книги из ГПНТБ / Микерин, И. К. Аэродинамика летательных аппаратов
.pdfГ л а в а П
ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
§ 2.1. Основные соотношения воздушного потока при изэнтропическом течении
I . Общие представления
Выяснив основные законы движения жидкости, особенности, учитывающие сжимаемость, испольяуем их для определения основ ных параметров воздуха вокруг обтекаемого тела. Весь поток, набегаюгдй на тело, будем представлять состоящим из элемен тарных струек. На примере обтекания корпуса дозвуковым потоком (особенности сверхзвуковых потоков выясним в следующих пара графах) установим, ка*.о2 вид будут иметь струйки вблизи корпуса
( р и с . 2 Л ) . К о р |
п у с , как и всякое |
тело, помещенное в |
воздушный |
поток, вносит |
в него возмущения |
(малые изменения |
плотности |
и давления), которые распространяются во все стороны со ско ростью звука. Так как поток дозвуковой, то возмущения, распространяясь впереди тела, деформируют струйки. Последние как бы "предупреждаются" о находящемся впереди теле и приспо сабливаются к его обтеканию. Форма и направление струек,
62
соприкасающихся с корпусом, определяется его габаритами. Следовательно, при подходе к телу и вокруг него, поперечные сечения струек изменяются. Изменение площади поперечного сечения струйки вызывает изменение скорости, а также всех остальных параметров воздуха. Поэтому, если при установив шемся движении параметры воздуха вдали от тела будут постоян
ными, то возле корпуса эти параметры будут различными в раз
личных точках потока.
Параметры потока вдали от тела, где не сказываются
возмущения,вносимые телом, назовем параметрами невозмущеяяого
потока и |
обозначим индексом^^у^р^у В отличие от |
н и х , пара |
|||
метры потока |
вблизи тела будем называть местными |
(Ѵ,Р,£,ТД ) . |
|||
Для определения величины аэродинамических сил и моментов, |
|||||
действующих на тело, необходимо выяснить, как, и в каких |
|||||
пределах |
изменяются местные |
параметра |
воздуха. |
|
|
" - - |
- |
дараметры |
торможения |
( р и с . 2 . 2 ) |
|
Если на тело набегает воздушный поток, то он разделя ется на части, омывающие тело со всех сторон. Но сгеди этих частей воздушного готока всегда найдется хотя бы одна струй ка, которая не отклоняется от первоначального направления движения и встречает тело по нормали к поверхности. В этом случае частицы воздуха, ударяясь о тело, полностью теряют свою кинетическую энергию, их скорость падает до нуля, а остальные параметры воздуха возрастают. Точка 0, в которой кинетическая энергия воздуха полностью переходит в .потен циальную^ называется точкой полного торможения, а параметры воздуха, соответствующие этой точке - параметрами торможения. (В дальнейшем будем обозначать их индексом " 0 " ) . Очевидно,
что параметры воздуха в точке 0 будут существенно отличаться
от соответствующих параметров невозмущенного потока. Происхо
дит резкое |
сжатие |
воздуха и параметры |
Р, °, Т, Û сильно увели |
чиваются |
(рис . |
2.3). |
|
Используя |
уравнение Бернулли, определим |
параметры торможения. |
|
Для этого возьмем два сечения струйки, подходящей к точке 0: сечение I - I в невозмущеняом потоке и сечение "0-0"
проходящее через точку торможения. Запишем для них уравнение
Бернулли в виде: |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
Ѵ0 |
- О |
2 |
к ч K l o f l |
2 + |
|
к Т 0 / ( 2 . 1 ) |
||
но |
|
поэтому |
т |
_ т |
ісч |
.г |
|
||
|
|
I о |
»<~ + |
2 ICR |
|
(2.2) |
|||
|
Таким |
образом, |
температура |
торможения зависит |
от |
||||
температуры невозмущенного потока (температуры атмосферы) и квадрата скорости потока (скорости полета). Она определяет
полную |
энергию г а з а . |
