книги из ГПНТБ / Гинзбург, В. В. Теория синхронизации демодуляторов

5.3. Расчет УС по модулю вектора сигнала

Коэффициенты уравнения Фоккера—Планка. Рассмотрим характеристики УС

пульса принимается при Vo>Vi, где величины V в соответствии с (5.7) и (5.5) выражаются через модули проекций сигнала на опорное колебание Л-го канала. В свою очередь, проекции можно найти по ф-лам (5.3), подставив вместо x^t) входной сигнал x(t). Остановимся, прежде всего, на вероятностном описании проекций.

где Х0, У0 отражают полезный сигнал на текущей посылке; AXt и ДУ\ — помехи, причем индексами «1» и «2» снабжены соответственно собственная помеха k-ro канала я 'переходная помеха, появившиеся из-за 'неправильного положения ин­ тервала интегрирования, индексом «3» — помеха, появившаяся из-за аддитивного нормального шума. Свойства помех АХо, ЛУг, АХ3, ДУ3 изучены в приложении 2. Свойства других слагаемых (5.32) определяются k-м канальным сигналом, проек­ ции которого, как следует из (5.3), равны

где Х=Д</7\>, At — часть соседней посылки, попавшая в интервал интегрирования; ф и ф + ф — фазы &-го канального сигнала на текущей и соседней посылках;

ф — разность фаз.

Первые слагаемые в этих выражениях естественно считать проекциями по­ лезного сигнала, вторые — проекциями собственной помехи. Относительно полез­ ного сигнала для последующего необходимо только учесть, что модуль его неиз­ менен от посылки к 'посылке, так как он равен а 7"cr(i1—Х)/й и не зависит от фа­ зы сигнала. Проекции собственной помехи имеют нулевое среднее, не коррелироваиы, дисперсия их при а& = а равна a2P ffX2/8. Одноименные проекции, измерен­ ные с временным сдвигом, коррелированы, причем смешанный момент второго порядка их распределения равен нулю, если соседними по отношению к двум интервалам являются разные посылки, и равен

где Xj = min{Xi, 1—X*}, если соседней является одна и та же посылка.

Таким образом, собственная помеха по своим свойствам очень похожа на компоненты переходной помехи (см. приложение 2) и ее влияние эквивалентно

Можно показать, что распределение суммарной помехи при этом оказывается еще ближе к нормальному, чем распределение без учета собственной помехи.

представляют собой модули двумерных векторов с нормальными независимыми

140

проекциями и, следовательно, распределены по закону Райса. Знак импульса управления противоположен знаку v n.

Трудности расчета статистических характеристик величины v связаны с тем, что, во-первых, все модули С в (5.35) зависимы между собой и их совместное распределение имеет чрезвычайно сложный вид и, во-вторых, с тем, что два соседних значения величины v зависимы, так как два модуля С [например, С„, и Сп2, если речь идет о л-й и (л+1)-й посылках] являются общими для этих

величин. Следовательно, для полного описания величин v с точки зрения расчета коэффициентов уравнения Фоккера—Планка необходимо знать шестимерное рас­ пределение модулей С, одномерные распределения которых являются райсовски­ ми. Сделаем два упрощения, без которых невозможно обойти эти трудности.

Во-первых, заменим распределения величин С нормальными с нулевыми сред­

по закону Райса с одинаковыми параметрами, поэтому распределение разности симметрично и имеет нулевое среднее значение. Более того, это распределение близко к нормальному, так как даже в наихудшем случае рэлеевского распреде­ ления величин С коэффициент эксцесса распределения разности составляет всего

0,15 »).

Во-вторых, пренебрежем корреляционными связями между модулями в тех случаях, когда эти связи слабы. К слабо коррелированным (или строго некорре­ лированным) относятся, как можно проверить по формулам приложения 2, вели­ чины С, измеренные на неперекрывающихся интервалах времени.

Итак, при расчетах статистических характеристик функции о распределение величин С можно считать нормальным и центрированным, причем

D (Сщ) = < C2nl> = Dh

т. е. дисперсия не зависит от номера посылки (точнее говоря, от номера изме­ рения, так как интервалы измерения величин C„t и С„2 только при синхронизме попадают в одну посылку). Корреляционный момент величин, измеренных на разных посылках, равен нулю, т. е.

К (Cni, C„_i j) = < C ni Сп_ , у> = о,

авеличины, измеренные на одной посылке, коррелированы, т. е.

К(Сщ, Сщ) — <^.Ст Спг> = К ■

Для исследования коэффициентов а(<р) и Ь(<р) полезно учесть, что распреде­ ление пары нормальных зависимых случайных величин (Cit Сг) совпадает с рас­ пределением двух сумм:

Si = 11 Vo + *i Vt, Ss = tt Vo -+- s2 Vj,

где Vo, vi, V2— независимые нормальные величины с единичной дисперсией, а

коэффициенты /j. Si являются решениями системы уравнений:

f*+s*=D,, (/ = 1.2), t i t t = K .

Так как число уравнений меньше числа неизвестных, то существует беско­ нечное множество решений. В частности, если Dt >K, Dz>K, К > 0, то суммы можно принять равными:

где ро, pi. Р2— взаимно независимые нормальные величины с дисперсиями:

‘) В действительности, максимальное значение коэффициента эксцесса мо­ жет быть несколько большим, так как величины Сп< и Cn-i, i зависимы. Однако эта зависимость, как показано в приложении 2, является слабой.

141

ности вероятности

где wИ(х) — нормальная плотность вероятности с единичной дисперсией.

