книги из ГПНТБ / Дракин, И. И. Основы проектирования беспилотных летательных аппаратов с учетом экономической эффективности

с учетом этих функций и восприятия сил от несущих поверхно­ стей и соседних частей. Так, например, вес РДТТ определяется в основном внутренним давлением. Формула (5. 56) в этом слу­ чае полностью применима, причем второй член правой части составляет преобладающее значение, в особенности для больших двигателей. Аналогичная картина для баков высокого давления. В баках низкого давления существенное значение на вес оказы­ вают: обеспечение герметичности швов, отсеки отрицательных перегрузок, изгибающие моменты от несущих поверхностей, кре­ пежные элементы, топливозаборники. Формула (5.56) здесь вполне применима, но значительную часть начинает составлять первый член правой части.

Для частей корпуса, в которых размещается полезная нагруз­ ка и оборудование двигательной установки, значительную часть составляют крепежные элементы, вес которых пропорционален коэффициенту безопасности. Однако большое количество техно­ логических и эксплуатационных элементов ведет к существенной величине А в формуле (5.56).

Формулу (5. 56) следует рассматривать как первое прибли­ жение, хотя и достаточно точное для рассматриваемой пробле­ мы. Более точный анализ веса различных конструкций может повести к целесообразности введения в некоторых случаях до­ полнительных членов с дробными степенями f.

Для установления связи между коэффициентом безопасности f и надежностью конструкции R большое значение имеют зако­ ны рассеивания эксплуатационных нагрузок и несущей способ­ ности конструкции. Эти законы могут быть различны, но в ряде случаев может иметь место нормальный закон распределения плотности вероятности нагрузок и несущей способности. В даль­ нейшем изложении принимаем нормальный закон. Ниже будет показано, что любой практически возможный закон рассеивания в области его изменения, определяющей надежность конструк­ ций, можно с приемлемой точностью свести к нормальному за­ кону.

Понятие коэффициента безопасности в стохастическом смыс­ ле неопределенно. Дело в том, что коэффициент безопасности рассматривается как отношение расчетной нагрузки к макси­ мальной эксплуатационной нагрузке, Обе эти величины в стоха­ стическом смысле неопределенны, так как вследствие рассеива­ ния возможны с некоторой вероятностью нагрузки больше любой принятой, а несущая способность может быть меньше любой принятой. Для иллюстративных целей воспользуемся широко принятыми в технике значениями для практически возможных максимальных и минимальных случайных величин:

ЛАта х = ^ ( Л д + Заэ,

N Hmln= M ( N a) - 3 c H.

210

ся нормальному закону, приво­ дит к новому нормальному рас­

пределению, математическое ожидание которого равно алгебраи­ ческой сумме математических ожиданий составляющих распре­ делений, а среднеквадратичное отклонение равно квадратному корню из суммы квадратов среднеквадратичных отклонений со­ ставляющих распределений. Поэтому .для закона распределения

На рис. 5. 7 приведены иллюстративные кривые, отражающие законы распределения плотности вероятности эксплуатационных нагрузок Na, несущей способности Л^я и запасов прочности NH. 8. Заштрихованная на рис. 5. 7 площадь соответствует вероятности отказа Р 0т конструкции, так как для всех значений э, соответ­ ствующих этой площади, Ан.э<0. Так как площадь ограничен­ ная любой кривой, характеризующей закон распределения плот-

21)

ности вероятности и осью абсцисс, равна единице, то надежность конструкции анализируемой детали

значений реальных оптимальных надежностей силовых агрегатов конструкций.

Определение надежности при заданных значениях о„, аэ, M(NH), M(Ng) можно производить в следующей последователь­ ности: по формулам (5.58), (5.59) и (5.62) определяется 2 , по формуле (5.64) или (5.65) определяется Р 0т, а затем по фор­ муле (5.60) — надежность Р д. Коэффициент безопасности опре­ деляется по формуле (5. 57).

5.3. Приведение произвольного закона рассеивания нагрузок к нормальному закону

Для определения надежности по формулам (5.63), (5.64) и (5.65) мы исходили из нормального закона распределения плот-

212

ности вероятности эксплуатационных нагрузок и несущей спо­ собности конструкции. В практике проектирования могут быть случаи других законов распределения. В этих случаях общая ме­ тодика определения надежности не изменится однако приве­ денные выше формулы (5.63), (5.64) и (5.65) изменятся.

Следует заметить, что математические выражения для функ­ ции распределения ф(А^н. э), являющейся композицией различных законов распределения, могут быть весьма сложными. В связи с этим рационально приводить решение к нормальному закону.

В связи со сложностью и ненаглядностью аналитического ана­ лиза поставленной проблемы приведения, проводим геометриче­ ский анализ. На левой стороне рис. 5. 8 приведены кривые функ­ ции ф(Л/э) и ф(А^н), аналогичные приведенным на рис. 5.7. Так как нас интересует функция q>(NH, э), где

N —N —N

то, очевидно, что на вероятность отказа конструкции влияют те области приведенных кривых, где могут быть значения

^ „ < л г э.

Нетрудно видеть, что указанное неравенство может иметь ме­ сто только внутри площади acdeb,,rjie точки а и b соответствуют таким значениям функций ф, что ими можно пренебречь, пли которые стоят на границе приемлемой точности измерений. Вне указанной площади везде значения

л ^н> ааэ.

