книги из ГПНТБ / Гинзбург, В. В. Теория синхронизации демодуляторов

b

Отметим, что постоянная составляющая моментной функции второго порядка обладает свойством четности по т. В самом деле, из определения (1.16) следует, что М| ( /,T)=Afg (/+ т ,—т). С другой стороны, постоянная составляющая а0(т)

инвариантна к переносу начала координат на величину т. Отсюда следует, что

т. е. является четной функцией т.

Аналогичные формулы имеют место и по отношению к кумулянтным функ­

циям.

3. Последовательность выборочных значений периодически стационарного процесса, взятых через интервал, кратный интервалу периодической стационар­

периодически стационарным.

Заметим, что переходный процесс, возникающий при подключении периоди­ чески стационарного процесса на вход линейной системы с постоянными пара­ метрами, не является периодически стационарным.

6. Огибающая и фаза узкополосного периодически стационарного процесса,

средний период колебаний которого равен интервалу периодической стационар­ ности, являются стационарными процессами.

Действительно, огибающая и фаза процесса определяются через линейное преобразование Гильберта, которое для периодически стационарного процесса, заданного на всей временной оси, можно считать однородным (с постоянными параметрами), а также через нелинейные неинерционные преобразования, связы­ вающие исходный и преобразованный по Гильберту процессы с огибающей и фазой. Поэтому огибающая и фаза на основании свойств 4 и 5 являются перио­ дически стационарными и их многомерные функции распределения инварианты к сдвигу на Т. Но в силу узкополосности процесса изменением огибающей и фазы на интервале, меньшем Т, можно пренебречь. Следовательно, плотности вероятностей огибающей и фазы инвариантны к сдвигу на произвольный интер­ вал времени, т. е. огибающая и фаза стационарны.

Периодически эргодические процессы. Свойство периодической эргодичности по отношению к периодически стационарным процессам имеет тот же смысл, что и свойство эргодичности по отношению к стационарным, а именно устанавливает

20

Назовем процесс %(t) периодически эргодическим, если можно указать такой интервал времени Т, что математическое ожидание любой функции от произ­ вольной совокупности выборочных значений процесса с вероятностью 1 совпа­

дает с временным периодическим средним, соответствующим любому кратному Т интервалу, т. е.

«Обычный» эргодический процесс является частным случаем периодически эргодического, когда в качестве Т можно использовать произвольный интервал.

Как отмечалось выше, математическое ожидание периодически стационарного процесса является периодической функцией времени. Если процесс периодически эргодический, то в соответствии с (1.23) оценку математического ожидания можно получить усреднением во времени:

гребенчатый фильтр. Для выделения и усреднения во времени первой гармоники математического ожидания служат узкополосные фильтры.

Свойство периодической эргодичности позволяет двумя способами находить коэффициенты ряда (1.18)— путем усреднения во времени и по реализациям.

Сигнал синхронной системы связи как периодически стационарный процесс.

Соответствие между сигналом синхронной системы связи и периодически стацио­ нарным процессом удобно устанавливать с помощью понятия процесса, опреде­ ленного векторной последовательностью, и нижеследующего утверждения отно­ сительно такого процесса.

Будем говорить, что процесс \ ( t ) определен векторной последовательностью

{bj} с элементами bj —(blj, ... , bmj), если на интервале (/— \ ) T < t ^ . j T он одно­

инвариантны и статистические характеристики произвольной выборочной сово­ купности значений процесса %(t). что и требовалось доказать.

Процесс модуляции сигнала в синхронной системе связи заключается в пре­ образовании последовательности информационных символов в сигнал по правилу, определяемому видом модуляции. В ряде случаев это преобразование таково, что информационный символ полностью определяет форму сигнала на посылке. Если при этом последовательность информационных символов стационарна, то на основании сформулированного выше утверждения сигнал на выходе моду­ лятора является периодически стационарным с периодом стационарности, равным длительности посылки.

При использовании корректирующих кодов стационарной можно считать по­ следовательность кодовых комбинаций (элементы последовательности здесь явля­ ются многомерными). Поэтому выходной сигнал модулятора и в этом случае является периодически стационарным, однако период будет равен длительности кодовой комбинации.

Преобразования сигнала после модулятора, осуществляемые в передатчике и канале связи, часто можно представить в виде последовательности независящих

21

2

РАЗОМКНУТЫЕ УСТРОЙСТВА СИНХРОНИЗАЦИИ

2.1. Накопительные устройства разомкнутых УС

Центральным узлом .разо-минутых УС с точки зрения их ана­ лиза, который выполняем в данной главе, является накопительное устройство (НУ). В разомкнутых автоматических устройствах тех­ ники связи НУ обычно являются аналоговыми. Практически ин­ тересными в настоящее время представляются три типа аналого­ вых НУ: в'виде выссжоизбирательного резонансного устройства, на­ строенного на тактовую частоту; в виде гребенчатого фильтра, «зубья» которого совпадают с гармониками тактовой частоты; в виде синхронизируемого автогенератора. Последнее представляет собой нелинейное .устройство с обратной связью и здесь не рас­ сматривается.

