книги из ГПНТБ / Гинзбург, В. В. Теория синхронизации демодуляторов

6

ВЛИЯНИЕ СИНХРОНИЗАЦИИ НА ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ

*8.1. Условная вероятность ошибки в оптимальных приемниках

Исследование вероятности ошибки Рош при стационарной ра­ боте приемника сводится, как видно ив {1 .6 ), ж нахождению ус­ ловной вероятности ошибки р(ср) при фиксированной фс и к ус­ реднению р(ф) по множеству значений фс.

Вероятность р(ф) определяется ф-лой (1.4). Для удобства ра­ счетов эту формулу запишем в виде

ность ошибки ири действии нормальной помехи при условии, что х зафиксирован.

Условная вероятность ошибки при когерентном приеме. Бу­ дем считать, что в реальном когерентном приемнике (демодуля­ торе) начало интегрирования не связано с опорными колебания­ ми, определяющими варианты сигнала. Тогда РУ на l-и посылке принимает решение в пользу г-го варианта сигнала, если при всех i^bj выполняется неравенство

Здесь ti — момент формирования синхроимпульса, который счи­ тается совпадающим с началом интервала интегрирования и вы­ ражается через фс по ф-ле ( 1 Л); sj{t, ф) — i-ый вариант сигнала, зависящий от текущей фазы ф опорного колебания; x(t) — при­

■где n(t) — слагаемое, обусловленное помехой; z(t) — слагаемое, обусловленное полезным сигналом.

150

U

</+r

N t (<p,$)= J n(f)st (t, ф)Л. (6 .6) U

Если помеха n(t) — нормальный стационарный процесс с ну­ левым средним, то распределение величины JV,- нормально, имеет нулевое среднее и не зависит от ф. Дисперсию ее обозначим че­ рез а2,(ф). Тогда дисперсия разности АЛ^(ф) =М,-(ф, t|>)—УДф, ф) равна

при ограниченной полосе канала связи на текущее значение z(ty влияет не только данная, но и соседние посылки сигнала. В реаль­ ных условиях можно ограничиться учетом, помимо данной, пред­ шествующей и последующей посылок. Тогда величины Z* при фик­ сированных ф и ф являются детерминированными функциями ин­ формационных символов r/_1, Г[ и гi+i, переданных соответственно*

Решение в пользу г-ro варианта сигнала будет правильным, ес­ ли /= г/. Вероятность такого события равна

Усредняя величину 1—qi, по всем значениям символов г, г;_ц гi+i и предполагая, что символы на соседних посылках независимы, найдем условную вероятность ошибки при заданных ф и ф 1):

1*1

•) В дальнейшем обе вероятности р(<р,ф) и р(<р) называются одинаково* «условной вероятностью ошибки», так как они легко отличаются по своим аргу­ ментам.

151

тде М — число вариантов сигнала на посылке, a qij определяется

(ф-лами (6.9), (6.10) при г/_1 = т , Г(+1 —п.

Заметим, что (6.11) и последующие соотношения определяют вероятность ошибки в М-позиционной системе. Вероятность ошиб­ ки, приведенная к одному двоичному подканалу [137], вычисляет­ ся иначе.

Усреднив вероятность р(ф, ф) по всем значениям фазы опор­ ного колебания, получим выражение для условной вероятности ошибки при условии, что фс равна <р:

—Л

где w^(х) — плотность вероятности фазы ф.

Для приближенных расчетов ф-лу (6.11) можно упростить, за­ менив функцию Лапласа в (6.9) ее разложением в ряд Тейлора в окрестности условного математического ожидания

мм

Мф , ф) = 2 X РпРтКЛф- Ф. Ш, п). n=l m==1

п—\ т = 1

и ограничиваясь квадратичным членом указанного разложения, получим после преобразований

(6 .1 1 ), особенно при больших М.

Условная вероятность ошибки при оптимальном некогерентном

152

Обозначив

U+т

=| Si(t)s{(t)dt = 0 ,

авеличины У, и Vj независимы и, так как TV* и М{ нормальны,, распределены по закону Райса [132].

При фиксированных ф, /7, i, j вероятность ошибки 1—фр (ф,

П- i, n+i) равна

153

где о2 — дисперсия величин Ni и Л1*, h (x) — функция Бесселя мнимого аргумента нулевого порядка;

Здесь г1г(х, у) — специальная функция, вычисленная в приложе­ нии 3.

Заметим, что при Zj —0 '(например, при точной синхронизации) гиз (6 .2 2 ) получается известное выражение для помехоустойчиво­ сти [132]

яом приеме не зависят от начальной фазы опорного колебания,

О вычислении функций Z;. Условные вероятности ошибки в -ф-лах (6.12) и (6.24) определяются через величины Zit несущие информацию о вариантах принимаемого сигнала с учетом влия­ ния рассинхронизации. При когерентном приеме и неограниченной полосе пропускания канала связи эти величины отличаются от вариантов переданного на трех соседних посылках сигнала только -сдвигом, определяемым фазой синхросигнала <р. Обозначим эти варианты через 5,(ф , ф, гм, п, П+0- Если соответствующий тако­ му значению сигнал z(t) в ф-ле (6.5) обозначить через y(t), то для канала с ограниченной полосой пропускания в установившем­ уся режиме имеем

154

и поменяв в полученном выражении порядок интегрирования,, имеем

для оптимального цегогерентного приема.

