книги из ГПНТБ / Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах

КОММЕНТАРИИ

Диофант берет p/q — Ѵ4, тогда

и дело сводится к представлению 13/64 суммою трех квадратов, что сделать нетрудно, так как 13 = 4 + 9 и любой из этих квадратов (Диофант выбирает 9) можно представить в виде суммы двух рацио­ нальных квадратов (см. задачу І18).

17.Задача V 21 эквивалентна системе

Тогда все уравнения системы обратятся в тождества при условии,

Диофант принимает сторону неизвестного квадрата равной произ­ ведению катетов одного пз треугольников, пусть это будет а3Ъ3, а катеты другого треугольника, пусть а2 п blt принимает равными

3 и 4, тогда 12я2& = аз^з-

Обе части равенства можно разделить на 4 — наибольший квад­ рат, содержащийся в 12 (или, если угодно, можно считать, что сто­ рона неизвестного квадрата равна не а3Ь3, а 2а3Ь3); тогда

« А = За2Ь2.

Итак, мы приходим к задаче: найти два прямоугольных треуголь­ ника, площади которых имеют отношение 3 : 1 . Диофант приводит два треугольника, обладающих нугкным свойством, а именно (9, 40, 41) и (15, 8, 17), не объясняя, как они были найдены.

Формулы для нахождения прямоугольных треугольников в ра­ циональных числах, площади которых имели бы заданное отношение,

280

АРИФМЕТИКА КНИГА V

приводит в своем замечании Ферма, одпако и он не говорит, как он нашел эти формулы.

Замечание Ферма (№ XXIX):

«Вот как я восстанавливаю и объясняю метод Диофанта, который Баше не понял.

Взяв в качестве первого треугольника (3, 4, 5), для которого произведение сторон, содержащих прямой угол, есть 12, Диофант говорит: „Придется искать два прямоуголь­ ных треугольника таких, чтобы произведение катетов одного было в 12 раз больше произведения катетов другого".

Основа этого заключается в том, что если перемножить между собой эти два произведения, то получится плоское число, подобное 12, и, значит, умножая это последнее число па 12, получим квадрат, что и требуется в задаче.

Диофант продолжает: „или чтобы площадь одного была в 12 раз больше площади другого“,— что ясно само по себе. Далее: „Но если в 12, то можно и в три"; действительно, разделив 12 на квадратное число 4, получим 3; и перемно­ жение всех оснований и высот даст квадрат, так как деление квадрата на квадрат дает квадрат.

Продолжение текста Диофанта не доставляет решения задачи, но мы восстанавливаем его так:

В данном случае образуем один из треугольников из чисел 7 и 2, а другой — из 5 и 2. Первый треугольник будет иметь площадь, в три раза большую, чем второй, и оба они удовлетворяют задаче.

Вот общее правило для нахож дения прямоугольных тре­

угольников, площ ади которых находятся в заданном отно­

') Треугольники, которые выбрал Диофант, паіідены именно этим вторым способом. Они отвечают значениям R = 3, S = 1, причем второй треуголь­ ник должен быть образован из чисел R — 2S, К + S. (Прим. ред.)

281

КОММЕНТАРИИ

И н а ч е.

Образуем первый треугольник из 67? и 27? — S,

образуем второй треугольник из 67? и 7? — 26\ Из предыдущего можно извлечь метод нахождения трех

прямоугольных треугольников, площади которых пропорцио­ нальны трем данным числам, лишь бы сумма двух из этих чисел равнялась учетверенному, оставшемуся.

Пусть даны, папрпмер, три числа 7?, S, Т, и пусть R, S вместе составляют учетверенное Т. Тогда три треугольника

образуем следующим образом:

первый из 7? + 4іУ и 27? — 4>У, второй пз 67? и 7? — 2S,

третий из AS + Т л 47? — 2Т.

Мы предполагаем здесь, что 7? больше Т.

Равным образом можно отсюда извлечь метод нахождения трех прямоугольных треугольников в числах, площади кото­ рых образуют прямоугольный треугольник.

Вопрос можно свести к нахождению треугольника, у кото­ рого основание и гипотенуза равны учетверенпой высоте. Эта задача нетрудная, и искомый треугольник будет подобен следующему: 17, 15, 8.

А эти три треугольника образуются [числами]: первый 49 и 2, второй 47 и 2, третий 48 и 1.

