих этому условию в частных задачах фильтрации. Некоторые из рассмотренных при­ меров хорошо известны и освещены в литературе по теории систем связи или систем управления. Другие примеры привлекали меньше внимания, но они поддаются тем же методам анализа.

Для упрощения и выявления главных факторов, влияющих на структуру оптимального фильтра, рассматриваемые задачи кое в чем идеализированы. В практических приложениях следует объединять черты нескольких примеров.

Нужно отметить, что во многих случаях оптимальная система об­ работки сигналов нелинейна. Несмотря на это, исследование линей ной фильтрации имеет большое практическое значение, так как линей­ ные фильтры используются чаще, чем нелинейные. Мы трактуем ус­ ловие линейности и условие физической реализуемости (неопережаю­ щий отклик) как практические ограничения, навязанные конструкто­ ру. Правда, задачи вначале формулируются без учета физической реализуемости. Помимо простоты, такое приближение оправдано двумя причинами. Во-первых, характеристика оптимального нереа­ лизуемого фильтра часто может быть хорошо аппроксимирована фи­ зически реализуемым фильтром с достаточно большой постоянной

времени. Во-вторых, система с нереализуемым оптимальным филь­ тром служит полезной основой при построении квазиоптимальных систем, удовлетворяющих условию реализуемости. Но в ряде случаев физическая реализуемость является существенным ограничением и важно оптимизацию выполнить с его учетом. Такие задачи обсуж­ даются в § 9.6.

9.2. МИНИМИЗАЦИЯ СРЕДНЕГО КВАДРАТА ОШИБКИ ПРИ ОЦЕНКЕ ПАРАМЕТРА

Задача оценки параметра в системах передачи сигналов иллюстри­ руется на рис. 9.1. Передаваемый сигнал х (t) подвергается отобра­ жению Т г, которое описывает влияния канала передачи. При этом х (t) преобразуется в свой образ г (t) — принимаемый сигнал, кото­ рый далее проходит через фильтр с импульсной характеристикой

сигнал

Рис. 9.1. К оценке параметра сигнала.

h (t, s). Импульсная характеристика фильтра должна быть выбрана так, чтобы на выходе (в момент t) получить минимум среднеквадрати­ ческой погрешности оценки параметра ю (i), содержащегося в сиг­ нале х (t). Оцениваемый параметр сигнала может быть охарактери­ зован отображением Т0. Иногда полезно считать, что Т0 — описание идеального канала и задача состоит в том, чтобы найти линейный фильтр, включенный последовательно с реальным каналом Ту, кото­ рый обеспечивает отображение, близкое к Т0.

Предполагая, что сигнал вещественный, запишем функционал среднего квадрата ошибки для момента t в виде

226

oo —

Как видно, эти функционалы полностью определяются через автокор­ реляцию и перекрестную корреляцию процессов z (t) и со (t).

Квадратичный функционал соответствует самосопряженному опе­ ратору, поэтому стационарные точки функционала I определяются при варьировании h (t, s) решениями уравнения

s) пространству L2 ( — оо, оо ), но иногда нужно расширить функцио­ нальное пространство, чтобы включить в него решения уравнения

(9.4).

Принцип ортогональности

Другая трактовка проблемы оптимальной фильтрации получает­ ся, если функционал ошибки рассматривать на пространстве случай­ ных величин. Пусть Х0 — линейный оператор фильтра, удовлетворяю­ щего условию (9.4). Тогда (9.4) можно переписать в эквивалентной форме

сигналу. Такой результат интуитивно ясен: если бы имела место кор­ реляция между ошибкой и принимаемым сигналом, то при последую­ щей обработке можно было бы получить лучшую оценку. Используя (9.5), покажем другим способом, что (9.4) есть условие оптимальности. Пусть X — некоторый другой линейный оператор. Тогда

В силу условия (9.5) второе слагаемое в последнем выражении равно нулю. Третье слагаемое неотрицательно, поэтому X не может

дать меньшей среднеквадратической ошибки, чем Мы доказали не только необходимость, но и достаточность условия (9.4).

Минимальную величину среднего квадрата ошибки можно вычис­

—oo

Внижеследующих параграфах мы конкретизируем решение за­ дачи применительно к некоторым отображениям Т0и Т г, представляю­ щим практический интерес. При расчетах характеристики оптималь­ ного фильтра удобнее пользоваться частотным аналогом уравнения (9.4), получаемым, если взять преобразование Фурье от обеих его

частей.

9.3.НЕПРЕРЫВНАЯ ОЦЕНКА ФОРМЫ СИГНАЛА

Вклассической задаче фильтрации нужно восстанавливать с хо­ рошей точностью форму передаваемого сигнала, причем, если этот сигнал случайный, мы хотим, чтобы случайная величина у (t) была близка к х (/) при всех t. Часто нужно восстанавливать смещенный во времени передаваемый сигнал. Учитывая этот общий случай, мы полагаем Т0: о» (t) = х (t — Т). Если физическая реализуемость системы не обсуждается, то величина задержки Т (положительная или

отрицательная) имеет лишь второстепенное значение.

В данной задаче мы предполагаем, что х —' стационарный в ши­ роком смысле случайный процесс, а также, что Т г — стационарное отображение. Это значит, что образ любого стационарного в широком смысле входного процесса также стационарен в широком смысле. Таким образом, оба рассматриваемых процесса г и ю — стационарны в широком смысле. В силу указанной совместной стационарности ре­ зультат оптимального взвешивания принятого сигнала z (s) фильтром h (t, s) не должен зависеть от t, т. е. оптимальным является фильтр

228

Искомая функция передачи оптимального фильтра далее легко на­ ходится путем преобразования Фурье от (9.10):

Выражение (9.8) для минимального среднего квадрата ошибки в час­ тотной форме принимает вид

Влияние аддитивного шума

В большинстве известных работ по фильтрации рассматривается канал, который можно представить в виде линейного фильтра с по­ стоянными параметрами и с дисперсионной (частотной) характеристи­ кой G (/), а также учитывается действие аддитивного стационарного в широком смысле шума с нулевым средним, для чего часто вводят эквивалентный генератор шума на входе приемника (рис. 9.2). Таким образом,

T0:e>(t) = x(t — T),

\

Стационарный, в широком смысле шум с нулевым сревним, Kuu(f)

Рис. 9.2. Оценка формы сигнала с учетом аддитивно­ го шума и дисперсионности канала.

Предполагая шум и сигнал статистически независимыми, получаем

— оо

229

Взяв преобразование Фурье, найдем

Kzz(f) = \G(f)\2KXx(f) + K uu(f),

(9.15)

оо

КХй (f) = $ Кхх (/) ^ (о) e'2ltfa da = I(xx (f) G* (f).

---- CO

Подставив эти значения в (9.11), приходим к передаточной функции оптимального фильтра

часто называемого фильтром Винера. Чтобы физически пояснить эти

Первый член в этом выражении представляет собой ошибку, обуслов­ ленную неполной компенсацией дисперсии в канале, а второй член —

шума не мала, оптимальный фильтр вносит дополнительное затухание. Если же плотность шума мала по отношению к плотности сигнала на всех частотах, то характеристика оптимального фильтра обратна дис­

IG ( / ) I2

вто время, как согласно (9.16) и (9.17)

Пример 9.1. Компенсатор с ограниченным усилением. Даже если шум очень мал или вообще отсутствует, при конструировании ком­ пенсатора возникает интересная задача.

При реализации передаточной функции, обратной к G (/), может потребоваться очень большое усиление на значительных частотных интервалах. Обычно это нерентабельно, и конструктор предпочтет вне-

230