Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Гинзбург, В. В. Теория синхронизации демодуляторов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.10.2023

Размер:

9.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2217 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

				n=l
. . . „	It n	n ф \		(6.406)
X sin2	— cos —i-Y		;	(6.406)
	3	3

( 6 .4 0 b )

(6.40r)

- ] ■

В рассматриваемом случае индексы i и j в (6.11) принимают только по одному значению и если все варианты сигнала рав новероятны, то

2	2
Р ф м (Ф- Ф ) = ! —	Ч>. *. /')]-	(6 -4 1 )
Графики функции р ФМ(<р, ф)	при п0= 3 (например,	при AJF=

= 3 кГц, 1/7"= 1200 ив. ед/с) представлены на рис. 6.1в пунктирны ми линиями. Как и следовало ожидать, в \канале с ограниченной полосой частот условная вероятность ошибки с ipocTOM параметра ф возрастает медленнее, чем в канале с неограниченной полосой.

Средняя вероятность ошибки определялась численно по ф-лам (6.12), (U.6 ), (6.36) и 1(6-14). Результаты расчета для канала с неограниченной полосой представлены в виде трафиков на рис. 6.4.

При расчетах предполагалось,	что фазы ф и (ф—ф0) нормаль
ны, имеют нулевые средние и дисперсии о 2		и оф2 . Как видно из
графиков, при слабом сигнале	(при малых И)	и при малых а ф и

Оф средняя вероятность ошибки незначительно отличается от ве роятности ошибки при точной синхронизации (0 ф= 0 ф = 0 ). При

больших h средняя вероятность ошибки мало зависит от h и в основном определяется среднеквадратичными отклонениями <тф и

0 ф. При /г^ З и 0 ф =(Тф*^0,02я средняя вероятность ошибки

практически совпадает с вероятностью ошибки при идеальном ко герентном приеме.

160

К аналогичному выводу приводит оценка Рдоп вероят ности попадания фс и фазы опорного колебания в область значений, где увеличение ве роятности ошибки не превосхо дит некоторой допустимой ве личины (см. § 1.6). Если обе фазы распределены нормально и области допустимых значе ний составляют ф!= Дф<ф< <ф2 = —Л<р и Дф<ф—ф„< < —Дф, то

( * ) ' ( ! ? ■ ) • <642)

Рис. 6.4. Вероятность ошибки при ко

герентном приеме:

------ Оф =0; ------ (Тф =0,08я

Так, при h = 3 и Дф=Аф = 0,1я вероятность ошибки находится в пределах от 10~ 5 до 6 -4 -10~5. При сг^ =стч, = 0,02л вероятность попадания в область —Дф<ф<-|-Дф, —Дф<ф—ф0<Дф составля ет РЯоп=( 14-1,2) 10 -е.

При ограниченной полосе канала связи (п0= 3, 2</Т <2,67) при /г = 3 и Дф= 0,2я, Дф= 0,1л вероятность ошибки изменяется от 8-10~ 5 до 3,3-10-4. Поэтому вследствие (6.42) та же вероятность Рдоп получается при = 0,02л, аф = 0,04л.

Примерно такие же соотношения справедливы и при однократ

ной ФРМ.

Вероятность ошибки при частотной модуляции. Сигналы од нократной ЧМ имеют вид

Si (*, Фю) = а cos (®ю * + Фю). s2 (t, ф20) = a cos (шм t -}- ф20). (6.43

Для канала с неограниченной полосой пропускания при вычис лении условной вероятности ошибки достаточно учесть две сосед ние посылки. Тогда по аналогии со случаем ФМ, полагая, что

^ 1 ~ © 1 о/© 7’ ^ 1 ,		z= Ю20/(Ог	1 ,
можно 'получить условную	вероятность ошибки			подстановкой в
(6.41) формул:
М ф . 4»i.	1) =	Лсоз(ф1 — фю);		(6.44а)
Л2 1(ф- “Фа.	2) =	Л cos (ф2 — ф20);		(6.446)
h n (ф . Ф к Фа. 2 ) = h (cos (фг — ф10) — —			cos (ф2 — ф20) +
V		л

