книги из ГПНТБ / Дракин, И. И. Основы проектирования беспилотных летательных аппаратов с учетом экономической эффективности
.pdfПредставление траектории в виде алгебраической функции позволяет при вычислениях ограничиться малым количеством рассчитываемых точек траектории (4—6). При выражении тра ектории комплексом координат ее точек необходимо иметь малые расстояния между точками, так как в процессе определения аэро динамических характеристик необходимо определять первую (dhjclx) и вторую (d2hjdx2) производные координат. Это требует значительного увеличения количества рассчитываемых точек. Малое количество параметров и малое количество расчетных то чек весьма существенно уменьшают объем расчетной работы при оптимизации траектории параметрическим методом.
Если принять один варьируемый параметр, то для определе ния оптимальной траектории следует определить расход топли ва для 4 траекторий. В случае принятия в уравнении (4. 2) двух варьируемых параметров, придется определить расход топлива уже для 16 траекторий. Как видим, объем расчетов увеличи вается в 4 раза.
Возможно сократить объем расчетной работы, используя ме тод последовательной оптимизации. Сущность этого метода за ключается в следующем. Вначале производят оптимизацию тра ектории, исходя из одного варьируемого параметра. Полученная при этом траектория будет являться первым приближением к точной оптимальной траектории. В ряде случаев эту траекторию можно использовать для целей проектирования.
После оптимизации первого приближения можно полагать, что точная оптимальная траектория находится вблизи оптималь ной траектории первого приближения. Поэтому для траектории
в вертикальной плоскости высоту |
h% |
при втором |
приближении |
||||
можно представить в виде /?2 — |
|
|
(4.3) |
||||
где |
hi |
|
|
из расчета первогоприближения |
|||
— высота, полученнаяі |
|||||||
|
|
|
=т |
|
|
(4.4) |
|
|
|
|
/ii = fLo+'^7Ux‘ + t1x?,+1. |
||||
Величина |
Ah |
<=і |
|
|
параметра |2, |
||
|
является функцией координаты х и |
||||||
|
|
|
Ah= |
ср(£2, |
л-), |
(4.5) |
|
|
|
|
|
|
удовлетворяющая граничным условиям и в частности при началь
ном и конечном значениях |
х |
|
=0. |
(4.6) |
|
хк) |
|||
Д/г0 = <р(І , 0) =0, ДЛК= ф(|2, |
|
|||
2 |
|
|
|
|
Дальнейшая задача состоит в подборе подходящей функции для Ah, удовлетворяющей условиям (4. 6) и позволяющей воз можно в большей степени учесть факторы, влияющие на опти-
150
мальность траектории. Одной из таких функций хможет являться функция
где |
s> m \ |
Л/г = 53 (лгк ■— x)sx , |
(4.7) |
|
увеличение s понижает перегрузки |
в конце полета, |
т соответствует (4. 4). Эта функция учитывает тот факт, что для уменьшения расхода топлива, идущего на преодоление аэроди намического сопротивления, следует возможно быстрее перехо дить на большие высоты полета, т. е. делать более крутой старт. Конечно, при этом возникает и отрицательный фактор — увели чение поперечных перегрузок, что приводит к возрастанию ин дуктивного сопротивления. Функция (4. 7) мала по величине в. конце полета, где оптимальная форма траектории в достаточной степени определяется в результате первой оптимизации или соот ветствующими ограничениями по перегрузкам.
Возможны для величины Ah и другие функции, например,
р |
Л/г = £2(хк- х ) ( 1 - е _ ^ ) . |
(4.8) |
||
От величины |
зависит положение |
Ahmax, |
например, при р=10„ |
|
|
величина ЛЛтах будет при х/хк«0,22.
