книги из ГПНТБ / Гинзбург, В. В. Теория синхронизации демодуляторов

значения от ближайшей из границ фЬ фг, величина St имеет тен­ денцию к увеличению и достигает максимума при уж я. Таким об­ разом, Si= Si(y), что не всегда удобно. Этого неудобства можно избежать, если количественной характеристикой времени дости­ жения синхронизма считать безусловное математическое ожида­ ние времени первого достижения

го математического ожидания времени первого достижения об­ ласти синхронизма или, для краткости, наибольшее время дости­ жения (НВД), т. е. величина

Статистические характеристики времени первого достижения границ неко­ торой области марковским диффузионным процессом изучаются на основе одного из уравнений Колмогорова — обратного или прямого (т. е. уравнения Фоккера— Планка) [23, 88, 119, 126, 133]. Воспользуемся для нахождения математического

ожидания времени первого достижения удобной с точки зрения учета граничных условий методикой работы [23, § 4.4].

Будем искать решение ур-ния (3.3) с учетом не всех возможных траекторий фс, начинающихся из точки у внутри интервала (<pi, срг), а лишь тех из них, ко­ торые к моменту s ни разу не вышли из этого интервала. Например, на рис. 3.9 этому условию удовлетворяет только траектория, отмеченная крестиками. Реше­ ние q = q ( x , s \ y ,0 ) , учитывающее часть траекторий, будет уже не плотностью вероятности, а долей плотности вероятности, обусловленной множеством указан­

откуда следует, что граничные условия не совпадают с граничными условиями для плотности вероятности и имеют вид

к моменту s не было.

Проинтегрируем обе части ур-ния (3.3), составленного относительно q, по времени s в бесконечных пределах. Учитывая (3.81), а также то, что q(x, s\y,0)-+-0 при s->-оо (через достаточно большое время практически все траек­ тории хоть раз пересекут границу области синхронизма), в результате интегри­ рования получим

80

где

0

причем

Q(<Pi 1i/) = Q (Фг I */) = °-

Прежде чем решать ур-ние (3.82), покажем, что математическое ожидание времени первого достижения области синхронизма из начального состояния у определяется через Q ( at 11/) :

Ф.

Ф1

— вероятность того, что фс не достигла области синхронилма к моменту s (из начального состояния у), то P(s,y) = 1—^ ( s . y ) — вероятность того, что фс до­ стигла этой области. Таким образом, P (s ,y ) — интегральная функция распреде­ ления, а ее производная

— плотность вероятности времени первого достижения. Следовательно, матема­ тическое ожидание времени первого достижения

sd Ф (s, у).

Выполним интегрировалие по частям и учтем, что при s-*-oo ^(s, у) прибли­ жается к нулю быстрее 1/s (по крайней мере, в тех случаях, когда моменты

распределения времени первого достижения существуют), так что s'Vfs,

при s-t-оо. Подставляя в полученный интеграл (3.85), имеем после изменения порядка интегрирования

откуда с учетом (3.83) следует справедливость утверждения (3.84).

Для нахождения Q(x\y) проинтегрируем обе части (3.82) по х, после чего

ф>

81

Сг — 2и (г — у) — — sign (г — я)

— нечетная относительно г = я функция г, а внутренний интеграл в (3.88) — четная функция х (относительно х = я ). Отсюда получаем

4>i Ф|

Двойной интеграл (3.89), определяющий наибольшее значение математического ожидания времени первого достижения при симметричных коэффициентах j4 (ф) и В(ф), можно использовать для качественной оценки и в тех случаях, когда условия симметрии не выполнены. При этом верхний предел интегрирования во внешнем интеграле следует заменить на значение второго корня функции Л(ф) (т. е. корня, в окрестности которого А (<р) возрастает).

Интеграл (3.89) обычно не удается выразить через известные функции и для его вычисления приходится прибегать к численно­ му интегрированию. Для приближенной оценки Sm ф-лу (3.89) можно упростить.

82

Обычно достаточно взять число точек деления / равным 2-^3, поэтому вычисления по ф-ле (3.94) оказываются несложными.

Вероятность срыва синхронизма. В замкнутом УС удобно опре­ делить вероятность срыва синхронизма Рсi как величину, обрат­ ную среднему числу S c посылок до первого достижения границ об­ ласти (—л, л) при нулевой начальной фазе синхросигнала, т. е.

