книги из ГПНТБ / Гинзбург, В. В. Теория синхронизации демодуляторов

где I (to, t*) — функция потерь, рассматриваемая как плата за вынесение решения t* о положении границы посылок (в общем случае — оцениваемого параметра), в то время как в действи­ тельности граница попала в момент t0. При функции потерь I(t0, t*)=p(t*—t0) из (7.2) получаем (7.1).

Величина Рош (и R) зависит от вида оператора t*(x). Задача синтеза оптимального УС сводится к выбору оператора, достав­ ляющего минимум Р0ш-

Как видно из гл. 6 , условная вероятность ошибки p(t*—10) яв­ ляется довольно сложной функцией момента t* (или фазы синхро­ сигнала). Приходится поэтому заменить p(t*—to), например, так

•синтеза. Функция потерь (7.3) означает, что любая ошибка при

к логарифму условной плотности вероятности, еши последняя имеет острый минимум в окрестности решений t*, близких к t0. По-ви­ димому, такая ситуация довольно типична при оптимальной об­ работке сигнала в демодуляторе, особенно при больших отноше­ ниях сигнал/помеха.

Часто рассматривается также квадратичная функция потерь

I(t0, t*) = ( t * - t 0)\ ’ (7-4)

которая в ряде случаев позволяет упростить синтез. Иногда, к то­ му же, оказывается, что синтезированные с функциями потерь (7.3) и (7.4) оптимальные оценки совпадают [82, 136].

Методы синтеза и структурные схемы оптимальных УС. При синтезе оптимальных УС удобно выразить плотность вероятности

wx (x) в (7.1) через условную плотность вероятности вектора па­ раметров сигнала х при данном значении оцениваемого парамет­

ра to, называемую функцией правдоподобия и обозначаемую как

•—►

F(x\t0) или через апостериорную плотность вероятности оценивае­

мого параметра Wt(to\x). В соответствии с формулами полной ве­ роятности и умножения вероятностей

—6,57*

Решение задачи синтеза при функциях потерь (7.3) и (7.4) приведено, например, в [15, 85, 88, 125, 136]. Оптимальный опера­ тор при квадратичной функции потерь, определяющий так назы­ ваемую эффективную оценку [88], равен

—°-5г

-0,5Г

170

Оптимальный оператор три простой 'футкции потерь, опреде­ ляющий оценку с наибольшей апостериорной .вероятностью

Алгоритмы обоих оптимальных УС содержат операцию вычис­ ления функции апостериорной плотности вероятности (фапв) по

реализации сигнала х. Соответствующее устройство в оптималь­ ных УС (рис. 7.1) будем называть вычислителем апостериорной

Рис. 7.1. Структурные схемы оптимальных УС при функциях потерь:

а) простой; б) квадратичной

плотности вероятности (ВАП). Первое УС содержит, помимо уст­ ройства ВАП, фиксатор максимумов (ФМ). Во втором устройстве изменяющаяся во времени фапв подается на перемножитель, на другом входе которого действует линейно изменяющееся на ин­ тервале (—Г/2, 7/2) напряжение. Интегратор (И) к концу инте­ грирования выдает на выходе напряжение, пропорциональное оп­ тимальной оценке положения границы между посылками относи­ тельно, например, момента, когда линейно изменяющееся напря­ жение равно 0. В отличие от устройства рис. 7.1а, здесь может потребоваться еще преобразователь «напряжение—время», не по­ казанный на рис. 7.16.

О вычислении апостериорных вероятностей. Непосредственное вычисление фапв обычно сложно и при синтезе ее представляют через функцию правдоподобия (фп). Выразим алгоритмы (7.6) и (7.7) через фп. По теореме умножения вероятностей

wx (x)

Если априорная информация о положении границ посылок от­ сутствует, то их априорное распределение можно считать равно­ мерным на интервале (—7/2, 7/2), т. е. w0(t) = \!T. С учетом это­ го алгоритм (7.6) при подстановке (7.8) принимает вид

— известная функция вектора параметров сигнала х.

При подстановке (7.8) в (7.7) учтем, что умножение функции на 'положительное число не меняет положения ее максимума. По­ этому вместо (7.7) получим

Таким образом, алгоритмы оптимальных УС могут быть пред­ ставлены через функционалы от фп.

Особенность задачи синтеза УС состоит в том, что вид фп за­ висит от последовательности информационных символов, передан­ ных на интервале наблюдения. В связи с этим возможны два ме­ тода синтеза: с предварительной классификацией, когда одновре­ менно выносится решение о переданном варианте информацион­ ной последовательности и о положении границы посылок, и без классификации, когда выносится решение только о положении гра­ ницы посылок, а фп усредняется по реализациям информационной

Ниже используется в основном второй подход.