Первые два типа НУ являются линейными. Остановимся вкрат­ це на принципах их работы.

Гребенчатыми фильтрами ГФ обычно называют линейные уст­ ройства с импульсной реакцией, имеющей вид последовательности 6-функций с интервалом Т между ними, либо, что то же самое, с АЧХ в форме «гребешка», настроенного на гармоники частоты 1/7’ [89]. Два основных типа ГФ представлены на рис. 2.1. Первый

Рис. 2.1. Гребенчатые фильтры:

а) в виде ЛЗ с отводами и сумма­ тора; б) в виде рециркулятора

ГФ (рис. 2.1а) состоит из линии задержки с М отводами, соот­ ветствующими изменению задержки на Т, и сумматора. Импульс­ ная реакция такого ГФ имеет вид

1=0

Второй ГФ (рис. 2.16) представляет собой так называемый ре­ циркулятор, состоящий из сумматора, линии задержки на Г и ма-

23

сштабного усилителя с положительным коэффициентом передачи 1—ц, несколько меньшим единицы (0<г|<С1). Импульсная реак­ ция такого ГФ

( = 0

Высокоизбирательное резонансное устройство (ВИРУ) пред­ ставляет собой весьма узкополосную цепь, настроенную на так­ товую частоту 1/7". Импульсная реакция ВИРУ

где G(t) и Ф(7) — малоизменяющиеся на интервале Т функции времени; оот= 2я/7\

Процесс накопления в ВИРУ можно пояснить следующим об­

чески стационарный процесс (см. § 1.7), и, следовательно, мате­ матическое ожидание входного сигнала ВИРУ является периоди­ ческой функцией времени с периодом, равным длительности по­ сылки Т (или длительности п посылок при использовании блоч­ ных последовательных корректирующих кодов длиной п). ВИРУ выделяет первую (или соответственно n-ю) гармонику математи­ ческого ожидания с частотой сот, которая является в данном слу­ чае полезным сигналом. Каждый отрезок полезной части (мате­ матического ожидания) входного сигнала |(7) длительностью Т вызывает в ВИРУ медленно затухающие по закону G(t) колеба­ ния. Амплитуда этих колебаний пропорциональна первой гармони­ ке указанного отрезка (при периодическом продолжении этого от­ резка). Совокупность отрезков, составляющая сигнал |(Y), вызы­ вает колебания с амплитудой, пропорциональной сумме амплитуд воздействий отдельных отрезков.

Устройства синхронизации с накопителями в виде ВИРУ — единственные широко используемые на практике разомкнутые УС. Они получили название резонансных УС и описаны в [28, 42, 43, 44, 59, 100, 107, 108, 118, 148, 150]. Исследование этих УС на ба­ зе результатов [32] составляет основное содержание данной главы.

УС с накопителем в виде ГФ, называемые далее гребенчаты­ ми УС, особенно УС с накопителем в виде рециркулятора, могут найти применение в высокоскоростных системах связи, когда дли­ тельность требуемых задержек невелика и построение линии за­ держки технически осуществимо. Отметим, что ГФ широко при­ меняются при накоплении последовательностей импульсных сиг­ налов. Расчетам ГФ посвящено много работ, результаты которых довольно полно отражены в [89] и могут быть использованы при расчетах УС. Необходимо, однако, помнить, что сигнал на входе гребенчатого накопителя в УС представляет собой результат не­ линейного 1П'реобраз'01ва-ния в ВП (ibxoiaihom преобразователе), при котором понятия «сигнал» и «шум» нуждаются в уточнении, «шум»

24

не является стационарным и т. д. Поэтому расчет гребенчатого УС имеет некоторые специфические особенности.

Разомкнутые УС различаются в основном ВП и НУ. К сожа­ лению, пока нет сколько-нибудь общих методов исследования ВП, приводящих к удобным расчетным соотношениям, и каждый ВП приходится анализировать отдельно. Поэтому общие соотно­ шения удается установить только на основе анализа НУ, являю­ щихся линейными устройствами.