6 - 6 5

161

		2	ф	~
		2	sin 2	~		~ ^20 + Ф1 ~ Фю)
	H--------------------------- cos				—	~ ^20 + Ф1 ~ Фю)	X
		Я	k2— k-L
		X cos - y - (fe2 — 6l) + Y			(Фа +	Ф20~ Ф1 ~ Фю)	(6.44в)
	Л21 (ф. Фт. Ф2.			1) = л [ cos (ф2 — ф20) — Li-Lcos (фх —ф10) +
2	Sm	Ф I		1
2	Sm	2		1	+	Ф1 — ^io)cos ^ 4 * 2 - * l ) +
+ —	—	I—	i----- cos^ - ( ^ —		+	Ф1 — ^io)cos ^ 4 * 2 - * l ) +
Я		г?о	rtj	2
				(Ф2 + Ф20— Фх“ Фю)]} •			(6.44г)
В частности, при равных начальных фазах обоих сигналов и
опорных		колебаний, т. е. при ф!—ф10= ф 2—фго=Ф—фо, условная
вероятность ошибки
^чм(ф’		Ф)	l ~	- j F [hcos ^	—	~~ Y F h cos (ф	ф0) X
	X			sin (k.			(6.45)
	X			k% ki			(6.45)
				k% ki

где (/г2—ki)/T — девиация частоты в герцах.

При (kz—ki)>3 выражение (6.45) можно заменить на

рчм(ф, ф)=г 1 — 0,5/^ [Лсоэ (ф — фо)] — О.б/ 7 [/icos (ф— ф0) (1 — |ф|/я)]. (6.46)

которое отличается от (6.36) только отсутствием множителя Y 2 перед h.

Таким образом, все соотношения для ЧМ легко получить из соответствующих соотношений для ФМ, заменив в последних h на

h / V 2 .

Графики функции рчм (<р, ф) приведены на рис. 6.1в.

6.3.Вероятность ошибки при некогерентном приеме сигналов

соднократной ФРМ и ЧМ

Вероятность ошибки при фазоразностной модуляции. При однократной ФРМ элементарным сигналом является совокупность двух посылок (56, 132, 137] и ва рианты сигнала равны

si (/, Фо) = acos(eM + Фо). 0 < 1 < 2 Т

a cos (ш0 1	+	фо),	0 < t < T	(6.47)
— a cos (со01	+	фо),	Т < t <	2Г .

При известных в месте приема параметрах a, too, Т условная вероятность ошибки является функцией только положения начала интегрирования б. Для

162

канала с неограниченной полосой пропускания, как и при когерентном приеме,

достаточно учесть влияние только

одного соседнего

сигнала.

Подставив

(6.47)

в (6.15) и выполнив интегрирование, получим:

^i(<P.

1) =

агТ cos ф0,

^ 1 (ф.

1) =

— а%Т sin ф„,

Х,(«р, 2,

1) = а2Г

Ч'о)

1 — ^~ J cos

-----— sin k ф cos (k ф +

Yi (Ф, 2, 1 )1=—а?Т

sin 4>o +

sin

sin (Аф +

ф0)^ .

Л2(ф, 2,

2) =

a2T

^ l —

j cos ф0 -----— sin k qtcos (k ф +

ф0)| .

^г(Ф> 2.

2) =

— агТ j^l —

sin ф0 -f- ■— sin k ф sin {k ф + ф0)| ,

Х2(ф, 1,

2) =

А:1(ф,

1), Y.2(ф,

1, 2) = (ф,

1),

ХИф, 2, 2) = Yi (ф, 2,

2) = Хг (ф, 1, 1) =

У^2 (ф, 1,

1) = 0 ,

A'j (ф,

1, 2) = — аЧ | ^ -

cos фо +

sin k ф cos (k ф +

ф0)^ ,

^i(<P.

