4. Подпространство

Введем еще одно важное понятие – подпространство.

Определение. Множество называетсяподпространством, если:

1) сумма любых двух векторов из Е снова принадлежит Е;

2) произведение любого вектора из Е на скаляр есть вектор из Е.

Итак, операции сложения и умножения на скаляр не выводят за пределы подпространства, и это свойство является определяющим для подпространства. Говорят еще, что подпространство замкнуто относительно операций сложения и умножения на скаляр.

Очевидно, множество, состоящее из нулевого вектора есть подпространство вRⁿ и все Rⁿ есть подпространство самого себя. Эти два подпространства называют несобственными. Собственные пространства в R² – прямые, проходящие через начало координат (см. рисунок), в R³ – прямые и плоскости, проходящие через начало координат.

Базис подпространства определяется точно так же как базис в Rⁿ.

Пусть – подпространство. Система линейно независимых вектороввЕ называется базисом в Е, если любой вектор из Е представим в виде линейной комбинации векторов .

Доказывается, что все базисы подпространства состоят из одного и того же числа векторов m, которое называется размерностью Е и обозначается dim Е (от слова dimension – размерность).

Пример. Рассмотрим R³. Векторы вида образуют двумерное подпространство с базисом

.

5. Произведение матрицы на вектор

Таблица из m строк и n столбцов чисел называется прямоугольной матрицей порядка m  n:

.

Отметим, что a_ij – элемент i-й строки и j-го столбца.

Матрица называется квадратной, если . С квадратными матрицами мы уже имели дело.

Пусть наряду с матрицей А порядка m  n имеется вектор

.

Их произведением Ах называется вектор

,

координаты которого вычисляются по формулам:

Таким образом, первая компонента вектора Ах есть скалярное произведение первой строки

матрицы А на вектор х, вторая компонента вектора Ах – произведение второй строки

на вектор х и т.д. Коротко можно записать:

.

Пример.Вычислить произведение матрицыА(2,3) на векторХ(3).

Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

,

с матрицей A, вектором неизвестных х и вектором правых частей b

, _, .

Используя умножение матрицы на вектор, систему можно коротко записать в виде:

.

Тест по математике по теме "векторная алгебра" для групп 12-15

Адрес сайта: http://kipm.dyndns-web.com:8080/Institut/index.php

В ЦЕНТРАЛЬНОМ ОКНЕ

Надо выбрать свои данные в ТРЕХ полях: ИЭУИС, точка в крайней левой позиции (1 курс), номер группы.

Далее нажать клавишу "войти".

В появившемся окне выбрать "зарегистрироваться", произвести регистрацию и запомнить свои данные.

Выбрать фамилию преподавателя ОСИПОВ

Сначала можно потренироваться и выполнить пробный тест, а затем

Надо выполнить ЗАЧЕТНОЕ ЗАДАНИЕ и корректно выйти из программы. Тогда результаты записываются в файл, который может просмотреть преподаватель.

ЗАЧЕТ ставится за 90% правильно решенных задач (округление в пользу студентов).

Например, из 15 задач надо верно сделать не 15х0,9=13,5, а 13 задач. Можно 14 или 15 (на отлично)).

Автор программы доцент Лошков Игорь Владимирович. Он бывает в МГСУ 2 дня в неделю, во вторник и в пятницу. Его можно найти по расписанию занятий или в к. 617 напротив деканата. Все технические вопросы к нему.

Для желающих получить оценку 4 или 5 срок выполнения теста до 10 ноября. До этого срока надо также сделать и показать индивидуальное домашнее задание по векторной алгебре и аналитической геометрии.

Числа в задачах генерируются датчиком случайных чисел и не повторяются при повторном прохождении теста. Если какая-то задача не получается несколько раз, а вы уверены, что решаете ее правильно, спишите условие, свое решение и обратитесь к преподавателю.

Тесты составляются людьми, поэтому теоретически нельзя исключить возможность ошибок. За нахождение каждой ошибки в тесте (неправильно сформулировано условие задачи или компьютер генерирует неверный ответ) первый ее нашедший сразу получает 5. НО!

Тем, кто заявляет, что в тесте есть ошибка, а на самом деле там все верно, оценка снижается на 1 балл.