2 Структурный анализ механизмов
Структурный анализ механизмов. Число степеней свободы плоского и пространственного механизма. Образование механизмов, структурные группы. Избыточные связи и лишние степени свободы. [1, стр.47-58]
2.1 Структурная формула механизма
В связи с развитием промышленности возникла все увеличивающаяся потребность в машинах разного рода и, как следствие, в синтезе механизмов с заранее заданными свойствами. В 1869 г. П.Л. Чебышев выводит структурную формулу плоского механизма, известную теперь как формула Чебышева, позволяющую определить ещё на бумаге возможность движения звеньев механизма:
W=3n-2P5-P4
где W – степень подвижности механизма или число возможных ведущих звеньев,
n – число подвижных звеньев,
P5, P4 - число кинематических пар соответственно пятого и четвертого классов.
В 1887 г. П.И. Сомов, в 1890 г. Х.И. Гохман и в 1923 г. А.П. Малышев выводят структурную формулу пространственного механизма, которую часто называют формулой Сомова - Малышева или формулой Малышева:
W=6n-P1-2P2-3P3-4P4-5P5 ,
где Pi – число кинематических пар i-го класса (i=1,2,…,5).
Идея построения этой формулы: механизм состоит из n подвижных звеньев, каждое из которых, будучи свободным, имело бы 6 степеней свободы. Каждая кинематическая пара I –го класса отнимает у звена одну степень свободы; каждая кинематическая пара II –го класса отнимает у звена две степени свободы и так далее. Аналогично и для структурной формулы плоского механизма с учетом того, что в плоскости 3, а не 6 степеней свободы.
Рассмотрим примеры плоских механизмов, в которых буквами обозначены кинематические пары, а цифрами – звенья.
ПРИМЕР 1.
В этом примере (рис.2.1) кинематические пары А,С,Д,Е – вращательные, В – высшая и F – поступательная; звенья: 1 – ведущее (кулачок), 2 – коромысло, 3 – шатун, 4 – ползун, 0 – стойка; в дальнейшем стойку нумеровать не будем.
Рис.2.1 Пример кулачково-рычажного механизма
Кинематические пары А,С,Д,Е,F – низшие. Тогда по формуле Чебышева получаем
W= 3n – 2 P5 – P4 = 3*4-2*5-1=1.
То есть, степень свободы этого механизма равна единице и поэтому может быть только одно ведущее звено - кулачок.
ПРИМЕР 2.
В этом механизме (рис.2.2) четыре подвижных звена: 1 и 4 – кривошипы, 2 и 3 – шатуны; пять низших (вращательных) кинематических пар: A,B,C,D,E. Поэтому получаем
W= 3n – 2 P5 – P4 = 3*4-2*5-0= =2.
То есть, степень свободы равна двум и должно быть два ведущих звена, что и показано на схеме механизма.
Рис.2.2 Пример рычажного механизма
ПРИМЕР 3.
В схеме рис.2.3 все кинематические пары вращательные. Треугольники BCM и CDF являются каждый одним звеном. Можно заметить, что всегда, когда хотят создать жесткую стержневую систему, организуют ее с помощью треугольников. Итак, этим примером задана ферма, а не механизм, т.к. степень свободы кинематической цепи равна нулю:
W= 3n – 2 P5 – P4 = 3*6-2*9 =0.
Рис.2.3 Пример не механизма, а фермы
ПРИМЕР 4.
Степень подвижности кинематической цепи рис.2.4 равна нулю:
W= 3n – 2 P5 – P4 = 3*4-2*6-0=0,
хотя ясно, что эта цепь является механизмом и степень подвижности должна быть равна единице. Появившееся несоответствие объясняется наличием в схеме цепи пассивной связи. Если в качестве ведущего звена выбрать звено 1, то пассивной связью может быть звено 3 или звено 4. С понятием «пассивная связь» мы познакомимся позже.
Рис.2.4 Пример механизма с пассивной связью
ПРИМЕР 5.
В этом примере (рис.2.5) кинематическая пара В – высшая (контакт кулачка 1 и ролика 2), а пара С – низшая (вращательная пара соединения ролика 2 с толкателем 3). Кроме того, пара А – вращательная и пара D – поступательная.
Рис.2.5 Пример кулачкового механизма
Степень подвижности этого механизма равна двум:
W= 3n – 2 P5 – P4 = 3*3-2*3-1=2,
хотя должно быть понятно, что здесь может быть только одно ведущее звено – кулачок 1. Возникшее противоречие объясняется лишней степенью свободы, которой обладает ролик 2, и об этом тоже мы теперь поговорим.