Среднее время до срыва синхронизма Sc можно найти тем же ме­ тодом, с помощью которого в предыдущем параграфе найдена ве­ личина Si(y). Разница заключается лишь в начальном и гранич­ ных условиях, которые в данном случае имеют вид у = О, 5 С(—л) = =&с:(л) =0.

Повторяя выкладки аналогичные проделанным при получении (3.88), находим

31 «*

* -—Яп—я В(х)

где и(г) — единичный скачок;

j е x (z) d ;

C1= 2-

»—X(z) dz

а под функцией X(<p) здесь удобнее понимать интеграл с нулевым нижним пре­ делом

84

Как и при нахождении S m ограничимся случаем, когда /4(ф) и В (ф )— соответственно нечетная и четная функции. Тогда C i= l и (3.96) принимает вид

подынтегральном выражении положителен. Можно поэтому считать, что вели­ чина интеграла определяется в основном характером изменения показателя экспоненты в окрестности точки (0, я) плоскости (х, г ) , где показатель экспо­

ненты принимает наибольшие значения. На этом основании можно при вычисле­ нии интеграла воспользоваться методом, аналогичным методу Лапласа [20]. Раз­ ложим показатель экспоненты в ряд Тейлора в окрестности точки (0, я), огра­ ничиваясь квадратичными членами. Приняв во внимание, что 0 и я — корни функ­

о

d А (<р)

где F(x) — функция Лапласа; X" (ф) = ------——

d Ф В (ф)

Последующие преобразования (3.99) удобно выполнить порознь для случаев сильного и слабого сигналов.

При сильном сигнале величины X" (я) и Х"(0), имеющие при­ мерно одинаковый порядок, но различающиеся знаком, должны быть большими по абсолютной величине. Так, для УС с дискрет­

яd ф Ь (ф)

отличается от постоянной. Коэффициент а(ср) при <р = 0 равен 0, а, например, при ф « я /2 должен быть близким к единице, так как при сильном сигнале на каждой посылке с высокой вероятностью добавляется импульс. Таким образом, отношение приращений Да(ф)Дф имеет порядок не меньше единицы. Примерно таков же

величина интеграла в (3.99) определяется небольшой окрестностью точки * = 0, где

F ((я — х) \ Х" (я )) « 1, В (х) fst В (0).

При такой аппроксимации интегрирование не вызывает труда. Приняв в полученном результате F(л У —ЯЛ(0))«|1, имеем

______ я ехр (— X (я)

с _ V — X' (0) X" ( я ) В (0)

Подставляя это выражение в (3.95) и учитывая знаки входя­ щих в него величин, получим выражение для вероятности срыва синхронизма при достаточно сильном сигнале

л

85

4

СИНХРОНИЗАЦИЯ ОДНОКАНАЛЬНЫХ МОДЕМОВ

4.1. Алгоритмы устройств синхронизации

Под одноканальными здесь понимаются модемы, в которых для передачи информации используется модуляция гармонического колебания (в отличие от многоканальных, в которых сигнал пред­ ставляет собой сумму нескольких модулированных колебаний).

Для обработки сигналов в одноканальных модемах использу­

служит для восстановления формы и длительности посылок сигна­ ла, причем знак информационного символа определяется по отсче­ ту выходного напряжения детектора. Оптимальные демодуляторы реализуются с помощью согласованных фильтров или коррелято­ ров. В первом случае УС задает момент отсчета сигнала с выхода согласованного фильтра, во втором — интервал интегрирования и, может быть, временное положение опорного колебания. Таким образом, функции УС несколько различаются в различных демоду­ ляторах. Обычно различаются и методы синхронизации, поскольку на их выбор влияют реализационные ограничения, вызванные со­ ображениями унификации элементов системы связи.

Рассмотрим некоторые типы УС одноканальных систем связи.

