Лекция 9

ЛЕКЦИЯ 9. ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦЫ К СТУПЕНЧАТОМУ ВИДУ

1. Ранг системы векторов

Пусть даны векторы

(1)

в пространстве Rⁿ.

Определение. Рангом системы векторов (1) называется максимальное число линейно независимых векторов этой системы.

Пример. Рассмотрим векторы

, , ,

в пространстве R⁴. Каков ранг этой системы? Ясно, что и линейно независимы (например, потому, что они ортогональны). Кроме того, , т.е. и есть линейные комбинации векторов и . Значит, линейно независимая подсистема максимальна, откуда вытекает, что ранг системы равен двум. Однако часто бывает трудно непосредственно обнаружить максимальную линейно независимую подсистему, которую называют базисом данной системы, и тем самым определить ранг. Сейчас мы изучим стандартную процедуру, позволяющую находить ранг любой системы. Она называется методом Гаусса.

Дадим определение ранга матрицы. Пусть дана матрица

.

Горизонтальным рангом матрицы A называется ранг системы ее строк

Вертикальным рангом матрицы называется ранг системы ее столбцов

.

Теорема. Для любой матрицы горизонтальный и вертикальный ранги всегда совпадают.

Их общее значение называется рангом матрицы А и обозначается rank А.

Другое определение (эквивалентное): ранг матрицы равен наивысшей размерности отличного от нуля минора. При этом минором порядка k называется определитель матрицы, расположенной на пересечении произвольных k строк и k столбцов матрицы А.

Перейдем к описанию процедуры вычисления ранга матрицы (а значит и ранга системы векторов, ибо одно непосредственно связано с другим).

2. Приведение матрицы к ступенчатому виду

Ступенчатый вид матрицы указан на картинке:

Белое поле – это нули. Квадратики с густой штриховкой – ненулевые элементы:  . Поле с редкой штриховкой – произвольные элементы (нули или не нули – все равно).

Элемент назовем угловым, если он отличен от нуля, а всюду левее и ниже него все элементы – нули (на рисунке угловые элементы – ).

Ступенчатый вид характеризуется тем, что первые r строк содержат угловые элементы, а остальные строки (если ) – нулевые.

Подчеркнем, что «высота» ступеньки всегда единица, а ширина – произвольна.

Утверждение. Пусть матрица имеет ступенчатый вид. Тогда ее ранг равен числу угловых элементов.

Возникает вопрос: как с помощью преобразований, не меняющих ранга, привести произвольную матрицу к ступенчатому виду и, таким образом, вычислить ранг? Такие преобразования будем называть элементарными:

(1) перестановка строк;

(2) к одной строке прибавляется другая строка, умноженная на число.

Эти преобразования не меняют ранга.

Теорема. С помощью элементарных преобразований (1) и (2) любую матрицу можно привести к ступенчатому виду.

Опишем, как это делается. Будем считать, что первый столбец ненулевой (если это не так, находим первый ненулевой столбец и всю процедуру применяем к той части матрицы, которая располагается правее этого столбца и включает его:

Перестановкой строк (если потребуется) добиваемся, чтобы первый элемент первой строки был отличен от нуля. Итак, не ограничивая общности, считаем, что . Далее с помощью преобразований (2), используя 1-ю строку, добиваемся, чтобы все коэффициенты, расположенные ниже коэффициента а₁₁, оказались нулями. При этом 1-ю строку сохраняем:

А именно: из 2-й строки вычитаем первую, умноженную на . Тогда на месте первого элемента второй строки а₂₁ окажется ноль. Аналогично поступаем с 3-й, 4-й и т.д. строками. В результате ниже а₁₁ получаем нули, т.е. приходим к виду, указанному на рисунке.

Матрица А, расположенная ниже первой строки и левее первого столбца, имеет на одну строку и на один столбец меньше, чем А. Для нее повторяем те же операции. Через конечное число шагов (не превышающее m) приходим к ступенчатому виду. Указанная процедура носит название «прямой ход метода Гаусса».

