книги из ГПНТБ / Гинзбург, В. В. Теория синхронизации демодуляторов

Влияние ВИРУ на математическое ожидание определя­ ется слагаемым ux(s). Рассмотрим это влияние подробнее.

В установившемся режиме функции Ui(t) не зависят от вре­ мени и связаны простыми соотношениями с передаточной функ­

С позиций математической статистики величина фо(Х) пред­ ставляет собой смещенность оценки идеального значения фс. Ин­ тересно указать условия, при которых оценка будет несмещенной, т. е. фо(Х) = 0. Первым условием является равенство ai = 0, выпол­ нение которого определяется алгоритмом ВП. Будем считать, что это условие выполнено. Тогда для несмещенности оценки в уста­ новившемся режиме необходимо, чтобы 0(сот) =0(соо), т. е. чтобы ФЧХ ВИРУ была постоянна в области всех возможных значений тактовой частоты сот- В физически реализуемом ВИРУ возможно только приближенное постоянство.

Для того чтобы при ai = 0 математическое ожидание фс было равно нулю, в переходном режиме необходимо и достаточно, что­ бы u(s), а следовательно, и отношение Ui(t)/U2(t) не зависело от времени. Для постоянства отношения, как видно из (2.5) и (2.8), достаточно чтобы Ф(7) = Фо(0 + const. При переменном бщ этому условию удовлетворить невозможно. При точной настройке

Эквивалентное этому условие на «частотном языке» записыва­

т. е. АЧХ ВИРУ должна быть четной функцией относительно ча­ стоты соо, а ФЧХ — нечетной при переносе начала координат в точку (©о. Фо)- Такие ВИРУ часто называют ВИРУ с симметрич­ ными частотными характеристиками. При их точной настройке

Корреляционная функция фс. Корреляционная функция фс выражается через импульсную реакцию ВИРУ (2.5) и моментные функции первых двух порядков преобразованного сигнала %(t) путем подстановки ф-л (2.11) в (2.15). Получаемое непосред­ ственно при подстановке выражение оказывается довольно слож­ ным. Ему можно придать более простой вид, позволяющий, к то­ му же, более наглядно пояснить смысл полученных ниже соотно­

где U(t) — огибающая переходной реакции (отклика на скачок синусоидального напряжения) ВИРУ; А — амплитуда первой гар­ моники математического ожидания сигнала на входе ВИРУ, т. е. полезного сигнала. Для характеристики помехи будем пользовать­ ся определенными ф-лой (2.9) коэффициентами которые при i= j можно трактовать как дисперсию коэффициентов при первой гармонике реализации процесса £(t), при i=£j — как взаимную корреляцию между этими коэффициентами. Смысл такой трак­ товки легко пояснить на примере, когда интервал корреляции процесса l(t) значительно меньше длительности посылки. Тогда при замене т на ti = t+ i интервалы интегрирования во внешнем и внутреннем интегралах в (2.9) должны примерно совпадать и со­ ставлять (О, Т). При этом коэффициенты

г г

т. е. (с точностью до множителя 4) равны центральным момен­ там второго порядка пары случайных коэффициентов при первой гармонике разложения отрезка сигнала %(t) в ряд Фурье [32]. Иногда полезно на основании ф-лы (1.18) выразить Bij через по­ стоянную составляющую и коэффициенты при второй гармонике разложения K ^(t, х) в рад Фурье. Например,

31

Наконец, для характеристики накопительных свойств ВИРУ могут служить функции

где

t

Vu(t, т) = Т J G, (г) Gj (z-f т) dz.

о

В самом деле, V^(t, х)/2Т представляют собой при i— j авто­ корреляционные, а при 1 =й=/ взэимокорреляционные функции про­ цессов на выходах двух гипотетических ВИРУ с огибающими им­ пульсных реакций Gilt) и G2(t) и с одинаковыми вч заполнения­ ми при подаче на входы обоих ВИРУ одного и того же белого шума с единичной спектральной плотностью. Поэтому в устано­ вившемся режиме в соответствии с теоремой Винера—Хинчина [88, 125] эти функции определяются через передаточные функции с помощью преобразований Ф'урье

во

— со

Инерционность ВИРУ отражает величина обратная Дю. Коли­ чественной характеристикой инерционности может служить узкополосность

Инерционность отражают и функции ц^(оо, v), которые, как следует из сопоставления (2.34), (2.35) и (2.36), имеют сходный «физический» смысл с величиной \/Р, что, в частности, видно из соотношения

i/u (oo, 0) -f пм (оо, 0) = 1/Р.

