книги из ГПНТБ / Гинзбург, В. В. Теория синхронизации демодуляторов

нием, ф-лой i(8.91). В соответствии с (4.52) и (4.61) втор'ое слагае­ мое в (3.91)

Первое слагаемое вычислим, аппроксимируя функцию Оо(ф) ломаной (см. рис. 4.116):

Логарифмическая функция мало чувствительна к изменению своего аргумента в несколько раз, если этот аргумент достаточно велик. Пренебрежем поэтому находящимися под знаком логариф­ ма величинами пропорциональными р<0,4 по сравнению с едини­ цей. Суммируя полученное при этом выражение с полученным выше для второго слагаемого (3.91), находим время достижения синхронизма

Найдем теперь вероятность срыва синхронизма Рс1, для чего снова воспользуемся (3.100). Вычислим сначала интеграл Х(л),

/(ф) >2рка2о(ф), причем это условие выполняется даже при сла­ бых помехах. С увеличением помех значения функции а0(ф) уменьшаются по абсолютной величине, хотя и незначительно. Зна­ чения же функции /(ф) заметно возрастают с увеличением помех.

110

Поэтому при сильных помехах можно считать, что выполняется соотношение

/ (ср) 2 рк а\ (ф).

Поскольку срыв синхронизма практически невозможен при слабых помехах, интерес представляет только значение Pci при сильных помехах, когда

Вычисление этого интеграла не представляет труда, если за­ метить, что, как это видно из сопоставления (4.44) и (4.45), функ­ ция ao(q>) пропорциональна производной функции / (ф ), т. е. /'(ф ) = = — 2 а 0(ф)ЛУл, откуда

» - - ^ 1 п >Тя_+4р 2К ]/2лр2

Учитывая, что ф-ла (3.100) оценивает лишь порядок вероятно­ сти срыва синхронизма, сомножителю при экспоненте в этой фор­ муле можно на основании (4.57), (4.61) и (4.62) придать следую­ щий вид:

Величина 2—р 2я заменена здесь на близкую (во всяком слу­

чае, по порядку) величину V 2я с целью некоторого упрощения выражения для вероятности срыва синхронизма. После подста­ новки полученных соотношений в (3.100) находим

В заключение заметим, что все характеристики УС зависят только от отношения N/K, т. е. инвариантны к увеличению N и К в одинаковое число раз. В действительности это справедливо лишь настолько, насколько допустима аппроксимация ступенча­ той функции k(x) (рис. 4.9г) линейной функцией. Условия, при ко­ торых аппроксимация допустима, зависят от того, какая характе­ ристика УС рассчитывается с помощью соответствующей форму­ лы. Например, для того чтобы воспользоваться формулами для математического ожидания и дисперсии, аппроксимация должна

111

быть удовлетворительной в области почти всех возможных поло­ жений моментов пересечений, для чего в этой области должно уло­ житься несколько «ступенек» функции k(x), т. е. необходимо, что­

хождения фо и Оф можно воспользоваться соотношениями, полу­ ченными для УС с двухили трехпозиционным управлениями. Формула (4.65) для S m применима практически всегда.

В общем случае для расчета УС с линейным управлением мож­ но получить и более строгие соотношения, вывод которых не пред­ ставляет трудностей, по крайней мере, принципиальных.

Сравнение числовых характеристик УС. Сопоставляя (4.63) и (4.64) с (4.506) и (4.516), отметим, что в УС с двухпозиционным ■управлением и математическое ожидание и дисперсия фс линей­ но зависят от р, а в УС с линейным управлением математическое ожидание не зависит от р, а дисперсия пропорциональна р2. По­ этому непосредственное сравнение числовых характеристик за­ труднительно.

Сравним математические ожидания фс, выбрав коэффициенты деления N так, чтобы дисперсии фс (были одинаковыми. Прирав­ няв (4.64) и (4.516), видим, что равенство дисперсий достигается при

N = V 2 / n N „ K p ,

где индекс «д» означает, что величина N относится к УС с двух­ позиционным управлением. Подставим определенный этим усло­ вием коэффициент деления .Уд в (4.516) и составим отношение ма­ тематических ожиданий фод/фо УС с дискретным и линейным уп­ равлениями. Проделав выкладки, находим, что это отношение рав­ но я/2. Таким образом, при одинаковых дисперсиях фс, смещение математического ожидания фс в УС с двухпозиционным управле­ нием почти на 60% больше, чем в УС с линейным управлением.

Покажем, что УС с двухпозиционным управлением проигрыва­ ет и по времени достижения синхронизма. Выбрав, как и прежде, Уд из условия равенства дисперсий, подставим полученное выра­ жение в ф-лу (4.55). Тогда время достижения синхронизма в УС с двухпозиционным управлением приводится к следующей удобной для сравнения форме:

Формулу (4.62) представим в виде

Сравнивая выражения для 5 тд и Sm, видим, что каждое сла­ гаемое в квадратных 'скобках первого выражения больше 'соот­ ветствующего слагаемого второго выражения (напомним, что рас­ сматриваемые приближенные формулы справедливы при р<0,5).