2) =

аЧ j j ^ s i n

ф„-----sin k ф sin (6 ф + \|)0)j

Х*(ф. 2,

1 )= А ,(ф ,

2), К2(ф,

2, 1)= У ,1(Ф,

2),

(6.48)

где k — ti)0 Т /2п .

Отсюда с помощью (6.21) находим величины Z2

					Z\(Ф.	1. 1) =		а.Чг,
2 ; „ . * •					' • 2 ) “	[	(	' -	+	( i j r ) " i l n ’ * ч>—
			— —т (1 —			sin k ф cos (k ф + 2ф0)
			7i	к \	2 j i J
Z%(Ф,	2,	2) — a*T2[(1 — -5-V -j- ( - ~ V					sin2 At ф — ——				X
			L\		я /	\я kj				л k
				X sin k ф cos (k ф f 2ф0) j
Z](Ф,	2,	2) == Zf (ф,		1,	1) = 0						(6.49)
z\(y,	l,	2) = z2(?, 2 ,			\) = ач- [(i^)i + (^ ) sin2*<pН-
		1	ф					1	0 <	ф <	я
		+ —	—	sin k Ф cos (k ф + 2ф0) .					0 <	ф <	я
		л k 2я						J
Дисперсии величин Ni(<p) и МДф)						вычисляются,			как	и при когерентном приеме,
и равны
					о1 = 0,5a^ а?Т.						(6.50)
Условная вероятность					ошибки	при независимых равновероятных сигналах
						163

в данном случае определяется выражением (6.24). Учитывая (6.49) и (6.23), можем записать

Рфрм (ф) — - ехр

1 1

+— езср

еР -~м< N

4о2

(Ч>. 2. О ’ ф

4о2

----г		Z\{ф, 2,	2)
	“ Р
+ Т		4а2
*!(Ф. 2. 0		Z \(Ф. 2,	1) ‘
а2	’	а2	(6.51)

При 3, в выражениях (6.49) можно пренебречь членами, обратно пропорцио нальными к. Тогда после преобразований получим

	— ехр (— Л2) + — ехр - f t 2 (l					1		- f t 2 X
РфРМ (ф ):	— ехр (— Л2) + — ехр - f t 2 (l			1ф 1 )2 + — ехр				- f t 2 X
РфРМ (ф ):		L	\	я	) J	4		L
						Ф\|		< я.	(6.52)
Условная вероятность ошибки для ФРМ вычислялась в (64,							145]. В частности,
в [64] получена приближенная формула
		- J - е—ft2 + —— ео		МЛ*	,	- W	i - J 2 L\
Рфрм (Ф) =		- J - е—ft2 + —— ео	'	п	+ — е		'	•	(6.53)
		8
Из графиков рис. 6.5, построенных по				ф-лам	(6.51) — (6.53),			видно,	что при
малых к условная вероятность ошибки при некогерентном						приеме ФРМ,			так же

Рис. 6.5. Зависимость условной		ве	Рис. 6.6. Зависимость условной вероят
роятности ошибки от фс			ности ошибки при некогерентном прие
--------- по ф-ле	(6.52),--------------- по		ме от ft:
ф-ле (6.53)			--------- неограниченная	п о л о с а ;-------- огра
			ниченная полоса \|(«о-3);	/ — ф - 0 ;	2 — ф-0,1я;
			3 — <р-0,2л
как и при когерентном приеме, зависит			от формы сигнала.	Графики	для	ft> 3,
рассчитанные	по ф-лам (6.52) и	(6.53), практически совпадают, поэтому				при

расчетах можно пользоваться более удобной ф-лой (6.53).

Зависимость условной вероятности ошибки от Л представлена для несколь ких значений фс на рис. 6.6.

Найдем среднюю вероятность ошибки, считая распределение фс нормальным со средним значением <ро и дисперсией <x£. Подставка (6.53) ® (1.6) ‘и выполнив интегрирование, получим

164

exp (— A2)

Рош = " ' г \

exP f —

h i

—

e x P

R l

+ ё

ехм

—

;— г

2Vo

’ R l

X j F

2 exp

S32

4ло„

аф^о

%Ro

2 a t

s3\

2 exp

R \

—— + *±)

2at

4™Ф

) +

■1

4яаФ

+ S [ ^ r ) - i

(6.54)

где

R 0 =

1 + 32я2 А2 аф ; R i = 8л А2 аф +

(p0;

R 2 — 8л А2 оф — ф0;

R3 = 4л А2 аф + ф0; «4 = 4я Л2 аф — ф0.