32

Для придания компактности выражению для корреляционной функции фс вместо функций V i j ( s , х ) воспользуемся функциями

которые отличаются от Vij(s, х) фазами квадратурных огибающих импульсной реакции ВИРУ.

Введенные и (разъясненные в ф-лах '(2.27)—1(2.38) обозначения позволяют придать корреляционной функции фс, получаемой из подстановки (2.11) в (2.15), следующий вид:

циальных и гармонических функций, не вызывает принципиаль­ ных трудностей, в отличие от коэффициентов Ь*ц, которые, как от­ мечалось, обычно не удается вычислить точно. Примеры вычисле­ ния функций v * i j ( s , х ) для конкретных ВИРУ даны в следующем параграфе. Однако некоторые общие соотношения можно полу­ чить и не задавая частотных характеристик ВИРУ, если ограни­ чить класс рассматриваемых ВИРУ цепями с симметричными ча­ стотными характеристиками при точной настройке.

Корреляционная функция фс при симметричных частотных ха­ рактеристиках ВИРУ. При точной настройке ВИРУ с симметрич­

что после подстановки в (2.39) приводит к следующему выраже­ нию для 1шрреля!ци.о|н1ной функции фс:

Изменение корреляционной функции во времени в ф-ле (2.42) определяется функцией v(s, v). Приняв в этой функции v = 0 , най­ дем дисперсию фс:

2.4. Резонансные УС с некоторыми типичными ВИРУ

ВИРУ в виде колебательного контура. Импульсная реакция ко­

34

где Ай)*= о)о/2Q — декремент затухания; Q — добротность кон­ тура.

Колебательный контур представляет собой ВИРУ с симметрич­ ной частотной характеристикой. Сопоставляя (2.48) и (2.5), .видим, что

На основании (2.49) и (2.8) найдем функции Ui(t). Интегри­

откуда на основании известной формулы для разности двух арк­ тангенсов [18] имеем

ожидание фс, как следует из (2.19), может быть представлено в виде

В установившемся режиме второе слагаемое равно нулю, по­

При точной настройке математическое ожидание фс постоянно и равно

Общее выражение для корреляционной функции фс даже в рас­ сматриваемом конкретном случае оказывается довольно громозд­ ким.

Для нахождения дисперсии фс в установившемся режиме об­

Для оценки влияния расстройки на дисперсию фс заметим, что обычно в устройствах синхронизации недопустимы отклонения ма­ тематического ожидания фс, большие нескольких процентов дли­ тельности посылки. Поэтому при выборе параметров накопитель­ ного устройства необходимо в соответствии с (2.53) обеспечить небольшие значения е, например, е<0,1я (среднее значение фс не больше 5% длительности посылки). Если при этом Ь*ц и Ь*22 имеют одинаковый порядок, то среднеквадратическое отклонение фс за счет расстройки изменяется не более чем на 5%. Часто, од­ нако, порядок величин Ь*ц и Ь*п сильно различается. Например, при амплитудно-импульсной модуляции и при отсутствии помех может оказаться, что форма продетектированных импульсов неиз­

вероятностью появления импульса. Тогда при точной настройке дисперсия фс равна ‘нулю, а три расстройке составит b*ne,2n/4Q.

Влияние расстройки на дисперсию фс проявляется, главным образом, при очень слабых помехах, когда флуктуации фс весьма незначительны и существенно не влияют на характеристики при­ емника. Поэтому влиянием расстройки на дисперсию фс обычно можно Iпренебречь i[32] Оказанное относится не только к ВИРУ в виде колебательного контура, но и к другим типам ВИРУ.