112

4.4. Расчет УС при фазовой и частотной модуляции

Нахождение обобщенного параметра р при когерентном детек­ тировании сигналов с однократной ФМ. Как показано в предыду­ щих параграфах, расчет замкнутых и разомкнутых УС сводится к нахождению величины обобщенного параметра

Найдем величину р при когерентном детектировании в демо­ дуляторе (приемнике) сигналов с однократной ФМ (или ФРМ) с

Рис. 4.12. Демодулятор сигналов с однократ­ ной ФМ

Для примера на рисунке показано резонансное УС, обведенное пунктиром. Вместо него может быть использовано и УС с дискрет­ ным управлением.

В демодуляторе рис. 4.12 устройство выделения когерентного колебания (ВКК) формирует неманипулированное когерентное сигналу колебание, которое подается на один из входов фазового детектора (ФД), также обведенного пунктиром. На другой вход ФД, состоящего из перемножителя и ФНЧ, подается принимаемый сигнал. УС. вырабатывает импульс опроса выходного сигнала ФД и все другие необходимые для работы демодулятора импульсы. С помощью импульса опроса регенерирующее устройство (Per.) преобразует выходной видеосигнал ФД в последовательность ин­ формационных символов (обычно в РУ и ИП используется общий усилитель-ограничитель).

Длительность At переходных процессов на выходе ФД при ма­ нипуляции сигнала определяется частотными характеристиками линейных цепей, через которые проходит сигнал. Последователь­ ность таких линейных цепей обычно можно представить в виде эквивалентной схемы рис. 4.13, состоящей из модулятора (Мод), выходного фильтра модулятора (ВФМ), фильтров канала связи, входного фильтра демодулятора (ВФД) и ФД. Будем считать, что, во-первых, модулятор представляет собой перемножитель вход-

114

ного видеосигнала («посылок постоянного тока») и гармоническо­ го колебания sinoV [56, 105], во-вторых, <ао>ч(Ог, в-третьих, ча­ стотные характеристики ВФМ, канала связи и ВФД симметричны относительно соо и, кроме того, подаваемое на второй вход ФД гармоническое колебание когерентно принимаемому сигналу. Тог-

в<рд

Рис. 4.13. Схема, иллюстрирующая линейные преобразо­ вания сигнала

да нетрудно показать, что устройство по схеме рис. 4.13 эквива­ лентно ФНЧ с передаточной функцией [24]

k (i Q) = kx(i Q) k2 (\ Q),

где &i(iQ) = ^ /i(i(Q+o)0)), £'i(ico) — суммарная частотная харак­ теристика ВФМ, канала связи и ВФД; ЛОП) частотная характе­ ристика ФНЧ фазового детектора (см. рис. 4.12). Поэтому вме­ сто линейного преобразователя по схеме рис. 4.13 можно говорить либо об эквивалентном ФНЧ, либо об эквивалентном ПФ (поло­ совом фильтре).

Проделаем расчеты для двух случаев. В обоих случаях ФЧХ эквивалентного ФНЧ будем считать нулевой (или линейной). АЧХ в первом случае примем прямоугольной с шириной полосы про­ пускания AFJ2, что соответствует эквивалентному ПФ с полосой AFn (от /о—0,5 АЛ до /о+0,5 АЛ)- Во втором случае АЧХ филь­ тра будем считать гауссовой

Длительность переходных процессов на выходе фильтра, опре­

где г} определяется АЧХ фильтра, причем для фильтра с прямо­ угольной и гауссовой характеристиками соответственно т)=1 и

Л «0,7.

Величина с0 представляет собой установившееся значение на­ пряжения сигнала на выходе ФД и если значение АЧХ эквива­ лентного ФНЧ на нулевой частоте равно единице, то Со=а, где о — амплитуда переданного сигнала.

Дисперсия помехи равна произведению спектральной плотно­ сти а2/ аддитивных шумов в канале связи, которая здесь прини­

115

мается равномерной, на «энергетическую» полосу пропуска­ ния ПФ.

Поскольку сигнал и шум проходят через различные цепи, эк­ вивалентные ПФ для сигнала и помехи, вообще говоря, различны. Однако чаще всего эквивалентные ПФ в основном определяются цепями, которые являются общими для сигнала и помехи. Поэто­ му, далее, различия между названными ПФ не делается.

Энергетическая полоса обоих рассматриваемых эквивалент­ ных фильтров примерно совпадает с полосой на уровне — 3 дБ [125], вследствие чего

с2/о2= а2/о2 A F = 2 И2/A FT,

где И2 — отношение энергии посылки сигнала к спектральной плотности шума, откуда с учетом (4.67), (4.68) получаем искомое выражение для параметра р2:

В правом равенстве р2 выражено через отношение мощностей сигнала и (помехи h2P.