Величина |
|
2ІСй" У<*° |
называется |
дина |
||||||||
мической добавкой температуры. Для воздуха |
при |
К = |
1.4 |
|||||||||||
и |
|
R |
= |
2 8 7 $ % |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т о |
= Т ~ |
|
+ |
1 ^ 0 ' |
|
|
(2.3) |
||
Выразим |
|
Т о |
через |
число М. |
Учитывая, |
что |
|
|
||||||
a i |
|
= |
K R |
То*» ; |
Kt? |
|
; |
|
м.. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
lee |
|
|
|
Ua" |
|
|
|
преобразуем |
соотношение |
(2.2) |
|
к |
виду: |
|
|
|
||||||
Т 0 |
= |
|
|
к-ч |
v i т |
|
_ -г |
, |
Л . к ч |
к Л а |
|
( 2 # 4 ) |
||
|
+ ^ |
-^g |
То» |
- X |
|
^ + - ^ - |
M « , ; . |
|
||||||
Для |
воздуха |
Т 0 |
•= |
То- |
(і |
+ |
0,2 |
м £ J . |
|
|
( 2 . 4 а ) |
|||
64
Таким образом, |
в условиях |
постоянной |
теплоемкости |
|
|||||||
( |
К - |
соп%і |
) температура |
торможения |
пропорциональна |
||||||
температуре |
невозмущенного |
пот ка и квадрату |
числа М. |
||||||||
|
Значение температуры торможеіля и повышение темпера |
||||||||||
туры в точке |
торможения для воздуха ( К = 1,4 |
) в |
зависимос |
||||||||
ти |
от числа |
M при |
Т-» |
= 288 °К приведено |
ниже. |
|
|||||
Mo |
0 |
0,5 |
1,0 |
2,0 j |
3,0 |
4,0 |
5,0 |
j |
8.0 10,0 20,0 |
||
Ts ГР 288 |
302 |
346 |
518 |
806 |
1210 |
1728 |
|
3974 |
6048 23328 |
||
AT |
0 |
14 |
58 |
230 |
5Іь |
922 |
1440 |
i |
3686 |
5760 23040 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Отсюда |
видно, |
что при дозвуковых, скоростях полета То |
||||||||
незначительно отличается от температуры невозмущенного пото
ка. |
Однако при M >І Т 0 |
резко возрастает при увеличении чи |
сел |
М. Явление повышения |
температуры с ростом_ M имеет боль |
шое |
практическое значение. Как указывалось выше, вблизи пе |
|
редней кромки тела всегда имеется точка полного торможения.
Кроме |
того, |
следует учесть, что торможение (неполное) |
проис |
|
ходит |
по всей поверхности тела |
в пограничном слое. Поэтому |
||
с увеличением чисел М~воздух вокруг тела разогревается и |
||||
передает свое тепло телу. Явление нагревания тела за счет |
||||
торможения воздуха называется аэродинамическим нагревом. |
||||
Безусловно, |
определяя значение |
Т 0 , мы пренебрегали |
тепло |
|
обменом воздуха с окружающей средой, не учитывали, что при
температуре- Т 0 ? і 3000°К происходит диссоциация |
молекул газа, |
на что затрачивается тепловая энергия, так что в |
действитель |
ности температура торможения будет ниже. Одіако значительная часть тепловой энергии -передается на элементы конструкции
летательного аппарата, температура которых |
повышается на ве |
|
личину |
. л Т Э А = (0,5-И),35 ) д Т . |
|
|
' |
65 |
F . Злк. |
І 7 7 г . |
|
Поэтому при Л > 3 необходимо предусматривать конструктивные
меры, учитывающие аэродинамический нагрев (применение термо
стойких материалов, нанесение теплозащитных покрытий и др . ),
на которые более подробно будет указано в специальных курсах. Используя соотношения (1 . 9), получим выражения для Р о
ИР о в точке торможения для изэнтропического течения*.
|
|
|
(2.46) |
Графические зависимости -j1 ) |
-jjjâ ) |
-35^ ; |
в функции |
чисел M представлены на рис, |
2 . 3 . |
|
|
Рассмотрим теплосодергание воздуха |
в точке |
торможения. |
|
Уравнение Бернулли для сечений І - І и 0-0 можно записать в
виде : |
5 |
|
|
|
|
.У«*> |
+ І |
; [ л . |
|
|
â |
~ |
0 |
(2.5) |
Теплосодержание воздуха в точке торможения численно равно полной энергии единицы массы зоздуха (кинетической, потенциальной энергии давления и внуіре»ней тепловой энер гии) .
Таким образом, можно сделать следующие выводы:
1<. Параметры торможения являются фужщями числа M и начального состояния воздуха в невозмущенном потоке.
