книги из ГПНТБ / Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах

КОММЕНТАРИИ

Постановка задач относительно прямоугольных треугольников позволяет Диофанту вводить в рассмотрение различные функции ікчізвестного н параметров как площадь треугольника, его пери­ метр, сумму площади и одного из катетов и т. д.

Таким образом, к общему условию (1) присоединяется еще иѳ- . которая функция

т. е. предполагает, что искомый треугольник подобен наименьшему треугольнику в целых числах (3, 4, 5). Далее он оперирует так, как если бы 3, 4, 5 были произвольными рациональными числами, удовлетворяющими уравнению (1). Поэтому мы лучше всего пере­ дадим ход его мыслей, если примем, что

(3) X = рх, У = qx, Z = гх.

где р, q, г — одно из решений уравнения (1). Подставляя значения

(3) в условно (2), Диофант получает некоторое уравнение относитель­ но р, q, г а X . Из него он находит, какому условию должны удовлет­ ворять р, q, г для того чтобы X было положительным н рацио­ нальным. Таким образом, он приходит к треугольнику (p,q, ?),

которому должен быть подобен искомый, а затем находит п коэф­ фициент подобия X.

Только в задаче ѴІ12 Диофант цредіюлагаот, что стороны иско­ мого треугольника имеют вид 5х, І2х, 13х. При этом после анализа

задачи оказывается, что следует взять Зх, 4х и 5х. Почему же в том единственном случае, когда искомый треугольник подобен треуголь­ нику (3, 4, 5), Диофант взял в качестве предполагаемого другой? Очевидно, оп это сделал потому, что треугольник (3, 4, 5) сразу же привел бы к решению н не позволил бы провести анализа. Таким образом, в качестве произвольных параметров он мог брать любые рациональные числа, кроме конечного числа таких, которые удов­ летворяют условиям задачи.

Многие теоретико-числовые предложения Ферма были выска­ заны в замечаниях к этой книге. Так, например, Ферма утверждает, что уравнение

290

АРИФМЕТИКА КНИГА VI

дим его знаменитое доказательство предложения: не существует треугольника в рациональных числах, площадь которого была бы квадратом, пз которого следует неразрешимость в целых (а значит, и в рациональных) числах уравнения

X 4 + У4 = Z4.

1. Задачи VIj и Ѵ12 эквивалентны соответственно системам

Обе задачи решаются аналогично. Для решения первой из ннх

Диофант принимает и — у и получает, что параметр у должен рав­ няться 2. Таким образом, и здесь конкретное число 3 играет роль

Окончательно получим

2.Задачи ѴІ3 и ѴІ4 сводятся соответственно к уравнениям

~XY ± ™= □,

КОММЕНТАРИИ

где т — заданное число. В задаче Ѵ13Диофант берет т = 5, а в зада­ че ѴГ4— т = 6.

В обоих случаях он ищет треугольник в виде (Зя, Ах, 5х),

которых еще должны быть найдены из условия задачи. Поэтому примем, что искомые числа X , Y , Z равны X = р х , Y — qx, Z = гх

Таким образом, задача приводится к следующей: найти такой пря­

«Ошибка Виета 4), без сомнения, имеет такое происхож­ дение: знаменитый муж приравнял площадь к разности двух биквадратов X 4 — 1, чтобы при прибавлении упятерсипого

квадрата получился квадрат.

Поскольку заданное число 5 является суммой двух квад­ ратов, то можно найти упятеренный квадрат, который, умень­ шенный на единицу, будет квадратом. Положим сторону квад­ рата, который нужно упятерить, равной X -f- 1, причем вместо + 1 при X можно взять любое другое число. Упяте­

что должно равняться квадрату. Это сделать нетрудно, так как число едипиц является квадратом вследствие предполо­ жения, присоединенного в качестве условия.

Но Внет пс заметил, что вопрос так же хорошо решается, если в качестве площади вместо X4 — 1 взять 1 — X4, так как тогда он немедленно приводится к тому, чтобы заданное число 5, 6 или любое другое, умноженное на квадрат, сделать квадратом после прибавления единицы, что всегда легко решить, поскольку единица является квадратом.

Мы решили эту и две последующие задачи особым мето­ дом, который позволяет, например, отыскать треугольник, площадь которого, увеличенная на 5, составляет квадрат; а именно такой треугольник в минимальных числах есть (9/3, 40/3, 41/3); площадь его 20 и при прибавлении 5 дает квадрат 25.

'1 При своем решении Внет предполагал, что заданное чпело является сум­

мою двух квадратов (как, например, число 5). Такое предположение, как показывает Ферма, излишне.

3. Задача ѴІБ эквивалентна уравнению

т — -L X Y = □ ,

2

решается тем же методом, что и задачи ѴІ3 п ѴІ4.

4.Задачи ѴІа и ѴГ7, эквивалентны соответственно уравнениям

Вобепх задачах Диофант берет т = 7.

Ход решения таков: Диофант ищет треугольшік, удовлетворяю- ■ тціиі условиям задачи, в виде А' = рх, Y = qx , У, = гх (р = 3,

q — 4, г — 5), тогда

1

(1) — p q x - + p x = m\

для существоваппя рациональных решений необходимо и достаточ­

294

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А VI

Наконец, решая уравнение (1), получим

-г Ь [-■}■]■

истороны искомого треугольника будут 7/4, 6, 25/4. Задача ѴЬ решается аналогично.