1.1. Пример определения оптимальной траектории
Для иллюстрации оптимизации траектории параметрическим методом приводим пример расчета в сокращенном виде. В ка честве исходных данных принимаем следующие произвольные значения: х = 0, хк = 50 км, А0= 0, /гк = 25 км; Ѵо=600 м/с, Ѵк= = 800 м/с, т= 80 с, ао=10“ 4 м2/кгс, /ср=>240, ограничений на тра екторию, кроме указанных не накладывается.
Так как траектория ограничена только положением началь ной и конечной точек полета, то для оптимизации первого при
ближения, учитывая, |
что вследствие того, что /г0= 0, значение |
|
Хг= 0, уравнение (4.2) |
принимает вид |
|
где / 1 |
|
h = y„iXJr ’iI*2, |
— определяется из заданных условий в конце траектории |
||
(хк = |
50 км, /гк= 2 5 км), |
ул = 0,5 — 50ф.
Следовательно,
h = (0,5 — 50ф) х ф- фх2,
здесь значение х и h в км.
Задаемся значениями h: 0, —0,01, —0,02, —0,03. Кривые, со ответствующие получающимся при этом уравнениям, приведены на рис. 4. 2. Пользуясь методами определения расхода топлива, закона изменения скоростей и аэродинамического сопротивле
151
ния,.изложенными в гл. 1, найдены относительные веса топлива при полете по каждой траектории с указанными значениями На рис. 4. 3 приведен график зависимости относительного веса
топлива рт от величины параметра |
кривая |
А. |
При определе |
|
нии рт учитывались следующие кинематические факторы: сред няя скорость, которая различна для различных траекторий; угол наклона траекторий в различных точках; нормальные ускорения в различных точках, ведущие к индук-
Как видно из графика на рис. 4.3, оптимальная траектория соответствует | 4= —0,015, при этом значение рт достигает ми нимального значения. Уравнение этой траектории
А = 1,25л:— 0,015л2.
По сравнению с прямолинейной траекторией, при полете по оп тимальной траектории расход топлива на 13% меньше.
Переходим к последующей оптимизации траектории. Учиты вая, что в найденном уравнении траектории величина т = 1, при нимаем в выражении (4. 7) s = 3; некоторое увеличение s по срав нению с (т + 1) сделано в целях предотвращения роста перегру зок в конце полета. Тогда
ДЛ = $2(50 — x f x .
Уравнение семейства кривых, среди которых будем искать опти мальную траекторию последующего приближения будет
h = 1,25х — 0,015л2-|-^2 (50 — х)3х.
Задаемся значениями £2 в интервале 0—16-10—6. Заметим, что £г = 0 соответствует найденному выше уравнению оптимальной траектории первого приближения. Для новых траекторий опре-
152
деляем относительный вес топлива и затем находим графически значение £2, соответствующее минимуму [іт-
Зависимость величины рт от |г приведена на рис. 4.3, см. кри вую В. Как видно из графика, оптимальное значение
|
|
L n„T= 6 , 5 ■ ІО -6, |
|
|
|
h.KM |
|
|
|||||
при этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
е = = Г — |
- |
||
|
|
IK min = |
0,424. |
|
|
|
|
|
|
||||
Эта |
величина |
на |
|
4% |
меньше |
20 |
L |
|
|||||
|
Ю |
|
|
||||||||||
значения |
рт, |
полученного |
в |
|
I |
|
|||||||
результате |
оптимизации |
пер |
|
|
|
||||||||
вого приближения. |
|
|
|
|
|
|
10 20 30 U0 |
50 Х,КМ |
|||||
А |
На рис. 4.4 приведены опти |
|
|
|
|||||||||
мальные траектории: |
кривая |
|
|
|
|||||||||
|
— траектория первого |
при |
|
Рис. 4. 4. |
|
||||||||
ближения, кривая |
В |
— траекто |
|
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
рия |
второго |
приближения. |
|
|
|
||||||||
Дальнейшее |
уточнение оптимизации не имеет смысла, так как |
||||||||||||
возможная/ , |
экономия топлива будет меньше возможных ошибок |
||||||||||||
к |
величине рт, вызванных |
неточностями исходных данных (оо, |
|||||||||||
|
Т, |
Q и др). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. ОПТИМАЛЬНАЯ КОНЕЧНАЯ СКОРОСТЬ МАНЕВРЕННЫХ БЛА
Для маневренных БЛА располагаемые перегрузки на боль ших высотах в конце полета, где обычно требуется более значи тельный маневр, лимитируются конечной скоростью и удельной нагрузкой на крыло. Действительно,
где /ѵ |
|
‘■Ук' |
су |
йѴІ |
|
|
|||
а к |
Рк |
|
||
|
■ удельная нагрузка на крыло в конце полета; |
предполагается, что значение су обеспечивается максимально возможное.