№i (Xi | Х0) W2 (xJ | дг0) w0 (x0) dx2 dxy dx„,

— оо О О

причем внутренним интегралам здесь соответствуют внутренние дифференциалы. Подставив в это выражение ф-лы (5.39), (5.41), имеем

1

Р (V > 0)

2 V 2 о0 Ст! а2

1— оо О О

где знак суммы и двойной знак «±» означают, что подынтегральное выражение следует просуммировать по всем четырем возможным сочетаниям знаков.

Для вычисления (5.42) перейдем к сферической системе координат (18], опре­ деляемой заменой переменных

при которой якобиан преобразования равен 2^200010202 8100, а интервалы инте­

грирования составляют (0< р < оо ), (О<0<хс), (0< а < а о ), где

142

- 3/2

cos2 0 sin 0 d a d 0 =

О?

n/2 a.

оо

л/2 2a„

с учетом симметрии суммы в подынтегральном выражении относительно коорди­ наты 0 = л/2, а последнее — заменой переменной ao+a или ао—а на а в сла­ гаемых этого выражения и попарным суммированием интегралов, отличающихся

143

Для нахождения коэффициентов с„ разложим /(а ) в ряд Тейлора по сте­ пеням 2= cos 2а

воспользовавшись известными соотношениями, связывающими коэффициенты сте­ пенных и гармонических тригонометрических полиномов {53], получим:

Таким образом, за счет зависимости между командами коэффициент Ь(ф) возрастает на величину последнего слагаемого в (5.54), оценка влияния кото­ рого дана ниже.

Моменты распределения фс в установившемся режиме. Для ко­ личественного исследования УС необходимо знать зависимости v(<p) и R (<р). Как видно из (5.37), (5.43) и (5.44), величины v и R

можно выразить через дисперсию и корреляционный момент модуля Сп:

Моменты Di и К распределения райсовских величин далее за­ меним на соответствующие моменты переходной помехи. Вообще говоря, такая замена справедлива только, если модуль полезно­ го сигнала с проекциями .Y0, Уо в (5.32) больше среднеквадратич­ ного отклонения проекций помехи. Однако в связи с тем, что в соответствии с (5.55) статистические характеристики фс зависят только от отношения моментов, погрешность замены невелика при любом модуле полезного сигнала.

Считая величину сдвига между интервалами измерения рав­ ной защитному интервалу &Т0=АТ0, на основании сказанного име­

146

где tanin = min{Ai, Х2); Xmax= max{Xi, Х2}, Xi = min{A1, 1—X;}, причем величины Xi и Х2 выражаются через фазу синхросигнала по ф-ле

(5.13). Подставив в (5.47) и (5.54) ф-лы (5.55), (5.56) и (5.13),

можно получить явное выражение для коэффициентов ао(ф) н Ь(ц>), которое здесь не приводится ввиду его громоздкости.

Для нахождения математического ожидания и дисперсии фс необходимо в соответствии с (3.43) и (3.44) найти а'о(0) и 8(0). Выполнив указанную подстановку, продифференцировав ао(<р) и приняв <р = б, получим:

Как видим, вызванное зависимостью между соседними коман­ дами изменение величины Ь(0) незначительно и равно 9/4л2, что соответствует увеличению дисперсии меньше, чем на 1/4.

Из ф-л (3.43), (3.44) и (5.57) находим математическое ожида­ ние и дисперсию фс:

Из сравнения этих соотношений с (5.17) и (5.18) следует, что при Л = 0,2 и прочих равных условиях математическое ожидание и дисперсия фс в УС по модулю вектора сигнала примерно в 5 раз, а среднеквадратичное отклонение в два с лишним раза больше, чем в УС по минимуму переходной помехи. При Л = 0,6 матема­ тические ожидания и дисперсии различаются меньше — пример­ но в 2,5 раза. Выигрыш УС по переходной помехе уменьшается в 2 раза также в том случае, когда частота служебного канала яв­ ляется крайней. В этом случае, кроме того, на характеристики УС по минимуму переходной помехи могут вредно влиять частотные характеристики канала связи, чего не будет в УС по модулю век­ тора сигнала, в котором синхронизация может осуществляться по произвольному канальному сигналу.

Формулы (5.58), так же, как и ф-лы (5.17), (5.18), примени­ мы лишь при не очень малых защитных интервалах (Л > 0 ,1 ч-0 ,2 )

как наибольшее значение условного математического ожидания числа посылок до первого достижения области синхронизма (—фЬ цп). Границу области примем соответствующей сдвигу на полови­ ну длительности защитного интервала. Эта граница задается ф-лой (5.19). Условимся, кроме того, аппроксимировать функцию До(ф) на интервале (фь фз), где фз — граница окрестности второго кор-

147

ня ’ф= я функции а0(ф), ломаной линией с двумя линейными уча­ стками. Естественно, что при этом x0=<pi, *2 = */ = фз- В качестве точки излома в соответствии с (5.21) примем точку Х\ = 2яЛ/(1+ + Л ), где изменяется вид функциональной зависимости а0(ф) 4). Значения функции яа(<р) в точках х0 и х2на сюнавании (5.19), (5.21), (5.13), (6.55), (5.56) н 1(5.47) равны:

что почти совпадает с (5.27).

Вероятность срыва синхронизма найдем приближенно, как и для УС по минимуму переходной помехи. В рассматриваемом слу­

ао ^ + ^ [ 4 + ( . + 2 1 л У2]

где m = 2h2(l —Л/2).

*) Вследствие (5.33) вид зависимости ао(«р) меняется также в точке Ф = я/(1+ Л ). Однако введение еще одного линейного участка не влияет заметно на результаты расчета времени достижения синхраниз-ма.

148