Корреляционная функция фс при точной настройке определя­

точной настройке. Умножая числитель и знаменатель последнего сомножителя (подученного выражения на ехр(—ns/QQ), имеем

т. е. дисперсия в переходном режиме изменяется по закону гипер­ болического котангенса. При s-*- 00 гиперболический котангенс стремится к единице и из (2.59) получаем (2.55). Таким образом, дисперсия в установившемся режиме в P=2Q/n раз меньше ве­ личины Ь0, которую можно рассматривать как дисперсию после окончания первой посылки.

36

Корреляционная функция фс в установившемся режиме, как видно из (2.58), может быть записана в виде

откуда с учетом (2.46) и (2.57) находим коэффициент корреля­ ции:

При измерениях характеристик УС полезно знать интервал корреляции фс. Воспользуемся одним из известных определений этого интервала [88]

посылок

ВИРУ в виде системы колебательных контуров. Простейшее ВИРУ в виде колебательного контура может не обеспечивать тре­ буемого (качества синхронизации. Наир имер, как показано ниже такое ВИРУ менее устойчиво к срывам синхронизма, чем более сложные ВИРУ.

В табл. 2.1 приведены характеристики ВИРУ, позволяющие упростить вычисления параметров распределения фс (в основном для случая точной настройки), а также даны некоторые статисти­ ческие характеристики фс. Все представленные в табл. 2.1 ВИРУ имеют симметричные частотные характеристики1).

Как видно из табл. 2.1, при одинаковой добротности контуров ВИРУ с критической связью имеет такую же полосу пропускания, что и одноконтурное ВИРУ, хотя и обладает большей прямоугольностью АЧХ. Полоса пропускания ВИРУ из двух несвязан­ ных контуров вдвое более узка, и соответствующие УС обладают вдвое меньшей дисперсией фс. Интересно оценить сужение поло­ сы (и уменьшение дисперсии фс) в системе из п последовательно соединенных контуров. Как известно [39], квадрат модуля пере­ даточной функции такого ВИРУ при п >3 приближенно описыва­ ется гауссовой кривой

(2.64)

а аргумент равен сумме отдельных аргументов

* Эти характеристики не являются точными и хорошо передают только диа­ пазон частот около частоты шоТочные характеристики несимметричны [39].

37

Интегрируя &2(ш), нетрудно показать, что полоса пропускания ВИРУ

т. е. в У пп меньше полосы одиночного контура и в 0,5 Y лп меньше полосы двух контуров. При я = 1 0 полоса сужается соот­ ветственно примерно в 6 и в 3 раза.

Сравнение различных ВИРУ по полосе пропускания имеет смысл, когда, например, задана добротность одиночного контура и необходимо максимально уменьшить дисперсию фс путем суже­ ния полосы. Чаще, однако, добротность контура может быть прак­ тически произвольной и ограничивающим фактором является рас­ стройка тактовой частоты сигнала относительно центральной ча­ стоты полосы пропускания ВИРУ. В этом случае более интересно сопоставить дисперсии фс при одинаковых математических ожи­ даниях, которые совпадают со значениями ФЧХ ВИРУ на частоте (от. Удобнее выполнить обратное сравнение: выбрав одинаковы­ ми полосы пропускания ВИРУ Дш (и, следовательно, дисперсии фс), сравнить ФЧХ. С этой целью представим ФЧХ ВИРУ как функции 0н(2г) от нормированной к полосе пропускания разности между тактовой частотой и частотой настройки zT= (шт—шо)/До>=

- в . *

Воспользовавшись табл. 2.1, а также (2.65) и (2.66), для ВИРУ в виде одиночного контура, двух последовательных несвязанных контуров, системы из двух контуров с критической связью и п по­ следовательных несвязанных контуров, получим:

последовательными и связанными контурами, у которых матема­ тическое ожидание фс при шт—юо=0,25 Дш больше соответствен­

тельности посылки). ВИРУ из 10 колебательных контуров значи­ тельно хуже названных выше. Смещение математического ожида­ ния при той же расстройке составляет Ото(0,25) = 1,4, т. е. в два раза больше, чем у первых трех ВИРУ.

39