Из приведенного выражения для пук следует, что, обеспечи вая получение заданной перегрузки, необходимо одновременно с определением конечной скорости определять и удельную на грузку на крыло.
Увеличение конечной скорости полета ведет к увеличению расхода топлива [см., например, формулы (1.62), (1.69)], сле довательно, при этом увеличивается и полетный вес. Однако при увеличении конечной скорости уменьшается потребная площадь крыльев, что ведет к уменьшению их веса и аэродинамического сопротивления во всем полете, а следовательно, к уменьшению пблетного веса. Очевидно, в каждом случае существует опти
153
малыше значение конечной скорости, при котором полетный вес будет минимальным.
•Варьируя конечную скорость полета, предполагается, что как схема всего БЛА, так и его агрегатов и, в частности, крыльев и двигательной установки, остаются неизменными. Оптимизацию конечной скорости проводим вначале на базе весового крите рия — GoПоэтому условием оптимальности Ск будет
- ^ - = 0 . |
(4.9) |
dVк
Для многоступенчатого БЛА под весом G0 в данном случае следует понимать вес последней маневрирующей на высоте сту пени. Действительно, согласно формуле (1.2), вес предшествую щих ступеней будет практически пропорционален весу послед ней ступени, поэтому вполне возможно оптимизировать величи ну Ѵк по весу последней ступени.
Учитывая, что в данном случае G0 зависит как от ркр, так и
от рт, то |
ÖGQ |
d\L |
Ö G Q |
d V K |
||
dGg |
âu.l: |
p |
кр |
Ф-Г |
||
d V K |
|
d V K |
|
|
d[XT |
|
Из формулы (1.1) следует |
|
|
|
|||
10дО |
|
|
|
|
|
Go1 ) |
Од |
[1—(Ак+ш)]2 |
I |
(fXK-f[AT) |
|||
о |
|
О „я |
|
°°('+ |
||
или учитывая, что |
|
(‘ +ѣ) |
||||
<?!Х |
[1—0*к+М-т)]2 |
|
1—0%+ш) |
|||
то |
dGp _ |
|
<Ѵг |
адв) |
|
|
GQ(1 + |
|
|||||
Следовательно, |
дщ |
|
. 1— (ftc + щ) |
|||
^Н-кр |
|
(1 |
d\ |
0. |
||
|
|
|
лт |
|||
|
lv~K |
|
|
dv7 |
|
|
|
|
|
|
|
Сопоставляя это уравнение с уравнением (3. 11), а также с выражением (3. 10), нетрудно видеть, что полученное уравне ние можно применить для оптимизации Ѵк и при экономическом
154
критерии, заменив величину (1+адв) на величину у- Таким об разом, более общий вид уравнения оптимизации будет
d V |
|
È ^ L .^ 0 . |
(4.10) |
к |
_i_ y d V K |
||
|
^ |
|
Это уравнение кладем в основу оптимизации Ѵк.
