книги из ГПНТБ / Гинзбург, В. В. Теория синхронизации демодуляторов

Рис. 2.3. Влияние расстройки частот на математическое ожи­ дание фс

2.5. Количественные характеристики резонансных УС

Простейшими количественными характеристиками УС являют­ ся математическое ожидание и дисперсия фс. При решении мно­ гих задач, например при последовании помехоустойчивости систем связи в стационарных условиях, эти характеристики исчерпываю­ щим образом описывают УС. Вместе с тем, имеется круг задач, в которых знание моментов распределения фс недостаточно. Так, при сильных помехах возможны срывы синхронизма, при корот­ ких сеансах связи приходится учитывать время вхождения в син­ хронизм и т. п. Ниже уточнены применительно к резонансному УС данные в § 1.6 определения наиболее важных количественных ха­ рактеристик УС и приведена методика их исследования.

Время достижения синхронизма. Нормированное (т. е. измерен­ ное в количестве посылок) время достижения синхронизма резо­ нансным УС удобно определить как число посылок S0(<pi, ф2, P s ) , по истечении которых фс с вероятностью P s окажется внутри об­ ласти синхронизма (—фь ф2) (см. § 1.6). Величины Ps, фь ф2 вы­ бираются, исходя из требуемого качества работы приемника сис­ темы связи. Если, например, отклонения фс от идеального зна­ чения на ±5% длительности посылки не приводят к существенно­ му увеличению вероятности ошибки, то можно принять ф1 = фг= = 0,05-2я=0,1я. Вероятность Ps должна, очевидно, незначитель­ но отличаться от единицы, так что величина 1—Ps должна быть небольшой. В зависимости от характера переданной информации, по-видимому, можно требовать, чтобы 1—Ps= 1СИЧ-10-3 или что­ бы 1—Ps равнялась допустимой величине вероятности ошибки.

Величина 50= 5 0(фь фг, P s ) , названная в § 1.6 гарантированным временем достижения синхронизма (ГВД), является решением уравнения

40

Это уравнение, так же как и (2.70), можно решать графиче­ ски. Кривые, отражающие изменение дисперсии в переходном ре­ жиме для УС с некоторыми типами ВИРУ (см. табл. 2.1), приве­ дены на рис. 2.4. Эти кривые построены в разном масштабе по оси ординат. Масштаб ns/Q соответствует одинаковым добротно-

Рис. 2.4. Изменение дисперсии фс

же, что /, 2, 2', если масштаб по оси ординат соответствует 2s/P

стям всех контуров. Масштаб 2s/P удобен гари одинаковых энер­ гетических полосах ВИРУ и, следовательно, одинаковых сг£ (оо).

Для одиночного колебательного контура и системы двух контуров с критической связью кривые в обоих масштабах совпадают, так

ный процесс для всех ВИРУ примерно одинаков при одинаковых полосах пропускания.

Для ВИРУ в виде одиночного колебательного контура решение ур-гаия (2.72) можно полудить и аналитически, так как в этом слу­

ний фс в момент, когда переходные процессы в УС можно считать закончившимися и в установившемся режиме. Такое определение к тому же применимо в тех случаях, когда время достижения син­ хронизма в рассмотренном выше смысле не существует.

42

Задание величины т можно трактовать как задание отноше­ ния qpijzP величиной аф (°о)т, что позволяет для ВИРУ в виде ко­

лебательного контура формально воспользоваться (2.73). При этом получаем весьма простую формулу

ял тг— 1

Вероятность срыва синхронизма. Вероятность срыва синхро­ низма Рс в разомкнутом УС можно определить как отнесенную к длительности посылки среднюю частоту выбросов за границы об­ ласти (—я, я). Это позволит воспользоваться для нахождения Рс результатами исследований выбросов фазы узкополосного случай­ ного процесса [126].

Будем считать, что выходной сигнал ВИРУ представляет со­ бой сумму гармонического сигнала и узкополосной нормальной помехи. Под сигналом будем понимать математическое ожидание выходного процесса ВИРУ (предполагается установившийся ре­ жим работы УС), а под помехой — флуктуирующую компоненту этого процесса. При получении оценочных соотношений помеху можно считать нормальным стационарным процессом со спек­ тральной плотностью, близкой к спектральной плотности белого нормального шума, пропущенного через ВИРУ. Отношение квад­ рата амплитуды гармонического сигнала к дисперсии помехи об­ ратно величине дисперсии фс и для ВИРУ с симметричными от­ носительно соо частотными характеристиками равно в соответствии с (2.47)

где Р — отношение частоты настройки ВИРУ к полосе его пропу­ скания.

Ограничиваясь для простоты случаем точной настройки ВИРУ, имеем на основании выражения (14.39) работы [126] ‘)

ную величину второй производной огибающей коэффициента кор­ реляции помех на выходе ВИРУ при нулевом временном сдвиге.

43

четная функция и что выходной процесс ВИРУ дифференцируем. Для последнего достаточно, чтобы интеграл I сходился.