График средней вероятности ошибки, рассчитанной по ф-ле

(6.54)

при фо=0

Для разных сф , приведен на рис. 6.7.

канале

с ограниченной

полосой

число

0аш

учитываемых при расчетах помехоустойчивости

посылок должно быть равно 4, так как здесь,

кроме

двух посылок,

определяющих

данный

информационный символ, влияют еще две со- /д->

седние посылки. Выражение условной вероят

ности ошибки при этом описывается 8 слагае

мыми

вида (6.24). Из-за

громоздкости

этого /ri

выражения расчеты

по

нему

очень сложны.

Поэтому ниже представлено приближенное вы

}

о,оех'

о.и

ражение,

основанное

на

формуле,

подобной

(6.53), и на учете четырех вариантов сигнала, w

которым соответствуют ф-лы

(6.40),

а именно:

Puc.

6.7.

Вероятность

ошибки

при ФРМ

iQ-i

-л? .

-Л , (ф)

J _ —h3 (ф)

(6.55)

Рф р м (ч>) = у

+ y

+ 4 е

где п0 =

Е (ЗД FT/2)\

r i

- 1

„я л

—Л2

—

-f —

sin2

(6.56а)

у1—

л 2

Z j л 2

•

и/1—1

„

п я

п ф

(ф) = А?

ЧЙ

(6.56б>

•--- +'

---

V. ---•!sin2 — cos —

л2

Ц_

п*

/1=1

165

		_L		•-о	n Я	n ф
h\ (ф) =	h\		Л	£	n Я	n ф	(6.56в)
h\ (ф) =	h\		Л		sin2 — cos —		(6.56в)
		3	+ л2
				n= 1
Проверочные расчеты	показывают,		что ф-ла		(6.55) дает	несколько	завышенные

значения вероятности ошибки.

На рис. 6.6 пунктирными линиями показаны кривые условной вероятности


ошибки пои «0=3, AF—3 <кРц,		1/7='1200 дв.ед./с.
Вероятность ошибки при		частотной модуляции. Сигналы ЧМ описываются
выражениями	(6.43). Подставив (6.43) в (6.15),		при ■фю='фго='фо, «Ого—<ою=
= Д<о= 2лА/7,	u>ioT=2nki, (йюТ=2nk2, где k, klt		k2— целые числа и Ai,^s» l ,

после необходимых вычислений для канала с неограниченной полосой частот получаем:

Хх(Ф,	1,	1) =	Х2 (ф,	2,	2)	=	—	а2Т cosф0,
У^Ф,	1.	1 ) = У 2 (Ф.		2,	2)	=	-	—	а2Т sin ф0>
^ ( Ф ,	2,	О =	а2Г [(l		— ^		)	C°s	^ cos (-5 - _ ^,0) 1 ,

Уг(Ф, 2, 1 ) = _ ^ - a 2r [ ( l - ^ - ) s i n t 0 - ^ s i n - ^ s i n ( - ^ - ^ 0) ] .

х 2(Ф> 1 , ^ ) - Y a2T[(l ~ i ) ^ ^ ' ^ k sinf cos{ f + %) \ ’

У2 (ф. 1, 2) = - — а2Т

f - ein( f + *)Ь

* i (Ф, 1,

2) =

— а2Т

/ ф

- C « S * . - - " „ T C03(T

+ 4.,)j,

Ух(Ф. 1. 2) =

■а2Т

. /

|sr""’h -^ * " ’T " " lT + N j'

* .(Ф . 2,

1) =

— —

а2Т - c o s ^ 0 + - s m T

cos^T - ^ fljj,

К2 (Ф, 2,

1) =

sin ф., 4-

sin -

- у а »