Приведенные алгоритмы и схемы рис. 7.1 решают задачу син­ теза оптимальных УС. Такое решение, однако, не всегда пригод­ но для практического использования, так как простота схем 7.1 является кажущейся. Реализационно ВАП (или используемый вместо него вычислитель фп) оказывается чрезвычайно сложным устройством, алгоритм которого, к тому же, изменяется во време­ ни. Материал последующих параграфов представляет собой, по существу, попытку упростить структуру ВАП применительно к не­ которым частным задачам синтеза.

Полученные ниже упрощенные алгоритмы все же являются довольно сложными. Тем не менее, они, на наш взгляд, представ­ ляют не только академический интерес. С одной стороны, эти ал­ горитмы позволяют оценить потенциальные возможности УС. С другой стороны, развитие интегральной технологии производства уже сейчас позволяет считать реализацию некоторых из синтези­ рованных алгоритмов целесообразной.

Методика синтеза оптимальных УС зависит от наложенных /при синтезе ограничений «а память УС и на то, какие из парамет­ ров сигнала, за исключением границы между посылками и номе­ ра варианта сигнала, неизвестны. Смысл термина «память» опре­ делен ниже.

7.2. Синтез УС с ограниченной памятью

Исходные соотношения. Задача синтеза оптимальной оценки неизвестного параметра сигнала Ао обычно рассматривается для

^ 4 -т) — интервал наблюдения.

172

R(t) — корреляционная функция шума n(t), а под вектором x по­ нимается значение суммы x(t) на интервале наблюдения. Функ­ ция u(t, А) может быть определена также как решение инте­ грального уравнения:

Обычно спектры сигнала и помехи сосредоточены в одной и той же полосе частот и, кроме того, частотная характеристика канала может считаться прямоугольной с полосой пропускания от <о0— £2 до (оо+£2> где Q= jtA/\ AF — ширина полосы. Тогда корреляцион­ ная функция помехи при действии на входе канала белого шума равна

Подставив (7.17) в (7.16) и полагая, что s(t) вне интервала наблюдения равна нулю, заменим пределы интегрирования в (7.16) на бесконечные

— ГSmo Q..{t ~ [г) cos(о0 (t — tt) и (t, A)dt = s(tv А). (7.18)

ЛJ Q (t — t2)

—со

Если спектр сигнала s(t) сосредоточен в полосе частот (о)0—Q, (oo+Q)1), то из (7.18) следует, что

*) Противоречие между ограниченным спектром сигнала и его конечной дли­ тельностью может быть разрешено, как обычно, введением характеристик точ­ ности iBooirpоизведения сигнала на выходе фильтра.

173

По существу, (7.19) означает, что если сигнал незначительно искажается в канале связи и спектр помехи равномерен в полосе пропускания канала, то весовая функция линейного фильтра, та­ кова же, как и при белом шуме.

Первое слагаемое в показателе экспоненты в (7.13) определяет энергетические характеристики сигнала. Во многих задачах, в ча­ стности в задачах синхронизации, влияние оцениваемого пара­ метра на энергетические характеристики незначительно и им мож­ но пренебречь. Второе слагаемое не зависит от сигнала и, кроме того, как показано ниже, часто не зависит от Л. Поэтому оба сла­ гаемые изменяют лишь масштаб фп и могут быть учтены измене­ нием постоянного множителя g' в (7.13). Тогда, приняв во внима­ ние (7.19), запишем фп в виде

сигнале. Допустим, что интервал наблюдений (?, f-\-x) заведомо перекрывает интервал посылки (to—Т, to), т. е. t'<Cto—Т <.t0< t ' + т, причем полезный сигнал вне посылки равен нулю, а внутри ее

принимает с вероятностью pi(i = >1 ,..., I) одно из ‘своих возможных значений

174

Так как Si(t)=0 вне интервала (О, Т), то пределы интегриро­ вания в (7.24) можно заменить па (t—Т, t), если t—T>t', t< t'+ т.

Интегралу в показателе экспоненты можно придать более при­

вычный вид, если, приняв во внимание, что (0 = 0 ПРИ t~>T, за­ менить нижний предел интегрирования на нуль. При этом

Итак, оптимальное УС по одной посылке содержит набор со­ гласованных с вариантами сигнала фильтров, набор нелинейных преобразователей с экспоненциальными характеристиками, уст­ ройство сложения с весами, а также преобразователи с алгорит­ мами (7.9) или (7.10). Существенно отметить, что на входы согла­ сованных фильтров сигнал x(t) поступает непрерывно, а сделан­ ное выше допущение об ограниченности сигнала оказалось излиш­ ним и свелось к ограниченной длительности импульсной реакции согласованного фильтра. Эта длительность и определяет память УС.

Синхронизация по одной посылке при неопределенной фазе си­ гнала. Согласованный фильтр в синтезированном выше УС может быть составной частью РУ когерентного приемника. Аналогичное УС можно синтезировать для оптимального некогерентного при­ емника, обеспечивающего наименьшую вероятность ошибки при равномерном распределении начальной фазы сигнала [56, 132, 137].

