
ЛЕКЦИЯ 5 альб
.docЛекция 5. Решение задач по теме "Аналитическая геометрия в пространстве"
1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0(1, -2, 5) параллельно плоскости 7x-y-2z-1=0.
Решение. Обозначим через Р заданную плоскость, пусть Р0 – искомая параллельная плоскость, проходящая через точку М0(1, -2, 5).
Рассмотрим нормальный (перпендикулярный)
вектор
плоскости Р. Координаты нормального
вектора являются коэффициентами при
переменных в уравнении плоскости
.
Поскольку плоскости Р и Р0
параллельны, то вектор
перпендикулярен плоскости Р0,
т.е.
-
нормальный вектор плоскости Р0.
Уравнение плоскости, проходящей через
точку М0(x0,
y0, z0)
с нормалью:
(1)
Подставляем координаты точки М0
и вектора нормали
в уравнение (1):
Раскрывая скобки, получаем общее уравнение плоскости (окончательный ответ):
.
2. Составить канонические и параметрические
уравнения прямой, проходящей через
точку М0(-2, 3, 0) параллельно
прямой
.
Решение. Обозначим через L заданную прямую, пусть L0 – искомая параллельная прямая, проходящая через точку М0(-2,3,0).
Направляющий вектор
прямой L
(ненулевой вектор, параллельный этой
прямой) параллелен также и прямой L0.
Следовательно, вектор
является направляющим вектором прямой
L0.
Координаты направляющего вектора
равны соответствующим знаменателям в
канонических уравнениях заданной прямой
.
Канонические уравнения прямой в
пространстве, проходящей через точку
M0(x0, y0, z0)
параллельно ненулевому вектору
{l, m, n}
.
(2)
Подставляем координаты точки М0
и направляющего вектора
в уравнение (2) и получаем канонические
уравнения прямой:
.
Параметрические уравнения прямой в
пространстве, проходящей через точку
M0(x0, y0, z0)
параллельно ненулевому вектору
{l, m, n},
имеют вид:
(3)
Подставляем координаты точки М0
и направляющего вектора
в уравнения (3) и получаем параметрические
уравнения прямой:
3. Найти точку
,
симметричную точке
,
относительно:
а) прямой
б) плоскости
Решение.
а) Составим уравнение перпендикулярной
плоскости П, проектирующей точку
на данную прямую:
Чтобы найти
используем условие перпендикулярности
заданной прямой и проектирующей
плоскости. Направляющий вектор прямой
перпендикулярен плоскости
вектор
является вектором нормали
к плоскости
Уравнение плоскости, перпендикулярной
заданной прямой имеет вид
или
Найдем проекцию Р точки М на прямую. Точка Р есть точка пересечения прямой и плоскости, т.е. ее координаты должны одновременно удовлетворять и уравнениям прямой, и уравнению плоскости. Решим систему:
.
Чтобы решить ее, запишем уравнение прямой в параметрическом виде:
Подставляя выражения для
в уравнение плоскости, получим:
Отсюда находим
Найденные координаты – это координаты
середины Р отрезка, соединяющего
точку
и симметричную ей точку
В школьном курсе геометрии формулировалась теорема.
Координаты середины отрезка равны полусуммам соответствующих координат его концов.
Находим координаты точки
из формул для координат середины отрезка:
Получаем:
Итак,
.
Решение. б) Чтобы найти точку,
симметричную точке
относительно
данной плоскости П, опустим
перпендикуляр из точки
на эту плоскость. Составим уравнение
прямой с направляющим вектором
,
проходящей через точку
:
Перпендикулярность прямой и плоскости
означает, что направляющий вектор прямой
перпендикулярен плоскости
.
Тогда уравнение прямой, проектирующей
точку
на заданную плоскость, имеет вид:
Решив совместно уравнения
и
найдем проекцию Р точки
на плоскость. Для этого перепишем
уравнения прямой в параметрическом
виде:
Подставим эти значения
в уравнение плоскости:
Аналогично п. а), используя формулы
для координат середины отрезка, находим
координаты симметричной точки
:
т.е.