ми процессами, определяемыми частотными характеристиками фильтров модема и канала связи. Эти переходные процессы изме­ няют огибающую сигнала. Можно показать, что математическое ожидание огибающей содержит периодическую компоненту, основ­ ная частота которой совпадает с тактовой. Поэтому огибающая может служить преобразованным сигналом для |резананшого УС. УС по огибающей (рис. 4.1а) содержит полосовой фильтр ПФ, роль которого могут играть, в частности, фильтры модема и канал связи, амплитудный детектор АД и накопительное устройство в виде ВИРУ. Временные диаграммы рис. 4.1 иллюстрируют рабо­ ту УС. На диаграмме рис. 4.16 отражена возможная последова-

*) Под радиосигналом понимается сигнал с вч заполнением.

87

дельность передаваемых символов 101101..., которой при одно­ кратной фазовой модуляции (ФМ) соответствует последователь­ ность значений фазы сигнала я, 0, л, я, 0, я . . . . Примерный вид оги­ бающей ФМ сигнала на выходе фильтра приведен на диаграмме

рис. 4.1в.

Огибающая сигнала с амплитудно-импульсной модуляцией (АИМ) для той же последовательности информационных симво­ лов приведена на диаграмме рис. 4Лд.

По своим характеристикам к УС по огибающей весьма близки УС по модулю видеосигнала на выходе детектора. Для примера рассмотрим функциональную схему такого УС в демодуляторе сигналов двукратной ФМ.

Входной преобразователь (рис. 4,2а) содержит два детектора (по числу двоичных подканалов; роль этих детекторов, конечно, должны играть детекторы решающего устройства), каждый из ко­ торых состоит из перемножителя и ФНЧ, и два вычислителя абсо­

Принцип работы УС иллюстрируется временными диаграмма­ ми рис. 4.2 при передаче последовательности четверичных симво­ лов 11, 01, 11, 10, 01, 00, 00, 11 ... (на диаграммах рис. 4,26 и в показаны последовательности в двух двоичных подканалах), что при использовании одного из оптимальных манипуляционных ко­ дов соответствует последовательности значений фазы 0,Зя/2,

88

О, л/2, Зя/2, л , ... . На диаграммах рис. 4.2г и д изображены сигна­ лы на выходах ФНЧ, а на диаграмме е — сумма абсолютных ве­ личин этих сигналов, являющаяся преобразованным сигналом.

Ясно, что можно привести схемы, аналогичные рис. 4.2а, для когерентного и некогерентного демодуляторов сигналов с одно­ кратной и многократной ФМ (ФРМ) и сигналов ЧМ и AM. Такие УС можно включать также на выходах согласованных фильтров.

УС по пересечениям видеосигнала. Наиболее широко распро­ странены УС, в которых преобразованным сигналом служат им­ пульсы определенной формы, формируемые в момент пересечения выходным сигналом детектора порогового уровня, обычно равного нулю. Возможная функциональная схема входного преобразовате­ ля, используемого в УС по пересечениям, приведена на рис. 4.3.

помощью, например, усилителя-ограничителя (УО). Полученный

явном виде и не входить в состав УС.

Измеритель рис. 4.3, называемый далее измерителем пересече­ ний (ИП), может использоваться в качестве ВП как резонансного УС, так и УС с дискретным управлением. В первом случае сигна­ лы на вход ВИРУ могут подаваться либо непосредственно с выхо­ да АВ, либо через ФСУ в виде «удлинителя» импульса, например, ждущего мультивибратора. Во втором случае выходные импульсы АВ служат для формирования сигналов увеличения или уменьше­ ния фс на величину, кратную 2л!N.

УС по 'П0 ресечения1М подробнее .рассмотрены в следующих па­

раграфах.

Замкнутые УС по модулю вектора сигнала. В оптимальных де­ модуляторах используются, как отмечалось, корреляторы, пред­ ставляющие собой последовательно соединенные перемножитель и интегратор. Помехоустойчивость оптимальных демодуляторов к аддитивному гауссову шуму определяется отношением сигнал/шум на выходе коррелятора, поэтому наилучшим будет УС, обеспечива­ ющее максимум этого отношения. Если шум стационарен, то мак­ симум отношения сигнал/шум, очевидно, достигается при том ж£ положении интервала интегрирования, при котором максимально среднее значение сигнала на выходе коррелятора. Определить это положение можно, например, с помощью корреляторов демодуля­ тора, изменяя на небольшую величину положение интервала инте­ грирования в ту и другую стороны и сравнивая полученные отсче­ ты (методом «проб и ошибок»). Так как допустимые «качания»

89