Считая для общности систему связи многоканальной, г-й ва­

/= 1

Здесь фу0 — случайные независимые величины, равномерно рас­ пределенные в (—я, я). Полагая, что спектр помехи равномерен в полосе частот, занимаемой сигналом, подставим (7.28) с учетом (7.19) в (7.24). Проинтегрировав полученное выражение по пе­ ременным фуо и заменив с учетом конечной длительности сигнала

175

пределы интегрирования, как это было сделано при известной фор­ ме сигнала, видим, что фп границ посылок

<-r

70(X) — функция Бесселя мнимого аргумента нулевого порядка. Подставляя (7.29) и (7.9) в (7.10), получим алгоритм оптималь­ ных УС, определяющих границы посылок по отрезку сигнала с длительностью Г и с неизвестной начальной фазой.

Синхронизация по нескольким посылкам. Увеличив длитель­ ность анализа сигнала в измерителе параметра, можно улучшить оценку параметра сигнала. Случай, когда интервал наблюдения ограничен (7+1)-й посылкой, отличается от рассмотренного ранее только тем, что сигнал представляет собой последовательность

и по аналогии с ф-лой (7.26) при известной форме сигнала

даче независимых сигналов вероятность p(i, j, .... q), коэффициент y(i, j, .... q) и экспоненциальный сомножитель в (7.31) представ­ ляются в виде произведений, и фп границ посылок

176

Представление фп в форме (7.32) обладает определенными до­ стоинствами. Например, устройство, вычисляющее логарифм фпт

скоторым часто удобнее работать, чем с самой фп, в соответствии

с(7.32) реализуется в виде вычислителя ln^of*]/) и накопителя, состоящего из линии задержки на время IT с отводами и сумма­

тора.

При неопределенной начальной фазе сигнала фп относитель­ но совокупности посылок представляется в виде произведения фп относительно отдельных посылок, если начальные фазы <pj0 на со­ седних посылках независимы. Если же начальные фазы зависимы, то фп более сложна [66].

7.3. Характеристики УС с ограниченной памятью

Характеристики УС, оптимальных при полностью известной форме сигнала. Будем считать, что фп в рассматриваемом случае определяется (7.32) и симметрична относительно положения гра­ ниц посылок. Тогда из (7.9) и (7.10) следует, что обе оптималь­ ные оценки совпадают и можно ограничиться исследованием оцен­ ки наибольшего правдоподобия. Так как максимумы фп и ее ло­ гарифма совпадают, то оптимальная оценка

(7.37)

t

Ni (0

af {

177

Здесь величины Z£ и Л/£ с точностью до постоянного коэффициен­ та совпадают с аналогичными величинами в гл. 6, а ги , ri, rt+l — информационные символы, переданные на трех соседних посыл­ ках. С учетом (7.26), (7.36), (7.38) ф-ла (7.35) принимает вид

мм

у^^Si lnSPiу‘ехр[Ziу~^ +8Ni^~уТ)] =

/=о г=1

/ 2 P /7 /exp[Z1(< - /T ) + 8/Vl ( / - / T ) l [ 2 i ( / - / T ) + e / / | ( < - / T ) ]

2 Pi Y« ехР lzi (< — /т ) + 8 (* — /Т)]

i=o

(7.39)

При больших отношениях сигнал/помеха можно считать пара­ метр е малой величиной и разложить (7.39) в ряд Тейлора по сте­ пеням е. Ограничиваясь первыми двумя членами разложения, имеем

процесса N.-t(t) близка по форме к функции Z£(7) и монотонно убывает с ростом (t—to). Нетрудно показать, что при этом кор­ реляционная функция процесса y'(t, 0 ) также монотонно убывает с ростом (t—10).

178

Разложив (7.40) в ряд Тейлора в окрестности точки t0, прирав­ няв первые члены ряда нулю

где точка сверху означает производную по t, и (решив получен­ ное уравнение относительно t —to, имеем

Приняв e = l, находим математическое ожидание и дисперсию оценки')

Заметим, что здесь, как и в {85], можно уточнять статистиче­ ские характеристики оценок вторым и последующими приближе­

ниями.

Формулы (7.45) и (7.46) определяют характеристики условных оценок положения границ посылок, соответствующих конкретным реализациям сигнала. Если необходимо найти усредненные харак­ теристики оценок, то в ф-лы (7.45) и (7.46) следует подставлять среднее всех возможных реализаций сигнала.

Рассмотрим характеристики условных оценок, которые могут представлять самостоятельный интерес (см. ниже) и через кото­ рые легко выражаются характеристики усредненных оценок.^ Как

t0, чего в действительности может и не быть, как видно из рас­ смотренного ниже примера. Итак, оптимальное УС дает несме­ щенные оценки границ посылок только для таких сигналов, для

<) Формулы (7.45) и (7.46) ораведливы, если t—/о < т к, где тк — время корре­ ляции процесса y(t).

179