Замечание Ферма к задаче VIe (№ XXXV):

«Это предложение и следующие за ним могут быть реше­ ны иначе: в этом предложения образуем треугольник нз за­ данного числа и единицы п разделим все стороны на сумму данного числа и единицы, получим искомый треугольник» 1). Замечание Ферма к задаче ѴЬ (№ XXXVI):

«Образуем треугольник из заданного числа и единицы и разделим стороны его на разность данного числа и единицы. Этот вопрос допускает бесконечно много решений, которые можно получить тем же методом, что н для двойных уравне­

Баше. Но почему пи Диофант, ни Баше ие прибавили сле­ дующего вопроса?

Найти, прямоугольный треугольник, такой, чтобы один из его катетов уменьшенный на площадь, составлял данное число.

і) Как заметил еще П. Таннера, решение Ферма в точности совпадает о тем, которое дал Диофант,

295

К О М М Е Н Т А Р И И

Для того чтобы корни этого уравнения были рациональными, не­ обходимо и достаточно, чтобы

Таким образом, эта задача, как и предыдущие три, сводится к двой­ ному равенству

(Р + ?)2 + 2mpq = □ ,

Р2 + Я2 =

Оба уравнения можно поделпть па <?2, тогда они будут уравнениями относительно t = p/q. Это, но существу, и делает Диофант, полагая, р — I, q = 1. Решая двойное равенство

Р + 2 (т + 1) t + 1 = и2,

где I определяется из уравнения (1). Поскольку дискриминант этого уравнения является иолиым квадратом, то х получается ра­

циональным.

Задача ѴІѲрешается аналогично.

Замочаппе Ферма (№ XXXVИ) к задачам ѴТ8 п ѴІ0:

«Благодаря нашему методу можно прибавить следующую задачу:

Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы сумма сторон при прямом угле, уменьшенная на площадь, составля­ ла данное число».

6. Задачи V110 и ѴІП эквивалентны соответственно уравнениям

Диофант берет т = 4 и рассматривает прямоугольный тре­ угольник {рх, qx, гх) (р — 3, q = 4, г = 5). Тогда условие задачи

\']Хи принимает вид

296

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А V I

Для существования рационального решения у этого уравнения необходимо и достаточно, чтобы

( !)

Чтобы найти треугольник, удовлетворяющий этому последнему

щем уравнении (после приведения подобных) остались только чле­ ны, содержащие I2 и t3. Таким образом, находится рациональное значение для t. Подробнее об этом методе см. задачу ІѴзв и коммен­

тарии к ней.

Задача ѴІП решается аналогично.

Замечание Ферма к задачам ѴІ10 и ѴІП (№ ХХХѴШ ):

«Благодаря нашему методу можно добавить следующую задачу:

Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы сумма гипотенузы и одной из сторон при прямом угле, уменьшенная на площадь, составляла данное число.

Можно также к комментарию Баше добавить следующую:

Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы гипо­ тенуза, уменьшенная на площадь, составляла данное число» J).

7.Задаче ѴІ12 предшествуют две леммы, которые, по всей веро­

ятности, были переставлены местами, так как первая лемма опира­ ется на результат, доказанный во второй. Поэтому мы начнем со второй леммы. Она содержит следующее утверждение:

Уравнение

аХ 2 + Ь = Y 2

имеет бесконечно много решений, если а + Ь = т2. Иначе говоря,

если это уравнение имеет одно рациональное решение (1, т ), то оно имеет бесконечно много рациональных решений.

Диофант проводит доказательство для конкретных значений коэффициентов а и Ъ (он берет а = 3, Ъ = 6), однако его метод впол­

не общий.

') Баше в своем комментарии к ѴІц рассмотрел задачу: «Найти прямо­ угольный треугольник такой, что его площадь, увеличенная (уменьшен­ ная) па гипотенузу, составляет заданное число».

К О М М Е Н Т А Р И И

Сначала он делает подстановку X = х + 1, У = У, тогда урав­

нение приобретает вид

ах2 -)- 2ах + т2 = У2.

Поскольку свободный член является квадратом, то это последнее уравнение решается с помощью метода А (см. комментарий к книге II):

У = кх — т.

Тогда

х = 2 а + кт к* — а

иX , У выражаются как рациональные функции параметра к.

Каждому рациональному значению этого параметра отвечает одно

итолько одно рациональное решение задачи.

рациональное решение (Х0, У0), то, чтобы найти новое решение, он делает предварительно подстановку X = Х 0 + t, Y — Y ,

с помощью которой получает уравнение того же вида, свободный член которого равен У^, после чего Эйлер применяет обычные под­ становки Диофанта (L. Е u 1 ѳ г, Ëlémena d’algèbre, t. II, §§ 59, 60, 1796).

В первой лемме требуется найти такой прямоугольный тре­ угольник (X, У, Z), для которого

У - Х = Q У = Q - |.Х У + Х = Q

Если треугольник образован при помощи чисел £, ц, то условия обратятся в

конечно много других рациональных решений.

Итак, лемме будет удовлетворять треугольник (3, 4, 5), отве­

298

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А V I

8.Задача ѴІ12 эквивалентна системе

( ^ Х У + Х = П,

(.*. х у + у = п .

p q № + -|-P5S ( . д - р ) =

Согласно второй лемме для существования рационального решения достаточно потребовать, чтобы

Чтобы удовлетворить этому условию, Диофант ищет такой треуголь­ ник, для которого

д ] = □ . д — р = □& р + | р? =