книги из ГПНТБ / Гинзбург, В. В. Теория синхронизации демодуляторов

ч

тожиые» ее изменения с падки зрения фс, так как изменения фс в - течение посылки весьма незначительны и одну посылку можно считать очень 'маленьким интервалом времени. Для нахождения ; вероятностных характеристик фс заметим, что вероятностные свя- ' зи между значениями %(t) (или величинами kt) распространяют­ ся на сравнительно небольшое число посылок (значительно мень­ шее N в УС с дискретным управлением). Так, если последователь­ но передаваемые информационные символы взаимно независимы, искажения сигнала в канале связи обусловлены сравнительно ши­ рокополосной помехой, а инерционность ВП не превосходит дли­ тельности посылки, то величины £(7) и £(7+Т) (или £г- и &i+i) ; практически независимы. Таким образом, интервал корреляции приращений фс значительно меньше постоянной времени УС и мо­ жно считать [27, 88, 119, 125, 133, 147], что плотность 'вероятности фс, подчиняющейся ур-иию (3.2), удовлетворяет уравнению Фок- кера-Планка (называемому также диффузионным уравнением и уравнением А. Н. Колмогорова)

где Wy =w v (х, s\y) — условная плотность 1ве(роятности значений

ское ожидание и дисперсию правой части (3.2) (т. е. приращения фс, приходящегося на одну посылку), называемые часто коэффици­ ентами сноса и диффузии.

Решение ур-ния (3.3), являющееся плотностью вероятности, должно, очевидно, быть неотрицательным и удовлетворять условию нормировки, т. е.

и, кроме того, удовлетворять граничному и начальному условиям;

В>„(— л. s | у) = Шф(л, s\y)\ wv (x, 0\у) = б(х— у). (3.5)

Начальное условие может быть задано не только в виде 6-функ- ции, что соответствует предположению о точно известном началь­ ном значении фс х(0)=г/, но и в виде любого другого распределе­ ния начального значения фс.

В установившемся режиме плотность вероятности фс не зависит от начальных условий и неизменна во времени, т. е. юф(х, s|*/) =

==до ф ( Х ) , а ее производная по времени равна нулю. При этом из

где доф (х) — не зависящая от начального значения фс плотность вероятности фс.

60

Коэффициенты уравнения для плотности вероятности фс. Как отмечалось выше, фс на нескольких посылках остается практиче­ ски неизменной в том смысле, что изменения статистических харак­ теристик приращения фс незначительны. Поэтому при изучении статистических характеристик приращений можно считать цепь об­ ратной 'связи в УС разомкнутой, а величину фс — фиксированной. При фиксированной фс процесс \(t) является периодически ста­ ционарным, причем его статистические характеристики зависят от значения ср. Для того чтобы подчеркнуть это обстоятельство бу­ дем вместо \(t) писать | ф(7). Таким образом, без учета расстрой­

ки тактовых частот приращение фс

H-AsT

Дф = J 1Ф(0 ^ .

а математическое ожидание приращения

< Л ф > = 5 < ц , (*)><#. i

Математическое ожидание в подынтегральном выражении яв­ ляется периодической функцией (см. § 1.7). Интегрирование гар­ монических компонент ряда Фурье этой функции дает ограничен­ ную величину, существенно меньшую интеграла от постоянной со­ ставляющей, линейно растущего с ростом As. Пренебрегая интег­ ралами от гармонических компонент, можно записать

венстве тактовых частот, совпадающее с точностью до множителя 1/Г с постоянной составляющей математического ожидания

< £ ф(*)>■

Для устройства синхронизации с дискретным управлением, где ^■(i) представляется в виде последовательности 6-функций,

гДе ао(ф) = <Л,->, т. е. равно математическому ожиданию числа Добавленных на посылке импульсов при условии, что фс равна ф.

61

Найдем теперь коэффициент 5(ф ), который по определению ра­

вен

В (ср) = Игл < Аф2>

As-*0 Д s

О

где Дф=Аф—<Д ф > — флуктуирующая часть приращения фс.. Из (3.1) имеем

оо t-{-As

<Дф2> = J j K\(z, x)dzdx,

--00 t

причем во внутреннем интеграле теперь интегрирование выполня­ ется по 2 .

