книги из ГПНТБ / Гинзбург, В. В. Теория синхронизации демодуляторов

Постоянную С2 можно определить, если известно значение функции плот­

с небольшой погрешностью найти на основе аппроксимации закона распределе­ ния фс нормальным, а также полученных выше приближенных выражений для

и (3.24)

что после подстановки в (3.37) дает

Точность ф-л (3.36) и (3.38) зависит от погрешности аппроксимации закона распределения фс нормальным законом в области наиболее вероятных значений фс, близких к нулю. Так как такая аппроксимация дает наибольшую точность

рого приближения для моментов распределения фс.

Корреляционная функция фазы синхросигнала. Для приближенного опреде­ ления корреляционной функции фс в стационарном режиме можно воспользо­

При такой аппроксимации нетрудно найти условную плотность вероятности 0)^ (х ,s + v |(/,s), соответствующую моменту s+ v , при условии, что в начальный

момент s фс равнялась у. Для этого можно ввести условные характеристическую

кумулянтной функции. Переход следует осуществлять с учетом (3.39), а также упомянутых выше правил дифференцирования оригинала и изображения.

Разложив кумулянтную функцию в ряд Тейлора, получим из уравнения относительно кумулянтной функции систему линейных дифференциальных урав­ нений первой степени относительно кумулянтов распределения. Так как началь­ ное распределение фс имеет лид 6-функции, то начальное значение кумулянта

первого порядка равно x ( s ) —y , а начальные значения остальных кумулянтов — нулю. Решая уравнения системы, можно найти условные математическое ожида­ ние и дисперсию фс, а также убедиться в равенстве нулю кумулянтов более вы­ соких порядков. Сопоставляя выражения для условной и безусловной нормаль­

Замкнутые УС с дискретным управлением. Конкретизируем по­ лученные соотношения применительно к УС с дискретным управ­

70

лением. В наиболее общем случае УС с многозначным управлени­ ем число добавленных на посылке импульсов принимает значения от —К до К с зависящими от <р вероятностями соответственно Ц-к(ф ),-.., <7*(<р). Математическое ожидание числа добавленных за посылку импульсов, определяющее на основании (3.7) коэффи­ циент А (ф), равно

Часто зависимостью между величинами k на соседних посыл­ ках можно пренебречь. Тогда, как видно из (3.86),

К к,

Таким образом, смещение среднего значения фс тем больше, чем больше относительная расстройка тактовых частот передатчи­ ка и приемника, коэффициент деления делителя частоты и чем

т. е. обратно пропорциональна коэффициенту деления.

Как видим, требования уменьшения отклонения математичес­ кого ожидания фс от наилучшего значения и уменьшения средне­ квадратичного отклонения фс взаимно противоречивы.

В УС с двузначным управлением на каждой посылке либо до­ бавляется, либо вычитается один импульс. Если вероятностные связи между посылками отсутствуют, то УС с двузначным управ­

В окрестности точки ф = 0 вероятность qi(<p) «0,5, так как имен­

71

Можно показать, что это значение функции &(<р) является наи­ большим. Вообще, чем меньше по абсолютной величине ао(ф), тем больше Ь(ф). Примерный вид этих функций показан на рис. 3.7.

Рис. 3.7. Примерный вид функций ао(<р) и 6(ф) в УС с двузначным управлением

Математическое ожидание и дисперсия фс в установившемся режиме с учетом сказанного равны

В УС с трехзначным управлением помимо добавления или вы­ читания импульса возможно также, что коррекции на посылке не будет, так как вероятность ^о(ф) отлична от нуля. В соответствии с (3.4,1) и (3.42) здесь

ао(ф) — Qi (ф) ^—х(ф)

(3.48)

Ь (ф) = [<7i (ф) + (ф)] — [</i (ф) — Я—1(ф)]2

УС с двузначным управлением можно считать частным случа­ ем УС с трехзначным управлением при <7о(ф)=0. Тогда <7 1(ф) + + <7_г(ф) = 1 из ф-л (3.48) нетрудно вывести ф-лы (3.45).