.
4. Составить уравнение плоскости,
проходящей а) через прямую
параллельно вектору
;
б) через две пересекающиеся прямые
и
(предварительно доказав, что они
пересекаются); в) через две параллельные
прямые
и
;
г) через прямую
и точку
.
Решение. а) Поскольку заданная
прямая лежит в искомой плоскости, и
искомая плоскость параллельна вектору
,
то нормальный вектор плоскости будет
перпендикулярен направляющему вектору
прямой
и вектору
.
Следовательно, в качестве нормального
вектора плоскости можно выбрать векторное
произведение векторов
и
:
.
Получаем координаты нормального вектора
плоскости
.
Найдем точку на прямой. Приравнивая отношения в канонических уравнениях прямой к нулю:
,
находим
,
,
.
Заданная прямая проходит через точку
,
следовательно, плоскость тоже проходит
через точку
.
Используя уравнение плоскости, проходящей
через заданную точку перпендикулярно
вектору
,
получаем уравнение плоскости
,
или
,
или, окончательно,
.
Решение. б) Две прямые в пространстве могут пересекаться, скрещиваться или быть параллельными. Заданные прямые
и
(4)
не параллельны, поскольку их направляющие
векторы
и
не коллинеарны:
.
Как проверить, что прямые пересекаются? Можно решать систему (4) из 4 уравнений с 3 неизвестными. Если система имеет единственное решение, то мы получаем координаты точки пересечения прямых. Однако для решения нашей задачи - построения плоскости, в которой лежат обе прямые, точка их пересечения не нужна. Поэтому можно сформулировать условие пересечения двух непараллельных в пространстве прямых без нахождения точки пересечения.
Если две непараллельные прямые
пересекаются, то направляющие вектора
,
и соединяющий лежащие на прямых точки
и
вектор
лежат в одной плоскости, т.е. компланарны
смешанное произведение
этих векторов равно нулю:
. (5)
Приравниваем отношения в канонических уравнениях прямых к нулю (а можно к 1 или любому числу)
и
,
и находим координаты точек на прямых.
Первая прямая проходит через точку
,
а вторая прямая – через точку
.
Направляющие векторы этих прямых
соответственно равны
и
.
Получаем
.
Равенство (5) выполнено, следовательно, заданные прямые пересекаются. Значит, существует единственная плоскость, проходящая через эти две прямые.
Переходим ко второй части задачи – составление уравнения плоскости.
В качестве нормального вектора плоскости
можно выбрать векторное произведение
их направляющих векторов
и
:
.
Координаты нормального вектора плоскости
.
Мы выяснили, что прямая
проходит через
,
следовательно, искомая плоскость тоже
проходит через эту точку. Получаем
уравнение плоскости
,
или
или, окончательно,
.
в) Так как прямые
и
параллельны, то в качестве нормального
вектора нельзя выбрать векторное
произведение их направляющих векторов,
оно будет равно нулевому вектору.
Определим координаты точек
и
,
через которые проходят эти прямые. Пусть
и
,
тогда
,
.
Вычислим координаты вектора
.
Вектор
лежит в искомой плоскости и неколлинеарен
вектору
,
тогда в качестве ее нормального вектора
можно выбрать векторное произведение
вектора
и направляющего вектора первой прямой
:
.
Итак,
.
Плоскость проходит через прямую
,
значит, она проходит через точку
.
Получаем уравнение плоскости:
,
или
.
г) Приравнивая отношения в канонических
уравнениях прямой к нулю
,
находим
,
,
.
Следовательно, прямая проходит через
точку
.
Вычислим координаты вектора
.
Вектор
принадлежит искомой плоскости, в качестве
ее нормального вектора
выберем векторное произведение
направляющего вектора прямой
и
вектора
:
.
Тогда уравнение плоскости имеет вид:
,
или
.