книги из ГПНТБ / Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах

К О М М Е Н Т А Р И И

Согласно первой из лемм этим условиям удовлетворяет треугольник (3, 4, 5). Поэтому Диофант шцет решение в виде (Зх, 4х, 5х), тогда

X

36 — 12Х — 8Х2 и 25 + 6Х + X2

должны равняться квадратам. Решение его найти легко»-

300

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А V I

9. Задача ѴІ13 эквивалентна системе

■L x y - x = u ,

.4- X Y - Y = D -

Диофант решает ее тем же методом, что и предыдущую. Замечание Ферма (№ XL):

«Нашим методом решается следующий вопрос, который иначе был бы очень труден:

Найти прямоугольный треугольник, у которого каждая из двух сторон при прямом угле, уменьшенная на площадь,

Приравнивая, как и в двух предыдущих задачах, и — кх, Диофант

получает из второго уравнения

р1

Подставляя это значение в первое уравнение, найдем

рп-а — гра + грк2 _ „2

(о-**)*

значит,

грк- — ар (г — р) =

При выбранных значениях р, q, г получим

15/с2 — 36 = □ ,

или 15 = а2 + Ъ2 , что невозможно. Здесь Диофант снова пользу­

ется предложением: если число, после выделения всех квадратных

301

К О М М Е Н Т А Р И И

делителей, делится на простое число вида 4л — 1, то оно не представ ляется суммою двух квадратов (см. задачу Ѵв и комментарий к ней).

Итак, требуется найти прямоугольный треугольник, для кото­

рого

грк2 — ар {г — р) — □ .

Диофант образует искомый треугольник из двух чисел |, г). Тогда написанное выше уравнение приобретает вид

2Ш 2 + Л2) *2 - 2 6 V (Г“ - т|2) (І - ц)2 = □ ,

при этом в качестве вычитаемого катета Диофант выбирает q = 2|г|.

Диофант замечает, что уравнение удовлетворяется, если ^ и т]

Берем сторону этого квадрата равной Ат (у Диофанта А = 6) и полу­ чаем

т = ______ ^ ______

і2(і« — 1) - X 2 ’

откуда находим X , Y , Z как рациональные функции двух пара­

метров.

11. Задаче ѴІ16 предшествует лемма, которая носит еще боле общий характер, чем вторая лемма к задаче ѴІ12 (см. комментарий 8 к этой книге). В ней устанавливается, что если уравнение

аХ 2 — Ь = Y 2

имеет некоторое рациональное решение р , д, то можно найти бес­ конечно много других рациональных решений рп , дп , причем

Р < Рі < • • • <Рп <

302

Н айт и такой прямоуголь­ ный треугольник, что при вы­ читании площади ив гипоте­ нузы или одной ив сторон при прямом угле получается ква­ драт».

3 0 3

304

АРИФМЕТИКА КНИГА V I

изящной, не была до сих пор известна ни Баше, ни комулибо другому, чьи труды дошли до меня» 1).

15. Задача ѴІі8 эквивалентна системе

первое уравнение обращается в тождество, а второе уравнение дает

Нетрудно понять, как была получена эта подстановка. Уравне­ ние (1 ) представляет эллиптическую кривую, которая имеет рацио­

305

к о м м е н т а р и и

Общее его решение можно найти с помощью подстановки ѵ — а и,

306

|.г3 + 2г2 -f- X = у3.

Первое из них легко обратить в квадрат, пользуясь методом Дио­

значит, 2/с4 = и®, или 2к = ш3, к — ш3/2.

Остается позаботиться, чтобы стороны искомого треугольника

шестая степень которого лежит в промежутке (23, 24), отвечает решение задачи.

19.В задаче ѴІ22 требуется отыскать прямоугольный треуголь­

ник (X , У, Z), для которого

[X + Y + Z + 4 2X Y = V2.