Основной весовой характеристикой крыла является его удель ный вес
кр |
*-Ц<р |
|
|
«к > |
g |
}<,,= |
|
при определении конечной скорости полета можно принять |
|
= const, определяя эту величину по статистике аналогичных БЛА или рассчитывая по статистическим формулам для статистиче ского значения удельной нагрузки на крыло. Относительный вес крыла
где |
^кр |
|
S'KP'SK |
|
|
||
|
|
Р |
|
£о_ |
|
|
|
Первый член в уравнении |
(4.10) |
|
S |
|
|
||
|
|
|
|
||||
^Цкр _ |
Дкр^к |
/ |
др |
, |
др |
ф т \ |
j j , |
dV K |
р2 |
І(Ж К ^ |
ф т |
дѴк У |
|
||
|
|
|
|
Здесь принято ÄK = const, что для данных целей допустимо. За висимость удельной нагрузки на крыло от конечной скорости можно представить в виде
|
|
|
|
|
1 |
еу |
ліОіФк |
|
|
|
|
(4. 12) |
||||
|
Сум |
|
|
|
2 |
пум(\ |
— іат) |
|
|
сѵ |
|
|||||
где |
|
— максимально допустимое |
|
значение |
|
|
при |
маневре; |
||||||||
пум |
|
перегрузка, потребная |
БЛА при |
маневре |
||||||||||||
|
— максимальная |
|||||||||||||||
на максимальной высоте полета. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Дифференцируя выражение (4. 12), получаем |
|
|
|||||||||||||
|
|
др |
__ |
2 р |
|
др |
|
___ |
р |
|
|
|
|
(4. 13) |
||
|
|
дѴк |
Ѵк |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
~~ |
’ |
”ф 7 |
|
_ |
|
1 — (і..г ’ |
|
а затем |
в (4. 10), |
||||
подставляя эти значения в выражение |
(4. 11), |
|||||||||||||||
находим |
<§кр5к |
|
du. |
г |
|
|
|
,?кр^к |
|
|
|
(4. 14) |
||||
|
|
|
|
dVy |
|
|
|
рѴ |
к |
= |
0. |
|
||||
|
|
V — Д (1 |
Дг) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
155
Величину производной, входящей в это уравнение, определя ем приближенно на основе формулы (1.60). Заметим, что вхо дящие в эту производную величину пуМ, суМ, g Kp имеют сравни тельно небольшую точность определения, а они являются основными для точности определения величины производной. Так величина пуМ зависит от ряда факторов трудноподдающихся учету: маневра цели, ракурса встречи с целью, скорости цели, инерционности тракта управления, допустимых ошибок наведе ния и др. Величина суМ в значительной степени зависит от схе мы БЛА, от схемы аэродинамического управления, от устойчи вости; она зависит также от срывных характеристик, от вибра ционных и жесткостных характеристик БЛА и др. О точности оценки потребной величины пуМ и реально реализуемой в поле те величины Сум трудно говорить, во всяком случае ошибка при их оценке может превышать 10%.
Учитывая замечание о точности, входящих в производную d^T/dVK величин, определение ее делаем с помощью осреднения некоторых переменных величин. Это позволяет получить в конеч
ном счете сравнительно |
ипростую расчетную формулу для опти |
||||||
мального значения конечной скорости. |
Ѵ1Ь |
|
|||||
Так как величина цт |
в формуле |
(1. 60) не зависит от |
то |
||||
можно написать |
(1[J.T |
r)u .T |
cLixTy |
^ j ^ |
0\)-т |
|
|
|
d V K |
< W |
dV к |
фхта dV K |
|
|
по формуле (1. 60)
А*-т ^ (Б ц +Б/г)—(1 — Бг+ ІБаХ ФгП
Ф*т __-[ Э/J-Ta
Принимая постоянное значение /, равное /ср, согласно формуле (1.62) или (1.69),
флтК |
1 |
dV K |
g l ci> |
следовательно, |
[).т |
Цта |
I |
d\x |
та |
/ а |
-j |
dФ*т 1 |
g l cv |
|
|
||||
V K ~ |
|
^ |
d V K |
|
|
Для определения величины d[iTaldVK принимаем в формуле (1.66) значение п ~ 1, причем эту формулу представляем в виде
^ = 4 " |
асРеср^срА. |
(4.16) |
Замена интегрального выражения через произведение средних величин не приведет к существенной ошибке, если величина стср
156
будет определена правильно, т. е. будет найдено ее среднеинте гральное значение. Расчет по окончательной формуле для Ѵи показывает, что ошибка в значении аср на 10% приводит к ошиб ке в определении Ѵк приблизительно 2%. Обеспечение осредне ния величин а с ошибкой не превышающей существенно 10% не представляет трудностей.