Так как вероятность отказа конструкции определяется значе­ ниями функции <р(Л^н.э) при Nnc N 3, то очевидно, что эта веро­ ятность будет практически определяться совокупностью значений

213

за конструкции определяется формой и относительным положе­ нием кривых cdb и ade. Поэтому, если провести кривые нормаль­ ного распределения, близко подходящие к кривым cdb и ade, то определение надежности конструкции можно произвести приве­ денным выше методом. Следует заметить, что координаты точек

а и Ь довольно неопределенны, поэтому целесообразно проводить кривые нормального распределения соответственно через точки с и d или ей d.

При приведении возможных законов распределения к нор­ мальному полагаем, что в области cdb или eda кривые распреде­ ления по своей закономерности близки к кривым нормального распределения. Это в большинстве случаев соответствует реаль­ ным закономерностям при R > 0,99, так как кривые распределе­ ния ф в том и другом случаях идут с монотонным уменьшением

С помощью логарифмирования из этих выражений можно исклю­ чить величину M(N) и получить

Определение значения а из этого уравнения возможно методом последовательных приближений или с помощью графического решения уравнения.

Зная значение а, из выражений для фі и фг находим

2 1 4

плотности вероятности к нормальному закону с приемлемой для рассматриваемой дели точностью. Если какая-нибудь из функций ф(А^н) или <p(N3) в области их пересечения по своему характеру существенно отличается от нормального закона, то определение величины Яот можно сделать с помощью численного интегриро­ вания выражения (5.64), ограничиваясь конечной областью.

5.4. Расчетные формулы и примеры расчетов

Расчетную формулу для определения оптимальной надежно­ сти, или оптимального коэффициента безопасности можно полу­ чить из уравнения (5.55), найдя предварительно зависимость от оптимизируемой величины производной, входящей в это урав­ нение.

Как видно из выражения (5.57), коэффициент безопасности является в известной мере неопределенной величиной. Действи­ тельно, принятый при определении максимальной эксплуатаци­ онной нагрузки и минимальной несущей способности коэффици­ ент 3 является условным. Хотя он в среднем, действительно ра­ вен приблизительно 3, однако, например, для временного сопро­ тивления некоторых материалов он может достигать по ГОСТу 5 и даже выше, а для некоторых материалов до 2 и да­ же ниже.

Поэтому при стохастическом подходе более целесообразно ввести коэффициент безопасности по средним значениям (мате­ матическим ожиданиям)

В этом случае вес детали также следует представить через fM, тогда формула (5. 56) должна быть представлена в виде

отсюда

d Q ^ B Md f м.

Дифференцируя выражение (5. 63) и учитывая, что в правой части переменное z, получим

‘W'=7 k exp( - H ‘,z-

Следовательно,

Из выражений (5.68), (5.58), (5.59) и (5.62) следует

Используя выражения (5.68), (5.70) и (5.71), находим

3-го приближения. В качестве начального значения можно при­ нять 2 = 3. Задавшись 2 , определяют по формуле (5.71) величину

fm и затем по формуле (5.70)—ан.э; после чего по формуле (5.73) находят 2 . Результативное значение fM 0Пт определяется по фор­ муле (5. 71).

Переход к условному коэффициенту безопасности можно сделать по формулам (5.57) и (5.68). Величина оптимальной

216

надежности определится последовательно по формулам (5.65) и (5.60).

На рис. 5. 9 в иллюстративных целях приведен пример рас­ чета изменения затрат на поражение цели AQn. ц. За исходный вариант принят соответствующий условному коэффициенту без­ опасности /= 1,3. Оптимум получается довольно острый.

На величину /0пт влияет коэффициент вариации для эксплуа­

тационных нагрузок оэ. На рис. 5.9 даны два значения, отлича­ ющиеся в два раза: кривые Л и В. Из графика следует, что ко­

эффициент вариации сгэ может быть взят приближенно.

ность при этом получается У?0пт = 0,9988.

Стохастический метод оптимизации надежности и соответст­ венно коэффициента безопасности предусматривает наличие до­ статочного статистического материала по стохастическим харак­ теристикам эксплуатационных нагрузок и несущей способности. В этих целях является необходимым соответствующая обработка эмпирических данных'. В этой связи следует отметить работу А. А. Кузнецова и др. («Вероятностные характеристики прочно­ сти авиационных материалов и размеров сортамента», «Машино­ строение», 1970). Заслуживает также внимания теоретический

217

двигателей. М. «Машиностроение», 1969.

3. Б а р р е р М ., Ж о м о т А., В е б е к Б. Ф., В а н д е н к е р к х о в е . Ра­ кетные двигатели. М ., Оборонгиз, 1962.

вы проектирования управляемых снарядов. М ., Физматгиз, 1960.

8. Б у д н и к о в М. А., Л е в к о в и ч Н. А., Б ы с т р о в И. В., С и р о т и н-

11.«Вопросы ракетной техники», 1959, № 11, с. 115.

12.«Вопросы ракетной техники», 1960, № 5, с. 92.

13.«Вопросы ракетной техники», 1967, № 8, с. 90.

14.«Вопросы ракетной техники», 1970, № 2, с. 91.

15.Газовая динамика космических аппаратов. [Сборник статей]. Под ред.

Г.И. Таганова. М ., «Мир», 1965.

рактеристик конструкций на полетный вес летательного аппарата. — «Известия вузов. Сер. Авиационная техника», 1960, № 1.

• 219