книги из ГПНТБ / Дракин, И. И. Основы проектирования беспилотных летательных аппаратов с учетом экономической эффективности
.pdfтельно, если угол атаки меньше 2—3°, то индуктивным сопро тивлением можно пренебречь или учесть грубо, например, неко торой долей от сх0 (5— 10%)- Тем более можно пренебречь из менением в полете углов атаки, если эти изменения не превы шают 2—3°.
При сравнительно длительном полете на углах атаки, пре восходящих 3°, следует учитывать индуктивное сопротивление. Баллистический коэффициент индуктивного сопротивления при угле атаки а равен
где схі — коэффициент индуктивного сопротивления; р ■— удель ная нагрузка на крыло в начале полета рассматриваемой ступе
ни ЛА. |
г |
|
hr |
|
Так как |
с х і |
К 1 у |
^ » |
|
|
|
. —— |
|
где k зависит главным образом от числа М и формы крыла в плане, то
°а = k — . |
(1.44) |
р
Значение су для траекторий в вертикальной плоскости (с ко торыми в основном приходится иметь дело в начальной стадии предэскизного проекта) можно представить в форме
И / = -у \пу{\ — (хт) — Р |
sin а], |
(1.45) |
||
где все входящие в формулу величины, |
кроме р, должны соот |
|||
ветствовать одному и тому |
же моменту |
времени. |
Величина |
|
P sin a является нормальной |
составляющей |
тяговооруженности |
здесь Р — текущая тяга двигателя.
В полете длительные значения углов атаки обычно не пре вышают 10°, в этом случае вполне возможно допустить
sin a |
a, |
ошибка при этом будет менее 1%. Даже если кратковременно угол атаки будет достигать 20°, то и тогда ошибка не будет пре вышать 2%. Так как
aCjL
с?,
30
то выражение для сѵ будет
— |
M l - |
- М-т) |
(1.45') |
Я |
|
|
|
1 + |
я |
р |
|
— |
|
|
Поперечная перегрузка может быть выражена через кинема тические параметры
|
|
пу= cos Ѳ-j- |
£ . |
(1-46) |
Значение величины k, входящей в формулу (1.44), можно |
||||
аппроксимировать формулой |
|
(1.47) |
||
Эта формула |
^= 0,08 4-0,23 М. |
|
||
имеет |
приемлемую точность |
при М > 2 и |
||
2>^кр>0,7, г)>3, |
здесь |
Â,Kp — удлинение крыла, |
г) — сужение |
1 |
0 Рис. 1.7. |
іп = го; |
||
—Х= ,75; |
— = |
3; |
||
5—А -1 ,0; |
d |
|
= |
|
—-d3 ; |
||||
3— |
Х*= 1,0: — = |
4; |
?] = ос; |
|
|
|
d |
|
|
4— Х =1,0; —d= 3; г) = 2; |
|||
д—X= 10 |
• d |
3 |
|
, ; |
— = |
|
; |
6—X= 1,5; — = 3; |
= |
||
|
d |
|
|
7— X—2,0; |
— = 4; |
гі= оо. |
|
|
d |
|
|
6 м
крыла по бортовой и концевой хордам. На рис. 1.7 дано сравне ние формулы (1.47) с точными расчетами, произведенными с учетом подсасывающей силы.
Если ожидается существенное значение индуктивного сопро тивления при М<С2, то следует оценить, хотя бы ориентировочно, основные параметры крыла (Лкр, rj), вытекающие из назначения ЛА или из статистики. Тогда более точно можно найти значе ние k по рис. 1. 7 (или в работе [33]).
З і
Значение удельной нагрузки на крыло р в формулах (1.44) и (1.45) может быть оценено по статистике аналогичных по на
значению ЛА (см. также гл. III). |
|
|||
Величина тяги |
Р |
может быть определена из уравнения дина |
||
мики для проекций сил на касательную к траектории |
||||
|
Р = тѴ + |
сх |
|
|
|
х S - ^ - 4 - G s in Ѳ, |
|||
|
|
1 |
|
2 |
отсюда, деля на
Оп
G
■ [Ат
получим
/> = ( l - t s ) ( y + s i n ö ) + ^ . |
(1.48) |
Значение а в этой формуле в первом приближении можно при нять без индуктивного сопротивления.
Влияние второго слагаемого в знаменателе формулы (1.45') на величину сіѴсущественно при полете на больших высотах, где значение q — небольшое. Это соответствует, как правило, поле ту при значительных числах М, при которых
«а , |
k |
V |
(1.49) |
Заметим, что значение сау в приводимых формулах измеряется в 1/рад.
Величина рт в формуле (1.45) является относительным рас ходом топлива к моменту времени, соответствующему величине
Су. Эта величина определяется ориентировочно, исходя из стати стических значений полного относительного расхода топлива, считая расход топлива к данному моменту времени работы дви гателя пропорциональным этому времени. Для пассивного поле та значение рт берется полное.