2. Рост параметров торможения происходит только за счет перехода кинетической энергии в потенциальную,
3 . Параметры торможения оказывают существенное влияние на работу конструктивных элементов планера летательного аппарата,
66
|
|
|
|
3. Максимальная скорость течения |
|
|
|
|||||||
|
|
Выше рассмотрено |
предельное |
состояние |
параметров |
|
||||||||
воздуха, |
при котором местная скорость |
Ѵ0 = 0, |
а |
остальные |
||||||||||
параметры имеют максимальное значение. Однако |
в |
некоторых |
||||||||||||
местах |
потока возле |
тела скорость |
может значительно превос |
|||||||||||
ходить |
скорость |
невозмущенного потока |
V«» |
|
. Установим |
|||||||||
до какой величины может расти местная скорость |
V |
и от |
ка |
|||||||||||
ких |
факторов |
она |
зависит. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Рассмотрим для этого истечение газа из сосуда |
бесконечных |
|||||||||||||
размеров |
( р и с . 2 . 4 ) . |
Выделим два сечения: І - І |
в |
сосуде, |
где |
|||||||||
практически |
V |
= 0 |
и |
сечение |
2-2 |
на |
чыходе |
из |
сосуда. |
|
||||
Параметры газа в |
этих |
сечениях |
соответственно |
будут: |
|
|||||||||
4 |
= 0, |
Р, |
; Рг, |
Т, |
и V a , T Ä / |
P a , |
Р 2 . |
|
|
|||||
Запишем уравнение Бернулли для этих сечений в вида:
но так как Ѵ4 = 0, то |
г |
|
і4 - \ |
+ І £ - І - 0 , |
(2.6) |
іо есть теплосодержание покоящегося газа равно теплосодер жанию в точке торможен, я .
Преполояимѵ что |
при истечении газа его скорость непрерывна |
увеличивается и |
достигает максимального значения в сечении |
2-2. Увеличение |
скорости может происходить только за счет |
перехода потенциальной энергии в кинетическую. Этот процесс может совершаться до определенного предела, когда потенциаль
ная энергия |
(или |
і л |
) |
станет равной нулю. Предельная ско |
|||
рость потока, при которой теплосодержание |
газа равно |
нулю, |
|||||
называется |
максимальной |
|
скоростью. Выразим |
Vm<j> |
Через» |
||
температуру |
торможения. |
|
Так как |
* 0 |
, то |
|
|
|
Ѵета* |
_ |
і |
- |
!5__ D T |
|
|
(2.7)
Таким образом, максимальная скорость течения газа
определяется количеством полной энергии единицы массы газа
(или температурой торможения) и возникает в том |
случае, ког |
||
да вся энергия |
газа превращается в кинетическую. |
Практически |
|
для увеличения |
Ѵглах |
необходимо увеличивать |
температуру |
торможения (для покоящегося газа - абсолютную температуру).
Выясним условия, при которых можно |
получить |
Ѵгпсх |
. Так |
|||||
как при |
7 т |
о х |
|
|
|
|
|
|
Ц - k ^ R T ^ û |
, |
го |
Ь |
- о . |
|
^ |
||
Если учесть, |
что |
= $*)h |
s |
Q ; |
= |
|
= 0 |
|
а Т г |
= О , То Ф О , |
то |
|
= Р а |
- т 5 * О . |
|||
Практически это означает, что скорость газа достигает своего
максимального значения при истечении |
газа в вакуум» |
|
В действительности получить |
VmOX |
нельзя по следующим |
причинам. Во-первых, как показаіи запуски искусственных спут
ников Земли и исследовательских: рэкет, дзже в межпланетном
пространстве абсолютного вакуума нет. Там движутся частицы космической пыли, иолы газов,хотя их количество и ничтожно
мало по сравнению с земной |
атмосферой. Во-вторых, необходимо |
||||||
учесть, что ещё задолго до |
нуля абсолютной |
температуры, |
газы |
||||
превращаются в |
капельные жидкости (температура |
кипения |
|
||||
tKCOa» 194,5°К, |
tK0» 90°К, |
= 77°К), |
для |
которых выве |
|||
денные выше соотношения непригодны. Однако |
знание |
МгпОХ |
|||||
удобно для многих расчетов, |
Vmûx" , так.:;е как |
и |
Т0 |
, |
|||
определяет полную энергию газа и удобно выражает |
зависимости |
||||||
основных параметров газа в |
зависимости от |
скорости |
течения. |
||||
68 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Зависимость |
параметров газа |
P , J \ T |
||||
|
|
от местной |
скорости |
течения |
|
|||
Пу^ть |
струйка, |
прилегающая |
к поверхности |
профиля |
||||
(рис. 2.5), |
имеет: |
|
|
|
|
|
|
|
- в сечении 0-0 - параметры потока, равные параметрам |