Найдем вероятности срыва синхронизма в УС с ВИРУ в виде одного, двух и п последовательно включенных колебательных кон­ туров. Для удобства сравнения выразим величину R всех ВИРУ через узкополооность Р. Тогда три равных Р обеспечивается ра­ венство значений а ф сравниваемых ВИРУ и можно ограничиться

сравнением величин R.

Начнем с рассмотрения ВИРУ в виде цепочки из п последова­ тельно соединенных колебательных контуров. При п ^ З модуль передаточной функции ВИРУ хорошо аппроксимируется гауссовой кривой [39]:

£0(й)1= ехр( — 2лсуч, (2.78)

где Q — добротность одиночного контура. Выполнив интегрирование, находим

А= (со0/2Q ) V ^ , /„= К /1 бО3) ! ^ 3,

Как видим из (2.79) и (2.76), вероятность срыва синхронизма обратно пропорциональна узкополосности ВИРУ и даже при от­

сутствии сигнала (сгф —>-сэо) равна Рс= \/ Р У 2л, т. е. достаточно мала. Если же с ^ ^ О Д что соответствует 5% длительности посыл­

ки, то Pc^!3 -110 4Р\ при Я =100 это составит 3- 10~в. Заметим, что при заданной полосе пропускания ВИРУ (вероятность Рс не зави­

сит от п, если п (больше 3.

Обратимся теперь к ВИРУ в виде двух последовательно вклю­ ченных колебательных контуров, для которых

ft„(Q)= fl-H Q W o o )]-1.

Выполнив требуемое для нахождения Аш и / интегрирование [41], находим

Aa>2=(jt/4Q)<B0, /2=(п/16) (соЗ/Q3),

откуда

R2=\/Q=4/nP. (2.80)

Таким образом, при одинаковой полосе пропускания Дш веро­ ятность срыва синхронизма в УС с двуконтурным ВИРУ пример­ но в 1,5 раза больше по сравнению с многоконтурным.

Промежуточное положение занимает ВИРУ в виде двух кон­ туров с критической связью, для которых

При рассмотрении ВИРУ в виде одиночного колебательного контура необходимо особое внимание обратить на требование

44

дифференцируемости помехи на выходе ВИРУ. Так, если в после­ довательном контуре выходное напряжение снимается с катушки индуктивности, то при Q—>-оо модуль нормированной передаточной функции &o(Q)->-Q'~1 и помеха представляет собой недифференцируемый процесс. Это значит, что при исследовании срывов синхро­ низма аппроксимация помехи на входе ВИРУ белым шумом ока­ зывается слишком грубой идеализацией и необходимо учесть, на­ пример, реальную форму спектра этой помехи. Тогда под fe20(£2) следует понимать произведение квадрата передаточной функции ВИРУ и энергетического спектра помехи. Если в последователь­ ном колебательном контуре выходное напряжение снимается с конденсатора, то процесс оказывается дифференцируемым, так как в этом случае квадрат передаточной функции

2(о0 -f- G —1 w = QQ со«

при Q-»-oo убывает быстрее, чем Q-3. Функция k20(Q) близка к четной; однако общепринятая аппроксимация k%(Q) = (l-t-i^Q2) -1 в данном случае непригодна, так как плохо передает характер функции при Q—>-оо. От этого недостатка свободна аппроксимация четной функцией.

которая хорошо передает значения передаточной функции как в полосе пропускания, так и при больших Q.

Интегралы, определяющие Аы и I, элементарным путем сво­ дятся к табличным, вычисление которых показывает, что

A(Oj= mo0/2Q, / 1 = jkoo/Q2-

В этих выражениях величины порядка Q~2 считались прене­ брежимо малыми по сравнению с 1.

На основании (2.77) находим

Формула (2.76) с учетом (2.82) дает, по-видимому, несколько завышенную вероятность срыва синхронизма, поскольку на вели­ чину ,Ri должна влиять неравномерность спектра помехи на входе ВИРУ. Однако учет этой неравномерности не отразится на поряд­ ке величины Ri. Таким образом, вероятность срыва синхронизма

в УС с одноконтурным ВИРУ примерно в \' Р раз больше, чем в УС, с двухили многоконтурным ВИРУ.

Итак, можно считать, что двухконтурное ВИРУ близко к оп­ тимальному, так как оно дает заметный выигрыш по вероятности срыва синхронизма по сравнению с одноконтурным, в то же время практически не уступает значительно более сложным многокон­ турным ВИРУ.

45

Время поддержания синхронизма. В гл. 1 время поддержания синхронизма (ВПС) определено как число посылок после выклю­ чения сигнала, в течение которых фс выйдет из зоны синхрониз­ ма при условии, что начальное значение фс соответствовало ус­ тановившемуся режиму УС в присутствии сигнала. Половину ши­ рины области синхронизма примем равной рТ; таким образом, до­ пустимое отклонение фс составляет 2яр рад.