Исследование УС разбивается на три этапа. На первом этапе по заданному алгоритму УФС устанавливается связь между ис­ следуемыми характеристиками фс и статистическими характери­ стиками выходного сигнала накопителя. На втором этапе с по­ мощью известных методов анализа линейных цепей устанавлива­ ется связь между статистическими характеристиками преобразо­ ванного сигнала и статистическими характеристиками выходного сигнала накопителя, а через них — и исследуемыми характеристи­ ками фс. Полученные на втором этапе соотношения задают сово­ купность статистических характеристик преобразованного сигна­ ла, необходимую для исследования УС. На третьем этапе по из­ вестным статистическим характеристикам входного сигнала и ал­ горитму ВП определяется совокупность статистических характе­ ристик преобразованного сигнала.

Первые два этапа исследования можно выполнить «раз и на­ всегда». Решению этой задачи (отдельно для резонансных и гре­ бенчатых УС) посвящена данная глава книги. Третий этап выпол­ няется только применительно к конкретному УС. Примеры ана­ лиза конкретных УС приведены в четвертой главе.

2.2. Исходные соотношения для расчета статистических характеристик фазы синхросигнала в резонансном УС

Выражение фазы синхросигнала через квадратурные огибаю­ щие. Обычно в резонансных УС синхросигнал «привязан» к мо­ менту пересечения выходным сигналом ВИРУ y(t) некоторого уровня. Как правило, это нулевой уровень, которому соответствует наибольшая скорость изменения выходною напряжения ВИРУ и, следовательно, наименьшая аппаратурная ошибка. Импульсы пе-

ресечений нулевого уровня получают с помощью измерителя зна­ ка («sign»)1) и дифференцирующей цепи (d/dt) (рис. 2.2). Син­ хроимпульс формируется с некоторой задержкой AT=A<p/ci>r от­ носительно импульса пересечения, например, вверх, когда произ-)*

*) Подобные устройства называют также релейными схемами, усилителямиограничителями, схемами сравнения с нулем и т. п.

25

водная напряжения у (t) положительна. Для получения синхро­ импульса в момент границы между посылками служит ограничи­ тель снизу («Огр») и устройство задержки на ДТ.

Так как выходное напряжение ВИРУ

реакцию ВИРУ с центральной частотой полосы пропускания юо можно предста­ вить в одном из видов

Узкополосный процесс y(t) на выходе ВИРУ выражается через преобразован­ ный сигнал 5(7) на входе ВИРУ с помощью интеграла Дюамеля. Сопоставляя получаемое выражение с (2.3), видим, что квадратурные огибающие

(2 .6)

Найдем моментные функции первых двух порядков квадратурных огибающих. Усредним (2.6) и подставим вместо математического ожидания < 5(Х )> пе­ риодически стационарного процесса 5(X) сумму ряда Фурье (1.18) при п=1. Отбросив в полученных подынтегральных выражениях «быстроосциллирующие»

слагаемые, находим математические ожидания квадратурных огибающих

Обозначения $i(x) для гармонических функций здесь введены для сокраще­

ния записей.

Величины Ai совпадают (с точностью до множителя 2) с математическими ожиданиями коэффициентов при первой гармонике разложения периодически продолженного отрезка процесса |(7) в ряде Фурье.

Найдем корреляционные функции Kn(t, T) = < Y i (i)Yi( t + t ) > , где $i(t) = = Yi(t)—< Y i ( t ) > — центрированная огибающая.

26

Каждая из четырех корреляционных функций K a( i, x ) представляется, как видно из (2.6), в виде суммы четырех слагаемых. Проделаем необходимые для нахождения этих корреляционных функций выкладки на примере одного иа

слагаемых функции Ku(t, т), равного

<<+т

— sin 2(0r г sin (Oj. тх] d x xdz.

Обычно корреляционные связи между значениями процесса %(t) довольно быстро ослабевают с увеличением xi и интервал значений хх, при которых кор­ реляционная функция К^ (z.Xi) заметно отлична от нуля, имеет порядок Т. Тогда

при вычислении внутреннего интеграла практически без ущерба для точности можно, во-первых, пренебречь изменением квадратурной огибающей Gi(t—z+T i), т. е. принять ее равной Gx(t—г), и, во-вторых, заменить область интегрирования

—z < X i < t + x —z на —°°<T i<oo. Поменяв затем порядок интегрирования и воспользовавшись с учетом (1.18) разложением K^(z,Xi) в ряд Фурье, найдем,

отбрасывая в полученном выражении «быстроосциллирующие» слагаемые, выра­ жение для рассматриваемого двойного интеграла. Аналогично найдем выражения для других интегралов, определяющих корреляционные функции Ka(t,x). Послед­

Заметим, что величины Вц можно рассматривать как моменты второго по­ рядка коэффициентов при первой гармонике ряда Фурье отрезка процесса %(t).

Формулы (2.7) и (2.11) с учетом обозначений (2.8) — (2.10) определяют моментные функции первых двух порядков отклика узкополосной цепи на периоди­ чески стационарный процесс.