Наибольшее значение сгя обычно бывает на самых больших высотах полета или в точках траектории с наибольшей попереч ной перегрузкой. Поэтому вначале целесообразно оценить зна
чение о а в этих точках. Если окажется а« <0,1 сто, то значение з* можно вообще не учитывать.
Приведенная методика определения баллистического коэф фициента целесообразна на начальном этапе проектирования, когда размеры ЛА еще не выяснены. При проверочных расчетах определение баллистического коэффициента следует делать с учетом конкретных размеров и форм.
32
5. РАСХОД ТОПЛИВА ОДНОСТУПЕНЧАТОГО ЛА
Методика определения расхода топлива была автором изло жена в работе [24]. В данном разделе эта методика уточнена и введены некоторые упрощения.
При определении расхода топлива для атмосферных ЛА по лагаем, что ускорение земного притяжения на различных высо тах одинаково. Для высот /г< 100 км это допущение приводит к ошибке определения расхода топлива меньше 1%. Для высот /г>100 км ускорение земного притяжения может изменяться с высотой более существенно, но в этих случаях можно прене бречь влиянием аэродинамического сопротивления.
Потребный вес топлива для маршевого полета обычно опре деляется режимами полета с небольшими углами атаки (меньше 10°), поэтому для определения расхода топлива тягу двигате ля Р можно допустить равной ее проекции на касательную к тра ектории (ошибка при этом меньше 1,5%). Так как средний угол между направлением тяги и направлением полета обычно не пре вышает 6°, то указанное допущение поведет к ошибке определе ния расхода топлива, не превосходящей 0,5%.
С учетом сделанных допущений уравнение движения для проекций на касательную к траектории будет
т ^ —= Р — X — G sin 6, |
(1.50) |
dt
где т — масса ЛА в полете; t — текущее время; Р — тяга дви гателей; X — сила лобового сопротивления; G — текущий вес; 0 — угол наклона траектории в исследуемой точке к горизонту.
Выражая тягу двигателя через секундный расход топлива и удельный импульс I и учитывая, что секундный расход пропор
ционален величине т, получим
, dm
(1-51)
где g — ускорение земного притяжения.
Подставляя это выражение для тяги в уравнение (1.50) и интегрируя его, получим
LVo о о
где т 0 и тк — начальная и конечная массы ЛА; |
Ѵ0 и Ѵк — на |
чальная и конечные скорости; т — полное время |
полета. |
2 |
3125 |
33 |
Обозначим
1 * т Г |
Vo gl |
|
|
(1.52) |
|
J |
|
|
|
|
sin Ѳdt, |
, |
(1.53) |
|
т Л" |
------- |
|
||
/ |
|
|
(1.54) |
|
**т. |
, -GI |
|
|
|
|
p - d t , |
(1.55) |
||
|
)mK |
mT ) |
щщ
где т т— масса топлива и расходуемых в полете рабочих тел (в системе подачи топлива). Относительная масса топлива и рас
ходуемых рабочих тел, потребная для полета, будет |
(1.56) |
|||
ат= |
1— е |
. |
||
Значения величин рт |
ѵ, |
рт/і и ртж являются не только условными |
||
|
обозначениями выражений (1.52), (1.53) и (1.54), но имеют и
определенные физические значения: |
|
||
Рт |
V |
— относительная масса топлива, необходимая для |
раз |
гона Л А, в случае G = G0= const; . |
|
||
Ртд — относительная масса топлива, необходимая для набора |
|||
высоты, в случае G = G0 = const; |
аэро |
||
ртж — масса топлива, необходимая для преодоления |
динамического сопротивления, отнесенная к средней (неизвест ной) массе.
Естественно, что под величинами рт, рт у, рт/і и ртх можно подразумевать и относительные веса; это вопрос удобства прак тических расчетов.
Значение удельного импульса / в формулах (1.52), (1.53) и (1.54) должно в общем случае браться с учетом расхода рабо чих тел, причем в результате по формуле (1.56) должен полу чаться относительный вес суммы весов топлива и расходуемых в активном полете рабочих тел. Практически, в особенности на начальном этапе предэскизного .проектирования, влиянием рас ходуемых рабочих тел на относительный вес топлива, потребный для полета, можно пренебречь, так как это влияние очень мало.
Например, в ракете Ѵ-2 вес расходуемого рабочего тела (перекись водорода) составлял 2% от веса топлива [54]. Пусть относительный расход топлива без учета этого рабочего тела будет рт1. С учетом необходимого расхода рабочего тела (2% от веса топлива) суммарный относительный расход топлива и рабочего тела будет 1,02 рт t.