||||||||
торможения, |
то есть |
Ѵо |
= 0 |
; |
Т о , |
Р е , Pol |
|
|
- в сечении |
І - І |
- |
Ѵ< ( |
1Л, |
Р<, |
Рі . |
|
|
Применяя уравнение Бернулли к эіим двум сечениям и учитывая,
что Ѵо = 0, запишем:
А |
- р т |
л |
= |
g- |
+. - Л - |
от- |
|
|
(а) |
||||
К - 4 * |
1 |
о - |
' |
к . | |
|
|
|
|
|
||||
Разделив |
все |
члены |
соотношения |
U ) |
на |
|
R T 0 |
= |
|||||
после небольших |
преобразований |
получим: |
|
|
|||||||||
|
Т 4 |
|
= Т о (і |
|
- |
|
|
) |
" |
|
(2.8) |
||
Таким образом, при изэнтропическом течении температура |
|||||||||||||
газа зависит только от начального |
состояния и с к о г х т и тече |
||||||||||||
ния газа . С увеличением |
скорости |
течения |
температура газа |
||||||||||
.падает, |
так |
как |
потенциальная |
энергия |
переходит |
в кинетичес |
|||||||
кую. Зависимость для |
|
и |
можно записать используя |
||||||||||
соотношения |
(1 . 9): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, статическое давление и массовая плот ность газа, также, как и температура, зависят только от
начального состояния и скорости течения газа . Графическая 69
зависимость соотношений (2.8) и (2 . 8а) представлена на рис. 2.6. С физической точки зрения можно слегающим образом
пояснить эту зависимость. При увеличении скорости течения
происходит увеличение кинетической энергии за счет уменьше ния потенциальной энергии (потенциальной энергии давления и внутренней тепловой энергии). Поэтому увеличение скорости сопровождается падением статического давления и температуры. Массовая плотность зависит как от температуры, так и от давления. С понижением температуры (при Р = const )ррасгет,
а падение давления сопровождается уменьшением ß |
. Поэтому |
при увеличении скорости течения падение отношения |
^*/р0 |
несколько отстает от падения ^ / | |
|
5.Зависимость скорости звука от местной скорости течения.
Критические параметры газа
Из соотношения (1.2) видно, что скорость звука в газе
определяется только его температурой. Но так как вблизи по верхности обтекаемого тела тек ература газа в различных
точках потока неодинаковая, то и скорость звука является пере
менной величиной. Найдем зависимость скорости звука в произ
вольном сечении (например, в сечении І - І , рис. 2 . 5 ) . |
Исходя |
из уравнения Бернулли вида: |
|
S |
|
Vmax |
(2.9) |
2 |
|
получим |
|
70
Таким образом, при заданной максимальной скорости (или Т"р ) скорость звука падает с увеличением скорости
течения. Максимальное' значение скорости звука будет в слу
чае |
неподвижного состояния |
газа, или в |
точке торможения. |
||||||
В этом случае |
Q 0 |
= |
V n a x Y ^ f " . |
|
(2.10). |
||||
Для воздуха |
при |
К= 1,4 |
<Х0 |
|
-МО^Ѵща^ |
^о44?^аЧ2.І0а) |
|||
Минимальное |
значение |
|
= 0 скорость звука имеет при |
||||||
V,, |
= У т о к , |
|
|
|
|
|
|
|
|
Зависимость |
(Х< ~ І |
(V,) для воздуха |
при условии, |
что |
|||||
То |
= 283°К |
( |
|
Ѵ т an= 7 5 |
6 clic ) представлена в |
виде |
|||
графика на рис. 2.7. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Таким |
образом, |
при изменении скорости течения от |
||||||
Ѵц = 0 до |
Уч = Ѵ пюх |
|
скорость |
звука изменяется от |
|||||
& А |
~ V m a x V ^ F " |
|
|
Д ° |
О ц = О- В процессе этого |
||||
изменения, |
очевидно, |
будет |
момент, когда скорость |
течения |
|||||
газа и скорость звука станут равными. Сечение струйки, в ко тором местная скорость течения газа равна местной скорости
звука,называется критическим, а параметры газа, |
соответстъую- |
||
щие этому сечению, называются кржтичѳскини (будем |
обозначать |
||
их индексом "кр"). В критическом сечении местное |
число |
||
M к.р - |
3 выражения для остальных |
парамет |
|
ров можно получ"ть |
из соотношений (2.4) и ( і . 9 ) , если |
учесть, |
|
что M = М|ф = 1 |
|
|
|
Для воздуха |
при |
К |
= 1,4 |
|
|
|
|
Т к р = |
0,831 |
Т 0 ; |
ß = |
0 . 6 3 |
6 А ; |
Р к р = 0,528 Р о . |
(2.12) |
Выражение для |
Ѵкр |
найдем из уравнения Бернулли, |
заменив |
||||
в нем |
Q K p = |
Ѵкр |
: |
|
|
|
|