—

2л

я Л

Хх (Ф, 2, 2) = У1 (ф, 2,

2) =

Х2 (ф,

1) = У2 (Ф, 1,

1) =

(6.57)

Отсюда с учетом (6.21) находим величины:

г?(ф, 1,

1) =

(ф,

2) = —-j- а4Т2;

(6.58а)

5 < Ф , 2,

1) =

ZUtf,

2) =

—

а*Т2

_ LSJ-У +

л2 k2

-2-+

2л

2л k (‘ - Ч г Ь Ч ’

. „

(6■58,s,

2?(ф,

2) = 25(ф,

2, 1) =

— а*Т2

Ф'

---- sin2 -------1-

4п2

л2 k2

2л k

2л

sin Ф ].

(6.58в)

Z \( ф,

1) =

Zf (ф,

2) =

(6.58г)

166

Дисперсии величин (-ф) и М{(ф) в данном случае одинаковы и опреде ляются (6.50). Подставляя (6.58) и (6.50) в (6.24), получаем

Рчм (ф) =	ехр	1	И 2 + Т		ехР			1	(Ф.	2 . 1 )
		— — 2
	X ф	2?(Ф. 1 .2 )			Z\(iр.		2,	1)			(6.59)

Из (6.58) и (6.59)	видно, что при £ » 1
		1		1	ехр	-	-J- h2 (1 -			\|Ф1	)2]
Рчм (Ф) =	ехр _	- — h2 + —
		2		4			2		\	2л /
	X ¥	2Л2 ' 2л /		2Л2 1			2л				(6.60)
Второе слагаемое	выражения		(6.60)	аналогично последнему слагаемому вы
ражения (6.52). Поэтому, воспользовавшись (6.53), можно записать:
		----h1			■	И	"	? )
Рчм (ф)	,	2	+						\|ф\|	< я.	(6.61)
		е

Рассчитанные по этой формуле графики представлены на рис. 6.6.

Случай канала с ограниченной полосой исследуется так же, как и при ФРМ.

По аналогии с (6.55) и (6.61) получаемI		.2	1 ,2 ,
	1 —;	1	- — ь3 (Ф)
			(6.62)
	Рчм(ф) — . е	Ь
где Л2,	и й2з(ф) определяются выражениями		(6.56). График функции р ч{л ((р)
(л0=3)	приведен на рис. 6.6.
Вероятность ошибки в многоканальной системе связи с ФРМ. В соответствии
с (5.1)	сигнал многоканальной системы связи на 1-п посылке при неограниченной,

полосе частот равен s(0= £ acos [(шг -j- m со) / + qw ). m—1

В этом соотношении предполагается, в отличие от (5.1), что интервал интегри рования равен длительности посылки; величина срт ( представляет собой фазу щ-го канального сигнала на /-й посылке, причем при однократной модуляции

разность фш!—фт, i-i принимает значение 0		или л.
При этих	условиях варианты я-го	канального сигнала ХДф, ri_i, п ) г
У,-(ф, /•(_!, ri) в	оптимальном некогерентном	приемнике могут быть определены

с помощью (6.15) и совпадают с (6.48). Однако помехи Ni и Mf в многоканаль ной системе связи вызываются не только аддитивным шумом, но и переходными помехами, обусловленными влиянием соседних каналов при неточной синхрони зации. Слагаемое величины N{ (или М,), обусловленное аддитивным шумом, нор мально, и дисперсия его определяется ф-лой (6.50). Слагаемое, обусловленное переходной помехой, также может считаться нормальным (см. приложение 2), но его дисперсия зависит от величины фс. Величину дисперсии можно найти, если

учесть,	что	в обозначениях приложения 2 рассматриваемое				слагаемое равно
x {t) ± x ( t+ T )		при То= Т,	А = 0, Х1= Хг=ф/2л,	причем	знаку	«+ » соответствует
первый	вариант опорного		колебания в (6.47),	а знаку	«—» — второй. Восполь