Возможной причиной изменения фс при отсутствии сигнала яв­ ляется расстройка частот 6Ю. Из-за расстройки частот фс за по­

сылку изменяется на величину 2ябм, что за s посылок составит величину

и если бы расстройка частот была основной причиной ухода фазы, то ВПС равнялось бы

Sncl=Ti/Sfi>. (2.84)

Однако часто более существенно в резонансных УС постепен­ ное уменьшение амплитуды выходных колебаний ВИРУ, которое при конечном пороге срабатывания устройств, фиксирующих пе­ реходы через нуль этих колебаний, может стать основным факто­ ром, определяющим время поддержания синхронизма. Обозначим через E(s) закон изменения амплитуды выходного сигнала ВИРУ после выключения входного сигнала в нулевой момент времени, причем будем считать, что E(s) нормировано к установившемуся значению амплитуды, так что £(0) = 1. Если нормированная та­ ким же образом [величина порога, обусловленного аппаратурными ошибками, равна Е0, то дополнительный уход фазы составит

Кривые E(s) для одиночного контура, двух несвязанных кон­ туров и двух контуров с критической связью соответственно имеют вид:

и построены на рис. 2.5. Цифрами в скобках на рисунке отмечены те же кривые, если масштаб по оси ординат отложен в 2s/P, т. е. соответствует одинаковой дисперсии фс в установившемся ре­ жиме.

Заметим, что если E(s) станет меньше Ео, то синхросигнал не будет вырабатываться, поэтому условие ES= E 0 определяет пре­ дельное время поддержания синхронизма S*nc, не зависящее от

46

2.6. Исходные соотношения для расчета статистических характеристик фазы синхросигнала в гребенчатых УС

Для гребенчатых УС можно указать несколько алгоритмов УФС. Поэтому представляется уместным «обобщенную» часть ра­ счета УС, т. е. применимую для гребенчатых УС с любыми УФС и ВП, ограничить нахождением связи между статистическими ха­ рактеристиками сигналов на входе и выходе гребенчатого нако­ пителя. Результаты такого расчета будут отправными для расче­ та УС с произвольным конкретным УФС.

Распределение выходного сигнала накопителя. В соответствии с (2.16) отклик рециркулятора на входной сигнал \(t), определяе­ мый интегралом Дюамеля,

где Е(х) — целая часть х.

47

Таким образом, любое значение процесса y(t) представляет собой сумму сдвинутых во времени на интервал, кратный длитель­ ности посылки, значений процесса %(t), который является перио­ дически стационарным. На основании свойства 3 (см. § 1.7) по­ следовательность \( t—iT) при фиксированном t стационарна. Следовательно, при -п«С'1 и достаточно большом t каждое значение y(t) представляет собой сумму большого числа примерно одина­ ково распределенных слагаемых. В силу центральной предельной теоремы распределение такой суммы близко к нормальному1). Бу­ дем поэтому искать моментные функции только первых двух по­ рядков процесса y(t).

Рассмотрим сначала случай точной настройки, когда время задержки совпадает с длительностью посылки.

Моментные функции выходного сигнала накопителя при точ­

ляется периодической функцией времени, инвариантной к сдвигу

*) Можно показать, что одномерные кумулянты порядка п этой суммы, нормированные к дисперсии в соответствующей степени, имеют порядок ti0’5"-1 при 3.

48

Корреляционная функция К Е (t, т) периодически стационарно­

го процесса l(t) инвариантна к изменению / на величину, кратную длительности посылки, поэтому

Если процесс \( t) достаточно широкополосный, то корреляци­ онные связи распространяются на небольшое число посылок и /С| (t, kT-\~Aт) ж 0 при k, большем нескольких единиц. В этом слу­

чае нижнее и верхнее значения индекса суммирования во второй сумме в (2.94) можно без большой ошибки заменить на — оо и оо соответственно. При достаточно малых rj можно также заме­ нить (1—ri)—k на 1- Тогда «место внутренней суммы в (12.94) полу­ чим сумму

оо оо

которая представляет собой характеристику входного процесса и не зависит от индекса суммирования i в (2.94). Эту сумму удоб­ но рассматривать как функцию от аргументов ф= и 0= а)гДт, где (Ог= 2я/7\ Обозначив

и воспользовавшись формулой для суммы членов геометрической прогрессии, а также приближенными равенствами г\(2—т])«2т], (1—ri)2« l —2т], имеем вместо (2.94)

В установившемся режиме (при s->- оо) отсюда имеем

Аналогичную (2.92) и (2.96) связь между статистическими ха­ рактеристиками входного и выходного процессов гребенчатого фильтра в виде линии задержки с М отводами, подключенными ко входу сумматора, можно представить в виде:

где min {•} означает наименьшее из заключенных в скобки чисел, |v|s$M .

При s>M (в установившемся режиме) имеем

(2.98а)

При | v | >Л1 корреляционная функция равна нулю.

49