Так как при изменении Ѵк при заданных /ср, L и Ѵср в фор муле (4. 16) изменяются только ф и сгСр, то
^,а та |
dtXjQ |
dVк |
<Л |
d<\> dVK
1 <%Ta rf° cP daCp dVK
Согласно формул (4. 16) |
, |
(1. 67) и (1.71) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М-та |
’ |
|
dii |
|
4* |
^Vra |
Hra |
|
|
|
|
|
4 |
|
d V K |
|
g l c p ’ |
dacp |
°cp |
|
||
поэтому выражениеd p(4. 17) можно представить в виде |
||||||||||||
|
|
|
d vта |
|
|
/ |
1 |
rfgcP _______ 1 _ 1 |
(4. 18) |
|||
|
|
|
к |
|
|
^iaUcp |
d V K |
g |
l j |
' |
||
|
Значение о0р можно представить в следующем виде |
|||||||||||
где |
|
|
а ср |
|
с х к.ср^к |
За I |
Зш, |
|
сопротивления |
|||
сх |
|
|
|
р |
|
|||||||
|
к. ср — коэффициент |
аэродинамического |
||||||||||
консолей |
крыльев при |
|
а = 0, |
отнесенный |
к |
площади консолей, |
||||||
оа |
— баллистический коэффициент индуктивного сопротивления, |
|||||||||||
зт |
— баллистический |
коэффициент всех |
частей |
БЛА, кроме |
||||||||
крыльев. |
небольшого удельного |
веса |
общего индуктивного со |
|||||||||
|
Ввиду |
противления во всем полете, по сравнению с полным аэродина мическим сопротивлением для маневренных БЛА, значение за определяем приближенно по средним кинематическим парамет рам для всего полета, по формуле (1. 44)
здесь по формулам |
3“= Ѵ ^ с |
J P ’ |
|
|
(1. 45) и (1. 46) |
|
ѵ ср ѳк — 0ѳ |
||
Су |
р |
|
||
<7ср ( 1 - T ' l*, ) ( cos |
+ |
|||
ср |
Величина цт берется ориентировочно по статистике или на ос нове первоначальных оценок. Значения величин ßK, Ѳк и Ѳ0 при ведены на рис. 1.1. Величину qcp лучше определять по формуле
|
|
п |
*7сР |
<7имп |
(4. 19) |
т |
157
В целях удобства вычислений, обозначим |
|
(4. 20) |
|||||
■ п«=(і |
1 ^ W c\ |
o sß ■, |
■' |
Кср Ѳк- Ѳ° |
|||
2 |
‘ 1/ |
|
|
Ѵк, |
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
||
тогда, учитывая независимость 0Шот |
^ср^а \ |
|
|
||||
d a cp |
|
с х |
к.ср^к |
|
|
d p |
|
d Ѵ к |
|
|
|
|
1cp |
d V K |
|
|
|
|
|
|
|
|
где с помощью формул (4. 13) находим
d p
d V K
,/
\I
2 |
I |
1__ |
c/u- r \ |
' |
Ѵ к |
I |
[аг |
dV K ) |
|
|
1 - |
(ХТ |
|
Подставляем найденные величины в выражение (4. 18):
та |
Гта |
1 |
1 |
2р |
1 |
с х к.ср^к |
^ср7! |
d V к |
g l с р |
1 Ѵ>ср |
\ |
Р 2 |
“ ср |
||
|
|
|
|
|
|
п ‘1 |
|
|
М-таР |
1 |
С Х К.Ср^К |
^Ср^ія |
\ d\xT |