Равным образом можно извлечь метод нахождения трех треугольников, площади которых пропорциональны трем, данным квадратам, если только два будут равны учетверен­ ному оставшемуся',таким же путем можно найти три тре­ угольника с одинаковой площадью, мало того, можно беско­ нечным числом способов построить два прямоугольных тре­ угольника, площади которых находятся в заданном отноше­ нии, умножая один из членов отношения или оба на заданный

квадрат, и т. д.».

План решения тот же, что и в предыдущей задаче.

282

аМгФметика книга ѵ

Диофант берет три прямоугольных треугольника (%, Ь2, сх), (а2, Ь2, с2) и (я3, Ь3, с3), поскольку

Ь а _ _

Тогда псе уравнения системы удовлетворяются при условии, что

(ЬіЫ з\ 2 ^ = х.2

\ С і С 2 С з /

или

ЪіЬФ3сіргсз — р .

Диофант принимает Ьі = 4, а — 5, а сторону неизвестного квад­

рата — равной Ь3с3, тогда

20й2е2 = 53с3,

или, как и в предыдущем случае, сокращая на 4, получим

Для решения этой задачи Диофант берет сначала два треуголь­ ника, площади которых относятся, как 1 : 5 . Он выбирает треуголь­ ники (3, 4, 5) и (5, 12, 13). Исходя из них, он ищет два других тре­ угольника, в одном из которых произведение катета на гипотену­ зу равно 6, а в другом — 30. Диофант не говорит о том, как он на­ шел эти треугольники. Он мог для этого воспользоваться тем, что числа

составляют прямоугольный треугольник, где (я, Ь, с) — некоторый

прямоугольный треугольник в рациональных числах. Действительно, исходя из двух выбранных им треугольников,

(7, 24, 25) и (119, 120, 169). Эти треугольники вместе с треугольником (3, 4, 5) и дадут катеты и гипотенузы, нужные для решения задачи.

Поскольку Диофант пе изложил метода нахождения треуголь­ ников, обладающих нужным ему свойством, Ферма решил воспол­ нить этот пробел. Приводим его решение.

283

Нужно найти два прямоугольных треугольника таких, чтобы произведение катета и гипотенузы одного из них имело задан­ ное отношение к произведению катета и гипотенузы другого.

Этот вопрос долго нас мучил, и тот, кто попробует его решить, сможет убедиться, что ои действительно труден, но наконец был открыт метод общего его решения.

Пусть требуется найти два треугольника таких, что про­ изведение катета и гипотенузы одного из них вдвое больше произведения гипотенузы и катета другого.

Пусть один из треугольников образован из чисел А и В ,

Это значит, если частное от деления 2D3 — Б 3 на Б — 2D

будет квадратом, то задача будет иметь решение.

Значит, нужно найти два числа, Б и D, удовлетворяющие

условию, что удвоенный куб одного минус куб другого, разде­ ленный или умноженный (что приводит к тому же) на удво­

+~2 Л •g--'1 ■ Остальное не составит труда.

284

АРИФМЕТИКА КНИГА V

Чтобы распространить этот метод на случай произволь­ ного отношения, достаточно взять в качестве одного из иско­ мых чпсел X плюс избыток большого члена отношения над

меньшим, а в качестве второго числа — сам этот избыток, что мы и сделали для отношения 2 к 1. Действительно, при этом свободный член в окончательном произведении будет квадратом, и уравнение будет решаться без труда. Этим спо­ собом придем к двум числам, которые мы обозначили В и D,

а затем вернемся к первоначальному вопросу. Просматривая еще раз то, что было написано по поводу

задачи 25 Диофанта, я хотел было все стереть, так как на самом деле эта задача не сводится к вопросу, решение кото­ рого мы дали. Однако, если мы и ошиблись в сведении од­ ного вопроса к другому, тем не менее этот последний был ре­ шен правильно; наш труд был скорее не потерян, а неудачно помещен, поэтому мы его оставляем таким, каким мы его написали на полях.

Сам же вопрос Диофанта мы подвергли новому исследо­ ванию, и, тщательно применив наш метод, получили наконец общее решение; однако мы приведем только один пример,

сами числа которого покажут, что они были найдены не слу­ чайно, но с помощью регулярного метода.