3.4. Расчет УС с промежуточными усреднителями

Ясно, что введение PC в состав УС увеличивает инерционность последнего. В данном параграфе для количественного учета этого увеличения получены коэффициенты ур-ния (3.3) для УС с ревер­ сивными счетчиками разных типов.

Реверсивный счетчик с установкой нуля. Одним из наиболее распространенных типов PC, используемых в устройствах синхро­ низации, является PC, упомянутый в § 3.1, который из состояния m—1 [или —(т—1)] импульсом добавления (вычитания) перево­ дится в нулевое состояние, выдавая одновременно команду о до­ бавлении или вычитании импульса на входе делителя частоты. В таких случаях говорят, что счетчик «переполняется». Далее пере­ полнения называются конечными (неустойчивыми) состояниями счетчика и им приписываются номера т и —т.

72

Покажем, что УС, содержащее PC такого типа с возможными состояниями от —т до т и делитель частоты на N, эквивалентно УС без PC, но с большим коэффициентом деления ДЧ, равным

Эквивалентность здесь понимается в том смысле, что статисти­ ческие характеристики фс этих устройств совпадают с точностью до значений фс, отличающихся менее, чем на 2it/N.

Для доказательства сформулированного утверждения учтем, что реализационные особенности ДЧ не влияют на распределение фс. Будем поэтому считать, что ДЧ на Nt состоит из двух делите­ лей — на т и N. Заметим, далее, что распределения начальных значений фс в обоих УС (с PC и без PC) одинаковы. Поэтому при сравнении УС достаточно ограничиться случаем, когда их фс в момент включения совпадают. Но из совпадения в начальный мо­ мент следует, что фс совпадают и во все моменты переполнений PC, а в промежутках между этими моментами фс сравниваемых УС различаются менее, чем на 2л/N.

Коэффициент деления ДЧ даже в УС с PC обычно настолько велик, что изменением ФС на величину, меньшую 2л/N, можно пренебречь с точки зрения влияния этого изменения, например, на помехоустойчивость приемника.

Итак, УС с реверсивным счетчиком, устанавливаемым в нуле­ вое состояние при достижении одного из своих крайних состояяний —т или +т, эквивалентно (с точки зрения статистических характеристик фс) УС без PC с увеличенным в т раз коэффици­ ентом деления ДЧ (разумеется, во столько же раз необходимо увеличить и частоту следования импульсов на входе ДЧ). Такая

т. е. от того, является ли управление УС двухпозиционным или мно- гопозиционны-м, двузначным или многозначным.

Вместе с тем, УС с PC и УС без него, но с большим коэффици­ ентом деления ДЧ существенно различаются реализационно. На­ пример, в УС с PC обычно больше триггеров, чем в УС без проме­ жуточного усреднителя. Однако требуемое быстродействие этих триггеров меньше.

Реверсивный счетчик с установкой произвольных начальных условий. Ревер­ сивным счетчиком более общего вида можно считать устройство, состояния ко­ торого пронумерованы в порядке увеличения целыми числами от а до b и воз­ растают или уменьшаются на k, если на вход «добавление» или «вычитание» подано k импульсов, причем после достижения крайнего состояния Ь или а счет-

чик устанавливается в промежуточное состояние соответственно с или d, как показано на рис. 3.8, причем d может быть как больше, так и меньше или рав­ но с. В частности, при а = —m, b=m, c=d=0 получаем рассмотренный выше PC с установкой нуля.

73

Выведем выражения для коэффициентов ао(ф) и 6(ф), которые на основании (3.7а), (3.86) определяют коэффициенты Л(ф) и В(ф) уравнения относительно плотности вероятности фс. Для этого приведем рассматриваемый случай к слу­

чаю PC с установкой нулевых начальных условий.

Возможны четыре ситуации после достижения PC одного из своих крайних

то введение в состав УС реверсивного счетчика с установкой нуля после дости­ жения крайнего состояния т или —т можно считать эквивалентным уменьше­ нию этой скорости в т раз.

В рассматриваемом случае скорость зависит от того, какое состояние счет­ чика является начальным и какое конечным. Если, например, в первой ситуации, начальным и конечным состояниями являются с и Ь, то можно считать, что ве­ личина т приняла значение (Ь—с), т. е. математические ожидания скорости и ее квадрата уменьшились соответственно в (Ь—с) и (Ь—с)г раз. Вообще, условные математическое ожидание и момент второго порядка скорости при усло­

этого числа.