Пример: вычислить ранг матрицы

.

Элемент а₁₁ равен 1, поэтому первую строку сохраняем. Вторую преобразовываем так: первую умножаем на 2 и вычитаем из второй. Результат записываем во вторую. Это действие запишем коротко так:

,

т.е. вторая строка переходит в разность: вторая минус первая, умноженная на 2. Аналогично

, .

В результате первого шага получаем

.

На втором шаге с помощью второй строки добиваемся нулей ниже элемента :

, .

В результате получаем:

.

Матрица имеет ступенчатый вид. Угловых элементов, а значит, и ступенек, две. Следовательно rank А  2.

3. Решение задач по линейной алгебре

Задача 1. Доказать, что векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из векторов есть линейная комбинация остальных.

Доказательство. . Векторы линейно зависимы, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору:

, . (2)

Пусть для определенности . Тогда в равенство (2) можно разделить на и выразить вектор через остальные векторы:

.

. Пусть для определенности первый вектор есть линейная комбинация остальных:

. (3)

Перенесем все слагаемые в левую часть равенства (3):

.

Получили нетривиальную линейную комбинацию (коэффициент при векторе равен единице), равную нулевому вектору. По определению векторы линейно зависимы. 

Задача 2. Доказать, что система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

Доказательство. Рассмотрим следующую линейную комбинацию заданных векторов:

.

Это нетривиальная линейная комбинация (первый коэффициент равен 1), равная нулевому вектору. 

Задача 3. Доказать, что векторы

линейно зависимы.

Доказательство. Вычислим сумму всех пяти векторов:

.

Нетривиальная линейная комбинация (все коэффициенты равны 1) равна нулевому вектору. 

Задача 4. Доказать, что векторы

образуют базис в Rⁿ.

Доказательство. n векторов образуют базис в линейном пространстве Rⁿ, если они линейно независимы. Составим линейную комбинацию векторов и приравняем ее к нулевому вектору:

. (4)

Вычисляем координаты векторов

.

Равенство (4) в координатах имеет вид

.

Два вектора равны  равны их соответствующие координаты. Приравниваем к нулю все координаты в левой части равенства:

Вычитаем из второго уравнения первое, из третьего – второе, и т.д. Получаем:

Находим: Тогда из первого уравнения получаем .

Итак, из равенства (4) следует, что все коэффициенты линейной комбинации равны нулю  векторы линейно независимы. 

Задача 5. Доказать, что векторы образуют базис в R³ и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. 1. Три вектора образуют базис в пространстве, если они не компланарны. Проверим условие компланарности – равенство нулю смешанного произведения этих векторов.

 векторы некомпланарны и образуют базис в R³.

2. Разложим вектор по базису:

.

Линейная комбинация векторов в правой части равенства имеет координаты

.

Приравниваем координаты вектора и линейной комбинации. Получаем систему 3 уравнений с 3 неизвестными:

Вычитаем из третьего уравнения первое: . Затем складываем первое и второе уравнения и подставляем :

. Теперь можно определить из первого уравнения: .

Итак, координаты вектора в базисе : , , .

Определение. Линейной оболочкой векторов называется множество всевозможных линейных комбинаций этих векторов.

Задача 6. Доказать, что линейная оболочка Е векторов является подпространством.

Доказательство. По определению множество называется подпространством, если:

1) сумма любых двух векторов из Е снова принадлежит Е;

2) произведение любого вектора из Е на скаляр есть вектор из Е.

Проверим условия 1) и 2).

1) Пусть и - линейные комбинации векторов . Тогда их сумма

+=

есть линейная комбинация тех же векторов , т.е. принадлежит множеству Е.

2) Произведение линейной комбинации на число  также является линейной комбинацией векторов :

,

т.е. принадлежит множеству всех линейных комбинаций – линейной оболочке Е.

Итак, по определению линейная оболочка Е векторов является подпространством.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ТЕМЕ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА"

В "свечке", к. 511 Старосты получают на каф. Информатики в к. 414