В предложении Диофанта ищутся два прямоугольных треугольника при условии, что произведение гипотенузы и катета одного имеет к произведению гипотенузы и катета

19.Задачи Ѵ23, Ѵ24 сводятся соответственно к задачам Ѵ22, Ѵ21. Задачи Ѵо5 и Vjo — к задачам Ѵ22 и Ѵ23.

20.Задачи Ѵа? и Ѵаа эквивалентны системам

28 5

КОММЕНТАРИИ

В первом случае Диофант берет а ~ 15, во втором а ~ 13. Мы

приведем здесь ход решения для первого случая. Диофант закреп­ ляет одно из неизвестных, полагая = у (у = 3), тогда первое и третье уравнения примут вид

левой части последнего уравнения будут полными квадратами.

После этого неизвестные определяются как рациональные функции параметров у, р, q, причем последние два параметра связаны соот­ ношением р 2 + д2 = г2.

Заметим, что при выбранных Диофантом значениях параметров неизвестные Х г и Х 3 получаются отрицательными (—1/10 и

— 23/15), однако Диофант принимает эти решения, так как он ищет квадраты неизвестных, которые, разумеется, получаются положи-

2S6

АРИФМЕТИКА КНИГА V

тельными. Таким образом, его нисколько не смущает, что проме­ жуточные значения отрицательны.

Ферма сделал замечания к обеим этим задачам. Замечание к задаче V», (№ XXXI):

«Благодаря этой задаче мы получаем решение воироса, который без этого казался очень трудным:

Дано число, найти четыре числа, сумма любых двух из которых при прибавлении данного числа образует квадрат.

Пусть даио число 15; сначала найдем по методу этой за­ дачи три числа, сумма любых двух из которых вместе с заданиьш чпслом образует квадрат. Пусть эти три квадрата будут

как если взять сумму первого числа и какого-нибудь из оставшихся и если прибавить 15, то будет квадрат.

Нужно еще, чтобы получились квадраты, если прибавить 15 либо к сумме второго и третьего, либо к сумме третьего и четвертого, либо к сумме второго и четвертого. Получится тройное равенство, решение которого очевидно, так как конструкцией, метод которой мы заимствуем из данной зада­ чи, можно в каждом из выражений, которые мы приравниваем квадратам, сделать свободный член квадратом. Смотри но

Замечание Ферма к задаче V2s (№ XXXII):

«Способом, аналогичным примененному к предыдущему вопросу о нахождении четырех чисел, сумма любых двух из которых, увеличенная на данное число, образует квадрат, можно решить и этот вопрос о нахозіедении четырех чисел, сумма любых двух из которых, уменьшенная на данное число, образует квадрат.

А именно положим: первое число равным X2 + данное число, второе число — сумме первого квадрата, найденного

вэтой задаче, и удвоенной его стороны, умноженной на X ,

ит. д. Остальное очевидно».

28 7

КОММЕНТАРИИ

21. Задача Ѵао эквивалентна уравнению

X4 + У'1 + Z* = Р2.

Схема решения Диофанта такова. Чтобы уничтожить члены четвер­ той степени, он делает подстановку

V = X й — (У3 + Z2),

причем первое число он выбирает в качество основного неизвест­ ного, а двум другим придает произвольные числовые зиачеиия.

Тогда

Y2 = Y-Z-

У - + Z '- •

Поскольку последняя дробь должна быть квадратом, Диофант тре­ бует, чтобы

У2 + Z2 = □ ,

т. е. У и Z должны быть катетами прямоугольного треугольника

врациональных числах; значит,

Таким образом, неизвестные выражаются как рациональные функ­ ции двух параметров. Решение Диофанта отвечает значениям а = 1,

Р = 2-

Замечание Ферма (№ XXXIII):

«Почему же он не ищет двух биквадратов, сумма которых была бы квадратомі Конечно, потому, что эта задача невоз­

можна, как это с несомненностью показывает наш метод доказательства».

22. Задача Ѵзо, завершающая книгу, формулируется в виде эпиграммы. Текст ее испорчен. Над его восстановлением работали историки науки и филологи, начиная от Баше и кончая Таннери. Отметим, что все остальные задачи Диофанта формулируются аб­ страктно, задача Ѵ30 — единственная, условию которой придана псевдопрактическая формулировка.

С алгебраической точки зрения задача сводится к системе

№ + 5 Х 2 = У2,

|(Х , + х 2у = У2 + я-

288