Суммируя условные моменты распределения скорости по всем возможным значениям начальных состояний х и конечных состояний у с соответствующими вероятностями Р(х,у), найдем безусловные математическое ожидание и диспер­ сию скорости:

Заметим, Р(х,у) зависят от ф. Для нахождения этих вероятностей выразим их через условные вероятности.

Все четыре совместные вероятности можно выразить через две условные, например, через вероятности Р(Ь\с) и P(b\d) достижения состояния Ь при

и для выражения совместных вероятностей через условные достаточно найти только Р(с). Вероятность Р(с) можно определить, приняв во внимание, что ве­ роятность достижения состояния Ь, равная по формуле полной вероятности

P( b\ c) P( c) + P(b\ d)P(d),

74

равна в то же время вероятности начального состояния с, которое по правилу работы счетчика устанавливается после всякого достижения Ь. Отсюда с учетом (3.53) получаем уравнение относительно Р(с)

Р(Ь | с)Р(с) + Р(Ь \ d )[l - Р ( е ) ] = Р ( с ) ,

решив которое, находим

Подстановка (3.52) — (3.54) в (3.50), (3.51) дает искомые выражения для коэффициентов ао(<р) и Ь(<р) через условные вероятности. Не выписывая эти выражения в явном виде для общего случая, приведем их для наиболее инте­ ресного случая, когда оба начальные и конечные состояния счетчика симмет­ ричны относительно некоторого среднего состояния, которое удобно принять рав­ ным нулю. Тогда

дель счетчика в виде цепи Маркова [57]. Аналогами переполнения счетчика явля­ ются поглощение частицы экраном при случайном блуждании или проигрыш игрока в задачах о разорении [130].

Приведем некоторые примеры.

УС с трехзначным управлением и реверсивным счетчиком. В таких УС на вход PC либо на каждой посылке добавляется или вычитается импульс с ве­ роятностями <?1(ф) и (7_ 1(ф), либо состояние счетчика остается неизменным с ве­ роятностью <7о(ф)- Так как сумма трех вероятностей равна 1, то для описания

УС при независимых сигналах на соседних посылках достаточно задать два чис­ ла, в качестве которых удобно взять <7о(ф) и

М ф ) + Д|ц (Ф) = П — <7о(ф)]

Найдем теперь вероятности Р(Ь\с) и P(b\d) того, что при начальном со­ стоянии с (или d) конечным будет состояние Ь. Можно показать, что эти вероят­ ности не зависят от <?о(ф) и определяются только отношением 0 (ф) точно

так же, как случайные перерывы в игре не могут повлиять на ее исход (если только вероятности выигрыша игроков остаются неизменными), хотя и увеличи­ вают ее длительность. Продолжим аналогию с задачей о разорении игрока,

75

рассмотренной в [130, § 14.2], и проведем с помощью нижеследующей таблицы

Таким образом, вероятность Р(Ь\с) представляет собой вероятность выигры­ ша игрока с начальным капиталом с—а=*т—п, если вероятности выигрыша и проигрыша в одном коне игры соответственно равны 1/(1 + Q) и Q/(l + Q), а

суммарный капитал составляет Ь—а=2т. Как следует из [130, ф-ла (14.2.4)],

76

Эти соотношения с учетом (3.43) и (3.44) определяют приближенные выра­ жения для математического ожидания и дисперсии фс в установившемся режиме

Как видим, величина я входит в (3.68) во второй степени, поэтому с точки зрения характеристик УС в установившемся режиме положительные и отрица­ тельные значения я эквивалентны.

Интересно сопоставить УС с различными значениями т и л. В установив­ шемся режиме это можно сделать, например, сравнив дисперсию фс двух УС с разными /л и л, но с одинаковыми математическими ожиданиями. Как видно из (3.68), математическое ожидание фс не изменится, если вместо PC с произ­

больше единицы. Таким образом, в условиях канала с постоянными параметрами для установившегося режима можно считать оптимальным PC с установкой нуля. Вместе с тем, в канале с переменными параметрами, или при критериях качества УС, учитывающих характеристики переходного режима, может оказать­ ся целесообразным использование УС с л, отличным от нуля.