Диофант сначала исследует задачу об определении прямоуголь­ ного треугольника, если эадапы его периметр и площадь. Пусть

Для существования рациональных корней необходимо и достаточно, чтобы дискриминант этого уравнения был квадратом:

307

КОММЕНТАРИИ

Диофапт выбирает q в качестве нового неизвестного, а р берет та­

ким, чтобы оно было одновременно и квадратом н кубом. Он выби­

Это уравнение вместе с предыдущим составляет двойное равенство, которое, как замечает Диофант, можно решить обычным способом.

Замечание Ферма к задаче VIS2 и к комментарию Баше к этой аадаче, который посвящен двойным равенствам (№ XLIII):

«Там, где двойные равенства, или £іл:Хою6т7]те?, не­ достаточны, следует прибегать к тройным равенствам, или

трі7іХоюбтт)ТЕ?, которые открыты памп и которые вед>т к решению множества прекрасных задач.

Пусть, например, падо приравнять квадратам

А + 4, 2Х + 4, 5А + 4,

получаем тройное равенство, которое легко решить с помощью

двойного равенства.

Если положить вместо X некоторое число, которое вместо

2А 2 + SA Д- 4, третье 5А2 Д- 20А Д- 4.

Первое число является квадратом по построению, зна­ чит, нужно приравнять квадратам

2Х 2 + 8Х Д- 4 и 5Х2 Д- 20А + 4,

и получаем двойное равенство, пз которого найдем, правда, только одно решение, но из него можно вывести новое реше­ ние, а из второго выведем третье и так до бесконечности.

Чтобы сделать это, надо, если найдено некоторое значе­ ние для А, положить вместо А в уравнении АДпервоначаль­ но найденное значение для А . Таким путем получим беско­ нечно много решений, каждое из которых выводится из пре­ дыдущего п присоединяется к уже полученным.

Благодаря этому открытию мы можем получить беско­ нечно много треугольников с одинаковой площадью, чего, как кажется, не знал Диофант, как это явствует из задачи Ѵа1), в которой он ищет только три треугольника с одина-)*

*) В нашем издании это вторая левша к задаче Ѵт.

3 0 8

АРИФМЕТИКА КНИГА VI

новой площадью, чтобы решить последующую задачу отно­ сительно трех чисел, но эта задача, благодаря впервые

можем многое добавить, что не было открыто ни древними, ни современными авторами. Однако для того, чтобы удосто вериться в важности нашего метода п показать, как его при­ менять, достаточно решить следующий очень трудный вопрос:

Найти прямоугольный треугольник в числах, гипотену­ за которого была бы квадратом, а также и сумма сторон при прямом угле.

Искомый треугольник представлен следующими тремя числами:

4687298610289, 4565486027761, 1061652293520,

ион образован двумя числами: 2150905 и 246792.

Спомощью другого метода мы открыли решение следую щего вопроса:

Найти прямоугольный треугольник в числах при условии, что квадрат разности сторон при прямом угле минус удвоен­ ный квадрат меньшей из этих сторон составляет квадрат.

Один из треугольников, который удовлетворяет вопросу, будет следующим: 1525, 1517, 156, образованный числами

39 и 2.

Добавлю с уверенностью, что два треугольника, которые были приведены как решения двух предложенных задач, являются наименьшими в целых числах, которые удовлет­ воряют вопросам.

Наш метод таков. Ищут решение предложенного вопроса обычным методом. Если после окончания вычислений не до­ биваются успеха, потому что значение неизвестного числа получается со знаком недостатка и должно быть рассмотрено как меньшее нуля, то мы с уверенностью заявляем, что не следует падать духом (и стоять разиня рот, как говорит Виет и как делал и он сам и древние аналисты), но надо вновь вернуться к вопросу и подставить вместо неизвестного X

число, найденное при первом вычислении и имеющее знак недостатка. Таким образом получится новое уравнение, которое приведет к решению в настоящих числах [т. е. поло­ жительных рациональных.— И . Б.].

309