Подынтегральное выражение в этом интеграле представляет со­ бой автокорреляционную функцию периодически стационарного процесса (t) и является периодическим по z. Поэтому, восполь­

зовавшись рассуждениями, аналогичными привлеченным при вы­ воде (3.7), можно записать

откуда, принимая во внимание, что внутренний интеграл, совпадаю­ щий с точностью до коэффициента 1 /Т с постоянной составляющей разложения автокорреляционной функции в ряд Фурье, является четкой функцией т, находим выражение для второго коэффициента ур-ния (3.3)

*) Такое изменение не приводит к существенной погрешности, поскольку зна­ чения т, при которых автокорреляционная функция процесса §ф (t) существенно

отличается от нуля, не превосходят нескольких посылок, т. е. невелики, и «рас­ ширение» пределов интегрирования эквивалентно добавлению интеграла от не­ больших «хвостов» автокорреляционной функции.

62

Для УС с дискретным управлением из (3.8) можно получить,

что

О

где Ъ(ф) = D (k) + 2 £ Kk{s),

D(k) — дисперсия числа добавленных в течение посылки импуль­ сов; Kk(s) — автокорреляционная функция числа импульсов, до­ бавленных на двух сдвинутых на s посылках (при фс, равной <р).

Если величины k на соседних посылках независимы, то

(3.86)

Коэффициенты А (ф) и В (ф) урчния (3.3) определяются стати­ стическими характеристиками входного сигнала и алгоритмом пре­ образования этого сигнала в ВП. Поэтому задача выбора этих ко­ эффициентов совпадает с задачей синтеза ВП. В данной главе за­ дача синтеза не рассматривается, а формулируются лишь некото­ рые требования, которым должны удовлетворять эти коэффициенты в рационально сконструированном ВП. Это необходимо, в частно­ сти, для решения в достаточно общем виде ур-ния (3.3).

Пусть ф = 0 — некоторое наилучшее значение фс, при котором, например, обеспечивается наименьшая вероятность ошибки. Есте­ ственно потребовать, чтобы в установившемся режиме наиболее ве­ роятные значения фс группировались около нулевого значения, т. е. чтобы точка ф = 0 была точкой «притяжения», точкой устойчивого (в среднем) равновесия. Целесообразно также, чтобы в переход­ ном режиме изменение фс в направлении этой точки происходили по возможности быстрее.

Для того чтобы нулевое значение фс было точкой устойчивого равновесия, необходимо чтобы приращения фс компенсировали в среднем отклонение от этого значения. Следовательно, математиче­ ское ожидание приращения фс как функция от ф должно убывать

точках, где функция 'убывает.

Движение фс из произвольной точки должно совершаться по кратчайшему пути. Для этого необходимо удовлетворить условию

(3.10)

т. е. А (ф) должна в точке ф = я иметь второй корень и возрастать. Из соображений симметрии естественно также потребовать, что­

бы А (ф) была нечетной функцией относительно точки ф = 0.

63

Функция В (<р), представляющая собой дисперсию приращений фс, очевидно, неотрицательна. Флуктуации этих приращений дол­

Вреальных условиях из-за искажений сигнала в канале связи,

атакже под влиянием аппаратурных ошибок функция А (<р) может несколько отклоняться от нечетной, а В (<р) — от четной. Однако эти отклонения должны быть сравнительно небольшими.

Для приближенного решения ур-ния (3.3) необходимо выбрать удобное приближенное представление функций .4 (<р) и В (<р). По­ скольку эти функции заданы на интервале (—л, я), естественно попытаться представить их отрезком ряда Фурье. При таком пред­ ставлении коэффициенты при нечетных членах разложения функ­ ции А (ф) «а основании изложенного выше должны существенно превосходить по абсолютным значениям коэффициенты при четных

членах и постоянную составляющую. Коэффициент при sin ф дол­ жен быть отрицательным и превосходить по абсолютной величине остальные коэффициенты.

В разложении функции В(ф) наибольшим из коэффициентов по абсолютной величине является постоянная составляющая. Четные

Фурье «физически» представляется наиболее оправданным. Вместе с тем, такое представление неудобно для нахождения плотности ве­

ность вероятности фс тоже ищется в виде ряда Фурье, так как при этом дифференциальное ур-ние (3.8) сводится к системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложе­ ния плотности вероятности. Число коэффициентов, которым можно ограничиться для .воспроизведения функции плотности вероятности, определяется видом этой функции.

Обычно область наиболее вероятных значений фс сравнительно узка и ширина ее имеет порядок коэффициента передачи по петле обратной связи, например порядок 2n/N для УС с дискретным уп­ равлением. Поэтому требуемое для точного представления число гармоник в разложении плотности вероятности должно быть по­ рядка N, т. е. достигающим в отдельных УС нескольких сотен или даже тысяч. Поэтому представление плотности вероятности фс в виде ряда Фурье может оказаться громоздким и неудобным.