34
|
При учете расхода рабочего тела в формуле |
(1.56) получим |
/ 2 |
= / /1,02 и, следовательно, |
[i7l)i.°2. |
1 |
||
|
{аі2= 1 — е - 1-02(^гкі+^-лі+1Ѵ і) = 1_ (1 _ |
Разлагая в степенной ряд выражение
получим
^ = 1 ,0 2 ^ - 0 ,0 1 0 2 ^ .
Таким образом, ошибка от неучета в формуле (1.56) расходарабочего тела получается
. д = 0,0102^.
Так как рті-<1, то ошибка будет менее 1%, например, при рті = = 0,5 ошибка будет 0,25%.
Современные системы подачи топлива более экономичны, и поэтому ошибка от неучета расхода рабочего тела будет меньше.
Формула (1.56) удобна для некоторых теоретических выво дов и при определении величины рт с помощью последователь ного численного интегрирования. Однако при прямом расчете вызывает затруднение определение величины рт ж, так как в фор мулу (1.54) входит переменный полетный вес, зависящий от те кущего общего расхода топлива. В связи с этим найдем более удобное для расчета выражение для рт.
Уравнение (1.50) с учетом выражения (1.51) можно пред
ставить в виде |
+ |
а т + |
|
р = |
0, |
~ |
|
||||
dt |
1 |
1 |
|
|
|
где |
|
|
|
||
а = |
dl |
d V |
. |
I |
|
dt |
|||||
-----------1 |
|
sin |
Ѳ, |
||
|
'J = J L |
|
|
|
|
|
' |
g J |
|
' |
|
Линейные уравнения первого порядка решаются подстановкой
/
“ I ctdt
m = ze ö
при этом получаем
X |
t |
2 * |
35 |
Учитывая приведенные значения а и ß, а также выражения (1.52) и (1. 53), получим
т„--
где px Vt И PT ht полета t.
Обозначим
где
-(iSy+Pfft) тп |
(^TVt+V'sht 1 gl |
dt |
|
2L- |
|
значения рт ѵ и ртл, соответствующие времени
Н і^ ѵ+і^ л^ |
|
|
(1.57) |
||
ф=:е |
|
ѵк |
dV |
|
|
|
9т |
— \ |
> |
(1.58) |
|
— vt |
f |
—— |
|
|
|
е ’ |
|
|
|||
9г |
|
г sinj Ѳ ,, |
(1.59) |
||
ht |
j |
dt, |
|||
|
|
|
тогда после небольших преобразований из полученного выраже ния для тк получим
a |
— |
m°щ Мк |
— 1 |
e^rv+v-rh |
Т |
G0l |
|
||
|
|
|
|
>_j_ P |
|
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
,) |
|
|
|
9T~ 1— |
e ^ v + v - th |
> |
0 |
|
(1.60) |
|||
где |
|
|
о |
;xTa, |
|
||||
Здесь рта — относительный |
|
|
|
(1.61) |
|||||
вес топлива, идущий |
на преодоле |
ние аэродинамического сопротивления с учетом уменьшения ве са топлива на набор скорости и высоты, вызванного уменьшени ем полетного веса расходом топлива на преодоление аэродина мического сопротивления.
Если известна траектория движения |
ѵи скорости полета (см. |
|||||||
разд. 2 и 3), то можно аналитически или графически по форму |
||||||||
лам |
(1.52) и (1.53) |
найти значения рт |
|
и рт и- Так как |
||||
|
|
|
|
X |
cx S |
QV2 |
|
|
|
|
|
|
-----= — ----- -— = з<7, |
|
|||
где |
a |
|
|
Go |
G0 |
2 |
q |
— скоростной 'напор, |
|
— баллистический |
коэффициент; |
|
|||||
то, |
зная значение |
о |
по траектории (см. разд. 4), можно найти |
|||||
|
по формулам (1.57), (1.58), (1.59) и (1.61) значение рта, а за тем по формуле (1.60) величину рт.
36
Формулы (1. 56) и (1.60) могут быть применены как для пол ностью активного полета, так и при наличии пассивного участка полета. Это имеет существенное значение. Дело в том, что в на чале проектировочного энергетического расчета часто не извест на необходимость пассивного участка полета и, во всяком слу чае, не известно время активного полета.
По формулам (1.56) и (1.60) определяется расход топлива, запас же топлива должен быть несколько больше, чтобы ком пенсировать нерасходуемые остатки жидкого топлива или неэф фективно сгораемое или выбрасываемое из сопла в конце рабо ты двигателя твердое топливо. Остатки жидкого топлива могут составлять 1—5%, а не использованное твердое топливо около 5% от эффективно расходуемого топлива [3, 57]; нижнее значение для жидкого топлива соответствует большим ЛА с более совер шенной системой забора топлива, верхнее значение соответству ет малым ЛА с упрощенной системой забора топлива. В целях удобства расчета не используемое для создания реактивной си лы топливо может быть включено в вес конструкции, пропорцио нальный весу топлива, т. е. в величину а, см. разд. 1.