В (93], например, рассмотрен PC, который при определенных условиях и при прочих равных характеристиках может обеспечивать уменьшение времени дости­

В(49] идет речь об УС, в котором конечные состояния обозначены через —I

иN, причем после достижения — 1 PC устанавливается в состояние N—1, а после достижения N — в нулевое состояние. В таком УС

В более общем случае для УС с многозначным управлением или при наличии корреляционных связей между числами добавляемых на разных посылках импульсов нетрудно получить приближенные выражения для коэффициентов a<j(<p) и &(ф), заменив модель PC в виде цепи Маркова моделью в виде непрерывного марковского диффузионного процесса, описываемого уравнением

Для такого процесса нетрудно найти вероятности первого до­ стижения границ, т. е. переполнения счетчика. Так, в [130, стр. 352] приведена так |назы®аемая формула Фюрта, представляющая в виде ряда производную по времени вероятности достижения

77

достижения. Полученный ряд известен и сумма его приведена, на­ пример, в [53, ряд ББ2]. С учетом использованных выше обозна­ чений после перечисленных преобразований находим:

коэффициентов аь(ф) и &(ф). Приведем в качестве примера выра­ жения для математического ожидания и дисперсии фс для случая установившегося фежима, когда можно принять (ом. (ЗЛИ)]:

а01(ф) « — fli ф. Ьо(ф) « К (°) = К

Отсюда при малых ф находим:

(3.67). Сказанное справедливо и по отношению к математическо­

что три выполнении (3.74) совпадает е (3.68).

3.5. Количественные характеристики замкнутых УС

Как отмечалось в гл. 1, при решении многих задач, связанных с исследованием влияния УС на показатели системы связи, можно ограничиться сравнительно небольшим набором количественных характеристик. К ним относятся, в первую очередь, моменты пер­ вых двух порядков распределения фс, а также характеристики вре­ мени достижения и поддержания синхронизма и его срывов. К со­ жалению, не все характеристики замкнутых УС удается количест­ венно определить так же, как аналогичные характеристики разом­ кнутых УС. Причина заключается в существенном (различии их ма­ тематических моделей. Дадим определения количественных харак-

78

теристик замкнутых УС (за исключением исследованных ранее моментов распределения фс в установившемся режиме), выбирая их по возможности «близкими» к характеристикам резонансных УС, и рассмотрим общие методы исследования этих характери­

стик.

Время достижения синхронизма. Задача исследования време­ ни достижения синхронизма замкнутым УС сложнее, чем рассмот­ ренная в § 2.5. В наиболее общем случае она требует решения урния (3.3) или другого, эквивалентного ему уравнения в частных производных, что весьма тр-удно. Если бы решение w ф(д:, s\y\ 0)

ур-ния (3.3) удалось найти, то характеристикой времени достиже­ ния синхронизма могло бы служить гарантированное время дости­

<Pl - Я

относительно неизвестного s. Здесь 1/2л — равномерная плотность вероятности начальных значений фс.

Как видим, нахождение величины S0(<pi, <рг, РЙ) Для замкнутого УС весьма затруднительно. Поэтому, не останавливаясь на воз­ можных приемах упрощения вычисления S0(q>i, фг, Ps), которые все же не делают приемлемой сложность этих вычислений, рас­ смотрим другую характеристику времени достижения синхронизма.

В теории марковских процессов известны сравнительно простые методы нахождения моментов распределения времени первого до­ стижения заданных границ. Для замкнутого УС в качестве таких границ естественно принять границы области синхронизма, отме­ ченные на рис. 3.9. Фазу синхросигнала в данном случае удобно

рассматривать на интервале (0,2л), а не (—л, л), ка было приня­ то в гл. 2. Областью синхронизма является область вне интервала

(<Рь фг), где 0<ф 1<фг<2л.

Вкачестве характеристики длительности переходных процессов

вУС можно было бы принять математическое ожидание времени первого достижения области синхронизма S t. Однако эта величина зависит от начального значения фс: по мере удаления начального

79