Так как в установившемся режиме большие значения плотности вероятности сконцентрированы в узкой окрестности точки ф = 0, то

64

где Hk(x) — полином Эрмита 6-го порядка относительно веса ехр (—х2/2), а величины ф0, сгф, уз и у4 — соответственно мате­

матическое ожидание, дисперсия и коэффициенты асимметрии и эксцесса распределения фс.

Как известно, параметры %>, аф , уз и у4 выражаются через кумулянты и,- распределения, представляющие собой коэффици­ енты разложения в ряд Тейлора кумулянтной функции

—Я

— характеристическая функция (преобразование Фурье плот­ ности вероятности).

В разложениях (3.14) и (3.15) слагаемые пятого и более высо­ ких порядков приняты равными нулю.

Связь между коэффициентами разложений (3.14) и (3.15) да­ ется соотношениями:

= Фо- *2 = стф- *з = *4 = • (3-17)

Будем считать, что почти все возможные значения фс в устано­ вившемся режиме принадлежат области, в которой справедливо

его части на exp (icojc) и интегрируя их на интервале (—я, я), по­ лучим, учитывая правила дифференцирования оригинала и изо­ бражения преобразования Фурье,

А00ф (i со) — А 9; (i со) + Aj 0' (i со) — А30ф" (i со) +

+ If-{ B Q+ B, ^ ;(i ©) + A pp;(i to)]2+ вг y ;( i ©)} = o.

66

мальна [61, 119, 133].

Поправки, даваемые вторым приближением, невелики при выполнении усло­ вий (3.13). Так, выражения для математического ожидания и дисперсии во вто­

в качестве которой используется первое или второе приближение величины мате­ матического ожидания (3.23) или (3.29).

При очень малых значениях отношения В(ф)/Л(ф), например при очень больших N в УС с дискретным управлением, математическое ожидание фс мож­

Из ф-лы (3.31) следует, что необходимым условием существования уста­ новившегося (стационарного) распределения фс является существование корня функции Л(ф). Если же функция Л(ф) не меняет знака на интервале (—я,л), что может иметь место, например, при большой расстройке тактовых частот передатчика и приемника и сильных помехах или при слишком большой инер­ ционности УС, то установившегося распределения фс не существует.

Формулы (3.26) и (3.28) позволяют оценить близость распределения фс к нормальному. Такую оценку можно получить, например, найдя поправку к зна­

~Я4(3 )= -|у - 30= 74.1,25.

Для того чтобы относительная поправка не превышала 10%, необходимо, чтобы у‘<0,1- Допустимую величину коэффициента эксцесса можно выразить через дисперсию фс и оценить таким образом допустимую дисперсию, при кото­ рой распределение фс незначительно отличается от нормального.

На основании (3.28) и (3.24)

у 4 « (Аб3/ОАхф — ВВ0)2. /

68

Сомножитель в скобках на практике меньше единицы. Поэтому можно счи-

О

тать, что -у4< 6сгф и для выполнения неравенства -у*< 0,1, достаточно, чтобы вы­

распределение фс близко к нормальному. Поэтому можно считать, что фс рас­ пределена по нормальному закону, если среднеквадратичное отклонение фс не превосходит 0,1-ь0,2 рад, т. е. 2-М% длительности посылки. При этом по правилу «трех сигма», почти все значения фс будут находиться в интервале, составляющем 10<-20% длительности посылки. Для многих практических задач такую точность можно считать достаточной. Уточнение закона распределения фс получено ниже на основе общего интеграла ур-иия (3.6) [88, 119, 125].

Плотность вероятности фазы синхросигнала. Интегрируя левую и правую

где А (х) = 2 I dz; Cj — произвольная постоянная,

о B(z)

Постоянные Ci и Са определяются граничным условием и условием норми­ ровки. Эти постоянные можно найти также приближенно, используя полученные выше приближенные соотношения для моментов распределения фс, основанные на предположении о близости распределения фс к нормальному.

Для нахождения Ci заметим, что правая часть в (3.34) не содержит постоян­ ной составляющей. Поэтому постоянная Ci представляет собой среднее значение произведения — Л(х)шф (х), т. е.

я

Ci = — ^ j А (х) шф (дг) dx.

—я

Для получения приближенного значения Ci заменим в подынтегральном вы­ ражении А(х) полиномом (3.11), а плотность вероятности шф(х) — нормальной

плотностью вероятности. Заменим, кроме того, пределы интегрирования на бес­ конечные. Тогда

69