5.1. Приближенное определение расхода топлива
Практическое определение величины цт целесообразно делать путем разбиения всей траектории полета на п участков, при нимая на каждом участке движение прямолинейным с постоян ным удельным импульсом. Тогда интегралы в выражениях (1.52), (1.53), (1.58), (1.59) и (1.61) можно приближенно представить в виде конечных сумм:
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
V j - V j - I |
|
|
(1.62) |
|||
|
|
|
|
|
|
V |
■ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.?Ар і |
|
|
|||||
Р-Т h ' |
|
|
|
-Г |
|
|
|
|
|
А hi |
|
(1.63) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
V ср ; / с р і |
|
|||||||
.. ѵі |
~ |
|
ш ш і |
V |
j - V j |
- 1 |
, |
V t - V |
epl |
’ |
(1.64) |
|||||
|
glcpj |
|||||||||||||||
Р'Ф |
|
j |
7 |
, |
|
, |
± |
. |
|
г |
. |
|
||||
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
gApi |
|
|
||||
14fti - |
|
|
|
= i + l |
И/ . |
|
|
I |
1 |
sin В,- |
|
|
|
|||
|
j |
“ |
|
/ +1 |
sin |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
'cp ; |
|
|
|
2 |
Ар і |
|
|
(1.65) |
||||
|
|
|
|
А |
hi |
|
|
|
1 |
Аhl |
|
|
||||
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
^ ср /А р / |
|
|
|
2 |
Vcp ; / cp I |
|
|
|||||
|
у =/+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37
|
п |
' |
° c p i^ c p ( A ^ ' = ~ |
п |
“ T “ J cp і'бср і^ с р / Д ^ і - |
а |
“ |
>НМ |
|||
|
|
-'cpi' |
- |
'с[м' |
|
|
|
|
|
|
( 1. 66) |
При выводе формулы (1.63) учтено, что
sin Ѳ, |
Д hi |
А hi |
ДД/ |
Ѵср і'Дб' |
(см. также рис. 1.8). При выводе формул (1.64) и (1.65) учте но, что суммирование должно начинаться от середины г-го уча-
Рис, 1.8.
стка, при этом необходимо отметить, что индекс / является ин-- дексом суммирования, а индекс і — номером участка траектории. Для формул (1.66) учтена зависимость (1.41).
Значения % и Ѵсѵ, определяются по формулам
сѵ1 |
(^Фиг+^фл;) |
(1.67) |
Фі=Ѵе" |
( 1. 68) |
|
|
ALj_ |
|
Ati
Величину qCVi можно определять как среднее арифметическое значение, т. е.
<7ср і : Яі + Чі- 1
где
?/-і=
здесь Qi и Fi соответствуют концу і-го участка (см. рис. 1.8).
38
|
|
І*і и |
^ |
А^т ѵ і , |
|
(1.62') |
|
|
|
П |
|
|
|
||
|
|
(Кпft |
1 |
Д^ТЙІ’ |
|
(1.63') |
|
|
|
1 |
|
||||
|
Wi — |
1+ 1 |
Д!хт |
■ ДН-. |
|
(1.64') |
|
|
|
|
П |
|
|
|
(1.65') |
|
1*фй/ — i+i |
AtK ft; 4" — Д|*т hi > |
|||||
|
ДИт |
ѵг |
V j - V j - i |
|
|
||
|
|
glcVi |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
hi — h i~ 1 |
|
|
|||
Для |
АНТHi'- |
приведенные |
формулы |
(1.62) — |
|||
табличного расчета |
|||||||
(1.65) |
удобнее представить |
б следующем |
виде: |
|
где
ІД р Дер i
В некоторых случаях для упрощения вычислений целесооб разней находить величину рта с помощью графического построе ния величины
JiL
іі
по времени и графического нахождения интегральной величи ны Цт д.
В случае наличия пассивного участка полета может вызвать недоумение величина удельного импульса при пассивном поле те. При пассивном полете набор высоты и преодоление аэроди намического сопротивления происходит за счет уменьшения ки нетической энергии ЛА. Как следует из уравнения (1.50) при
Р = |
О, |
- g |
G n |
gin |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^4—[— |
^ |
|
%dt = |
|
Деля на любое значение удельного импульса и интегрируя, по лучим
1*;“ +і*™ с+
Нетрудно заметить, что если взять любое значение удельного импульса, ошибки в определении рт не получится. Практически удобно применять те значения /, которые будут соответствовать высоте полета ЛА, т. е. определять / как для активного полета.
39