Заметим, что при неограниченной полосе канала величины Z: определяются только двумя посылками сигнала, попадающими в интервал обработки, так как взаимного влияния посылок при этом нет.

6.2.Вероятность ошибки при когерентном приеме сигналов

соднократной ФМ и ЧМ

Вероятность ошибки при фазовой модуляции. Условные веро­ ятности ошибки р(<р, ф) три ФРМ и ФМ связанны известным со­ отношением [56, 137]

которое при малых вероятностях ошибки можно заменить более простым

Для нахождения условной вероятности ошибки при ФМ заме­ тим, что варианты опорного колебания, отличающиеся только зна­

и воспользуемся (6.5) —(6.11)

При неограниченной полосе частот интегралы Zj, которые в. этом случае обозначаются через Si, зависят только от сигнала на (7—1 )-й и /-й посылках, попавших в интервал интегрирования. При этом «условные» отношения сигнал/помеха йц не зависят от

Гi+i, т. е.

155

РФМ(ф, Ф) = 1 — О.б/ЧуТЛсовф — тро)] — 0,5F{l/'2 h X

X [(1 — ф/зх) cos(гр — ф0) + (1 /Я&) sin (p/2)cos(p + 2ф0 — ф)]}. (6.36)

Как видно, из рис. 6.1, построенного по ф-ле (6.36), при ма­ лых k ( k = \, 2 ) вероятность ошибки зависит не только от пог­ решностей тактовой синхронизации ф и опорного колебания ф—яро, но и от формы сигнала, на которую влияет ф0. Из сопоставления рис. 6Ла и рис. 6.46, на котором показан сигнал S\(t, фо) при двух значениях ф0, следует, что чувствительность приемника к величи­ не фс зависит от распределения энергии сигнала по длине посыл­ ки. Если плотность энергии сигнала ib окрестности границ мала (ф0=90°), то приемник нечувствителен к ошибкам тактовой син­ хронизации. При больших k(k>3) энергия сигнала почти равно­ мерно распределена по длине посылки при любой начальной фа-

156

зе tyo, поэтому условная вероятность ошибки практически зависит только от ф и г|з фо и не зависит от ф0. Зависимость вероятности ошибки от отношения сигнал/помеха при разных <р и ф—ф0 пред­ ставлена на |рис. 6.1в. Как видно из ipwc. 6.1в, изменение этик вели-

Рис. 6.1. Условная (Вероятность ошибки три когерентном приеме:

J — Ф ="ф —гр0= 0 ; 2 — 1 |> -0 ,1 я , Ш— гр0“ 0; 3 — ф-0,1я, —tpo“ 0,1я; 4 — 0 ,2 л , ф—фо—0;

о — ф - 0 ,2 п , г|)—г|)о -0,1 л ;

--------- неограниченная п о л о са ;---------ограниченная полоса (Ло»3)

чин на 0 ,1 л (5% периода) эквивалентно энергетическим потерям

(0,5-1,0) дБ.

При ограниченной полосе канала условная вероятность ошиб­ ки зависит от формы частотной характеристики канала. При­ мем ее прямоугольной с (полосой ДF, пропускающей колебания с частотами <о0—й < ш < ю о+ й, где Q=nAF. Будем считать, что на текущую посылку сигнала влияют в основном только предшест-

157

вующая и последующая посылки *) и рассмотрим все варианты сигнала, соответствующие «тройке» посылок, а вне этих посылок продолжим варианты периодически. Последнее позволяет при на­ хождении функций Zi вместо (6.26) определить для каждого ва­ рианта сигнала Si(iр, ф, п-ь i, rl+l) =Si(t), раосматриваемого как

функция начала интервала обработки t— <pTI2n, его ряд Фурье и отбросить члены ряда с частотами, лежащими вне полосы канала

связи.

Первый из четырех вариантов функции Si(t), соответствующих различным сочетаниям информационных символов 4, г* и г;+ 1 (остальные варианты отличаются только знаком) является посто­ янной (рис. 6.3а), а при другие (рис. 6.36, в, г) получаются ин­ вертированием и сдвигом на величину, кратную Т, функции So(t) (рис. 6.36). Поэтому первый вариант функции Zi(t) то же является постоянной, а три другие получаются сдвигом и инвертированием функции Za(t), ранной сумме первых n0 — E(SAFT/>2)2) членов раз­ ложения So(t) в ряд Фурье (53]:

(6.37)

ft=1

*) Влияние последующей посылки объясняется тем, что вследствие задержки в канале начало отклика канала на эту посылку может существенно опережать интервал времени, на котором сосредоточена основная часть энергии посылки.

2) Е(х) означает целую часть х.

158

а п п sin2 —

Для нахождения дисперсии величин jV,-(ф, ф) при ограничен­ ной полосе канала учтем, что корреляционная функция процесса Ni (как и раньше, имеется в виду изменение Nt в зависимости от t — q>T/2n) при неограниченной полосе имеет форму симметрично­ го треугольника [85, 136]. Поэтому корреляционную функцию про­

159