2. Линейная независимость, базис.

Введем понятие линейной независимости системы векторов в Rⁿ.

Система векторов

называется линейно независимой, если из равенства нулевому вектору линейной комбинации этих векторов

вытекает, что все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю:

.

Линейная комбинация с нулевыми коэффициентами называется тривиальной. Линейная независимость означает, что никакая нетривиальная линейная комбинация не равна нулевому вектору, нулевой может быть лишь тривиальная комбинация.

Линейная зависимость определяется как отрицание линейной независимости: существует нетривиальная комбинация равная нулевому вектору. Это означает, что один из векторов системы является линейной комбинацией остальных. Таким образом, линейная независимость означает, что ни один из векторов системы не является линейной комбинацией остальных.

Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов

1.Система из одного вектора линейно независима (л.н.), если и только если.

2. Системал.н.(не коллинеарен).

3. Система л.н.не компланарны, т.е. не лежат в одной плоскости.

4. Система векторов, содержащая нулевой вектор, является линейно зависимой.

5. Система векторов, содержащая два одинаковых вектора, является линейно зависимой.

6. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, является линейно зависимой.

7. Любая подсистема линейно независимой системы векторов является линейно независимой.

Система векторов называется ортогональной, если все они ненулевые и

для всех ,

т.е. различные векторы попарно ортогональны.

8. Ортогональная система векторов линейно независима.

Линейно независимая система называется базисом в Rⁿ, если всякий вектор в Rⁿ является линейной комбинацией векторов этой системы.

Можно доказать, что любой базис в Rⁿ состоит ровно из n элементов и любая линейно независимая система из n элементов является базисом в Rⁿ.

Геометрические примеры.

1. Базисом на прямой является любой ненулевой вектор , параллельный этой прямой (рис. 1).

2. Базис на плоскости образуют любые два неколлинеарных вектора, параллельных данной плоскости (рис. 2).

3. Три любых некомпланарных вектора образуют базис в пространстве (рис. 3).

Рис. 1	Рис. 2	Рис. 3

3. Разложение вектора по базису

Пусть – базис вRⁿ. Тогда всякий вектор можноразложить по базису, то есть представить в виде линейной комбинации элементов базиса:

.

Лемма. Разложение по базису единственно.

Доказательство. Пусть есть другое разложение:

.

Вычтем отсюда

.

Получим

.

В силу линейной независимости векторов базиса имеем:

,

т.е. все коэффициенты совпадают. 

Коэффициенты разложения вектора в данном базисе называют также координатами вектора в данном базисе.

Рассмотрим систему

.

Она ортогональна и, следовательно, линейно независима. Поскольку элементов n, то это – базис. Он называется стандартным, или каноническим базисом Rⁿ. Разложение вектора

в этом базисе выглядит особенно просто:

,

т.е. координаты вектора в этом базисе совпадают с его собственными координатами (компонентами). Конечно, для других базисов это не так.

Отметим, что

.

Благодаря этому базис е₁, ..., е_n называют нормированным. Поскольку он еще ортогональный, то его называю ортонормированным. Это – аналог и обобщение системы координатных ортов , которые использовались в векторной алгебре.

Приведем пример другого базиса в Rⁿ:

.

Докажите линейную независимость системы векторов .