||
|
°ср (1 |
М-т) |
V |
|
|
|
J d V K |
|
|
|
|
|
|
|
С учетом этого выражения разрешаем уравнение (4. 15) от носительно dpr/dVK
1 -- (JLT 2 р \ 1 c x K.cp^K ^cp^a
d\j.j |
gl*cp |
IV , |
cp |
* cp |
||
d V K |
1+ |
|
^та |
P |
c x к.ср^к |
^cp^a \ |
|
acp |
|||||
|
|
*cp |
||||
|
|
|
|
|
|
(1 ^T)
Подставляем это выражение в уравнение (4. 14) и освобождаем ся от знаменателя
£'кр^к |
|
g l ср |
2 р [ і |
,та |
I с х |
К.ср^к |
ч,ср |
|
|
|
|
1 -- LLT |
|
^ср'Ча |
|||
Р (1 |
^т) |
Н-таР |
^к°срс х к.ср^кп2 |
|
||||
2^кр*^К |
|
1 |
°ср (1 |
Нт) |
|
|
^cp7)** |
- 0. |
рУк |
|
|
|
|
ср |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Сделаем некоторые упрощения в последнем выражении. Во-первых, обращаем внимание на то, что два члена, содержа щие в знаменателе величину р2, после раскрытия скобок взаим но уничтожаются. Далее, два члена, содержащие комплекс
Лкр-С Ср^а
1
‘ ср
158
также уничтожаются. Следовательно, после раскрытия скобок и умножения на рѴк получим
Ѵ О — Дг) , . |
£k-pSK |
, |
r |
к.ср^к^та |
|
glcp |
P V |
к------ 7— |
Ѵ к |
иср |
|
|
|
tf'cp |
|
|
|
■ ^cp^aY^ra
Р2- 2^кр5к = 0.
аср?ср
Подставляем в это выражение значение величины р по фор муле (4. 12) и разрешаем получающееся уравнение относитель но 1/к3
V , |
4^/ср5кяг/дгЛгкр |
Ѵс-г К.ср |
р.та |
2 |
X |
|
|
K |
|
£кр |
°ср |
(4.21) |
|
|
C^AIQ Y |
__________ 1____________ |
|
|
||
|
X |
(Д |
|
ffcp |
|
|
|
|
п У М Я Ср |
|
|
Это окончательная формула для определения оптимальной ко нечной скорости. Следует заметить, что последний множитель за квадратными скобками, характеризующий влияние на Ѵк индук тивного сопротивления, во многих случаях близок к единице и поэтому его можно не вычислять, а принять равным единице. В качестве примера, применительно к траекториям, приведенным на рис. 4. 2, значения этого множителя приведены в табл. 4.1.
|
|
а |
|
—0 , 0 1 |
Т а б л и ц а |
4. 1 |
|
|
0 |
- 0,02 |
— 0,03 |
||
|
+ |
1 |
0,96 |
|
0,967 |
0,786 |
1 |
аті* |
1 , 0 0 0 |
||||
( 1 |
+ |
) |
0,987 |
1 , 0 0 0 |
0,989 |
0,923 |
|
|
^с[.Гг/Л10к.С^ср |
Цт а |
|
|
|
Ѵ — ІН)2ПумЯІр асР
Как видно из табл. 4.1 и формулы (4.2), пренебрежение влиянием на величину Ѵк индуктивного сопротивления (т]сс=0) для первых трех траекторий ведет к ошибке в определении Ѵк меньше 1,5%. Лишь в последней траектории эта ошибка доходит
159