зовавшись результатом приложения, дисперсию величин Nj и Mi для средних

каналов (л=Х /2) представим		в виде		■ш
	а2 о) Т	- 1 + h2	ш			- Ф1>] } . (6.63)
0(Ф , Фь Фг) =	"а"2г				(2 — cos (ф2
где ф1=ф„!—фп, i-i;	ф2=фп, (+1—фпь		2л

167

Приняв в (6.49) А »	1, получим с учетом		(6.10)
Р (Ф) = - у exp [ -	Н\ («р)] +	exp [ -	Н\ (ф)] + - j - exp [— Я2 (ф)] X
X Ф [4Я42 (ф), 4Н\ (Ф)] +		- j - ехр [ -	Я2 (Ф)] ф[4Я2 (ф), 4Я2 (q»)J,	(6.64)

тде

(6.65)

Подставив (6.49) и (6.63) в (6.65), получим для средних каналов при Я =|ф |/2я

( 6 . 66)

Из графиков рис. 6.6, построенных по ф-лам (6.64) и (6.66), видно, что мно гоканальные системы связи чувствительнее к ошибкам тактовой синхронизации, чем одноканальные из-за взаимного влияния каналов при нарушении ортогональ ности. Дисперсия переходной помехи, а следовательно, « условная вероятность ошибки, увеличиваются с ростом погрешности синхронизации.

Если величину Я определить как в гл. 5, то выражения (6.64)— (6.66) при годны не только при совпадении длительностей интервала интегрирования и по сылки, но и при не равном нулю защитном интервале. В многолучевом радио канале р(ф) также можно вычислить, опираясь на (6.64) и (6.65), изменив не сколько смысл входящих в эти формулы величин. Так, для двухлучевого радио канала со сдвигом между лучами, равным защитному интервалу ДТ (такую за держку можно считать предельно допустимой для многоканальной системы; большая задержка заметно отражается на характеристиках системы) при зна

чениях фс,	не превосходящих 2пАТ0/Т, вместо ф	в (6.63) следует подставить
ф /(1+ Л ),	где Л =Дп/Го Функции 2 гДф, n -i, г()	рассчитываются для сигнала,

определяемого двумя лучами, а дисперсия переходной помехи Я(ф1,ф 1,фг) опре

деляется отстающим или опережающим лучом в зависимости от знака ф.

ВОПРОСЫ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ УСТРОЙСТВ СИНХРОНИЗАЦИИ

7.1. Критерии оптимальности и структурные схемы оптимальных УС

Критерии оптимальности УС. Как отмечалось в гл. 1, задачу синхронизации можно трактовать как статистическую задачу оцен ки неизвестного положения границ между посылками по смеси сигнала с помехами. В связи с этим уместна постановка вопроса о синтезе оптимальных УС.

Одним из наиболее общих критериев сравнения УС между со бой и их синтеза может служить эффективность (1.13). К сожале нию, в настоящее время не удается аналитически выполнить син тез оптимальных по достаточно сложным критериям эффективно сти УС. Более простым критерием оптимальности может служить частный случай критерия эффективности в виде вероятности ошиб ки, старвделанной ф-лой ( 1 .6 ). Представим эту формулу в более удобном для решения задачи синтеза виде.

Фаза синхросигнала <р есть результат преобразования входно го сигнала в УС, т. е.

Ф = ыг (* = сот t* (х (t)) = сотt* (х),

где х — вектор, описывающий входной сигнал x(t), содержащий информацию об истинном положении границы посылок t0. Вели чину t%можно определить с помощью (1.5), триняв /о= Фо/<от. Ус ловную вероятность ошибки при синтезе удобно рассматривать как функцию разности t*—10 и обозначать через p(t*—to), а так как величина t* является неслучайным функционалом (операто-

ром УС от случайного нектара х, то вместо (1.6) запишем

Рош = J p(t* (х) — 10) wx (х) dX,	(7.1)
X

где X — область значений вектора х; dX — элемент этой обла сти.

Величина Р0ш представляет собой частный случай среднего ри

ска

7— 65

169

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2217 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