Так как процесс на выходе ВИРУ близок к нормальному, то моментные функции высоких порядков необходимы обычно только для оценки близости про­ цесса к нормальному. Такие оценки для стационарных процессов приводятся, например, в [125]. Для периодически стационарного входного процесса эти оценки можно найти по методике, аналогичной использованной выше. Можно показать, что ,в 'установившемся режиме многомерные кумулянты порядка п распреде­

27

где Ygn— нормированный кумулянт п — порядка распределения упомянутых

выше коэффициентов при первой гармонике разложения процесса £(7) в ряд Фурье. Например, для ВИРУ в виде колебательного контура с добротностью Q кумулянты совместного распределения квадратурных огибающих имеют порядок

7n = Yt„2(Q/2n),-°’5" /г-1 .

В частности, коэффициенты асимметрии уз и эксцесса уч обратно пропор­

циональны соответственно Y Q и Q.

Таким образом, при достаточно узкополосном ВИРУ квадратурные огибаю­ щие Yi(t) можно считать двумерным нормальным процессом с моментными функ­

циями (2.7) и (2.11).

Распределение фазы синхросигнала. Одномерное распределе­ ние фс с точностью до Аф совпадает с распределением фазы дву­ мерного вектора с нормальными компонентами, приведенным в приложении 4. Тошное выражение для плотности /вероятности /весь­

квадратурных компонент над их среднеквадратичными отклоне­ ниями одномерное распределение фс близко к нормальному. Рас­ пределение фс оказывается нормальным с теми же параметрами и при ее аппроксимации линейными членами разложения арктан­ генса в (2.4) в двумерный ряд Тейлора в окрестности точки, со­ ответствующей математическим ожиданиям компонент, т. е.

к длительности посылки (как функция номера посылки).

Можно показать, что точность аппроксимации (2.12) может оказаться недостаточной только при очень сильных искажениях сигнала, когда характер распределения фс несуществен, так как пропускная способность системы связи при этом близка к нулю.

В соответствии с (2.12) фс представляет собой линейную ком­ бинацию двух нормальных процессов и поэтому также является нормальным процессом. Для его описания достаточно знания моментных функций первых двух порядков, т. е. математического ожидания и корреляционной функции. Как видно из (2.12), эти функции следующим образом связаны с моментными функциями квадратурных огибающих:

Выразим фо(Х) и (s, v) через статистические характеристи­ ки входного сигнала ВИРУ.

28

2.3. Моментные функции фазы синхросигнала в резонансном УС

Математическое ожидание фс. Математическое ожидание фс выражается через статистические характеристики входного сигна­ ла ВИРУ и его импульсную реакцию (2.5) путем подстановки ф-л (2.7) и (2.13) в (2.14). В результате подстановки после неслож­ ных преобразований получим

Поясним смысл полученных формул. ,Величины At и А2 про­ порциональны в соответствии с (2.8) коэффициентам при первой гармонике периодического математического ожидания Эти величины можно рассматривать как компоненты Вектора по­

лезного сигнала, накапливаемого ВИРУ. Величина а представ­ ляет собой фазу этого вектора (фазу первой гармоники). Функ­ ции Ui(t) и U2(t) можно рассматривать как квадратурные оги­ бающие отклика ВИРУ при подаче на его вход синусоидального напряжения частоты шг с огибающей в виде единичного скачка (единичной функции) [39, 51, 135]. Функция u(s) — фаза отклика. Таким образом, математическое ожидание фс представляет со­ бой алгебраическую сумму аппаратурного фазового сдвига Дф, фазы первой гармоники математического ожидания входного сиг­ нала l(t) и фазы отклика ВИРУ на включение синусоидального напряжения.

Постоянный аппаратурный сдвиг Дф выбирается разработчи­ ком аппаратуры так, чтобы в некоторых идеализированных усло­ виях математическое ожидание фо(з) соответствовало наилучше­ му положению синхросигнала. В зависимости от вида решающе­ го устройства наилучшим является обычно положение в середине или в конце посылки. В последнем случае Дф необходимо принять равным идеализированному значению разности u(s)—а.

Вид функции u(s) определяется типом ВИРУ и величиной рас­ стройки бш, и если ВИРУ задано, то выбор идеализированного

значения этой функции сводится к выбору идеализированных зна­ чений s и бш. Целесообразно принять s —оо, 6^ =0, т. е. взять ус­

тановившееся значение угла u(s) при точной настройке. Величина а может зависеть от условий в канале связи. В качестве идеали­

где uo(s) — вид функции u(s) при точной настройке.

где сц= а—ао, U i ( s ) = u(s)—ц0(<»).

29