Числовые характеристики УС при когерентном детектировании сигналов с однократной и двукратной ФМ. С 'помощью ф-лы (4.69)

нетрудно определить числовые характеристики разомкнутых и замкнутых УС при однократной ФМ, подставляя эту формулу в соответствующие соотношения предыдущих параграфов. Прежде чем перейти к анализу этих соотношений, получим аналогичные соотношения для случая демодуляции сигналов с двукратной ФМ (ФРМ), сведя этот случай к рассмотренному.

Демодулятор сигналов с двукратной ФМ (рис. 4.14а) содержит два фазовых детектора — ФД1 и ФДгПокажем, что напряжения на их выходах можно считать независимыми.

Дейотвительно, напряжения помех на выходах детекторов мо­ жно рассматривать как квадратурные огибающие узкополосного нормального процесса, и, если спектр помехи симметричен, то эти огибающие независимы. Дисперсии огибающих одинаковы и рав­ ны дисперсии узкополосного процесса о2. «Сигнальные» напряже­ ния на выходах ФД тоже независимы, если только независимы двоичные подканалы («краты»), передаваемые с помощью дву­ кратной ФМ. В самом деле, если, например, фазам 0, я/2, л, Зя/2 соответствуют пары символов в подканалах 11, 10, j)0, 01, то нап­

ряжение на выходе ФДь пропорциональное (а/ V 2) cos(<p—я/4), остается неизменным, если не меняется передаваемый по перво­ му подканалу символ. Аналогично напряжение на выходе ФДг,

пропорциональное (а/ 2) sin(ф—я/4), определяется только сим­ волом второго подканала.

При фазоразностной модуляции двоичные каналы зависимы [137]. Однако эта зависимость не отражается на параметрах функ­ ции плотности потока пересечений и может не учитываться.

П6

Итак, на выходах ФД4 и ФД2 действуют два независимых на­ пряжения с одинаковыми корреляционными свойствами и матема­ тическими ожиданиями. Эти два напряжения преобразуются в ИП4 и ИП2 в два независимых потока импульсов пересечений. По­ следующие преобразования потоков могут быть разными. Рассмо­ трим случай, когда два потока суммируются на входе накопи­ тельного устройства, как показано на рис. 4.14а для резонансного

Рис. 4.14. Демодулятор сигналов двукратной ФМ: а) с резонансным УС; б) УС с дискретным управле­ нием для него

УС, а на рис. 4.146 —для УС с дискретным управлением. Под­ черкнем, что при таком предположении в УС рис. 4.146 каждый импульс потока пересечений вызывает добавление или вычитание импульса независимо от того, есть ли в этот момент импульс в другом потоке.

Поскольку установившееся значение полезного сигнала на вы­

ходе одного из ФД при двукратной ФМ в ]/" 2 раз меньше уста­ новившегося значения при однократной ФМ, то_параметр потока

пересечений р<2>при двукратной модуляции в V 2 раз больше па­ раметра р<‘) при однократной модуляции:

Ai резонансного УС и коэффициент Оо(<р) УС с дискретным управ­ лением, линейны относительно математического ожидания вход­ ного сигнала ВИРУ. Если на вход ВИРУ подаются два сигнала с одинаковыми математическими ожиданиями, то величины этих коэффициентов вдвое больше аналогичных величин при подаче одного сигнала. Рассматривая коэффициенты как функции р и ис­

117

пользуя индексы в том же смысле, что и в (4.70), с учетом сказан­ ного можно записать:

Аналогично, приняв во внимание, что коэффициенты Вц(\р) резонансного УС и коэффициент Ь (ф, р) УС с дискретным ylnipaiBлением линейно выражаются через корреляционную функцию сиг­ нала на входе накопительного устройства и что корреляционная функция суммы двух одинаково распределенных независимых про­ цессов вдвое больше корреляционной функции одного из слагае­ мых, получим:

Отсюда на основании (4.28), ,(4.32) и (4.69) находим выра­ жения для величин а и Ь0, определяющих характеристики резо­ нансного УС:

Сопоставление ф-л (4.76) показывает, что при прочих равных условиях флуктуации фс при однократной модуляции меньше, чем при двукратной, так как 2shx<sh2x. Однако при х<1 гипербо­ лический синус практически совпадает со своим аргументом, вследствие чего 2sh х ~ sh 2х~ 2х. Поэтому при /г>3-ь-4 флуктуа­ ции фс при однократной и двукратной модуляциях примерно оди­ наковы и определяются величиной

меньших значениях h нарушаются исходные предположения, по­ ложенные в основу вывода этих формул. При больших значениях h флуктуации фс определяются уже не помехами в канале свя­ зи, а влиянием переходных процессов, приводящих к «наложению» посылок друг на друга, т. е. так называемой «межсимвольной

время добиваться в канале связи значений Л> 10-4-20 нецелесооб­ разно, так как помехоустойчивость к нормальной помехе при этом

118

характеризуется вероятностями ошибки, меньшими жЮ -8, и ре­ ально определяется помехами других типов или даже надежно­ стью аппаратуры и канала связи.

Перейдем к замкнутым УС. Для УС с двухпозиционным уп­ равлением при однократной модуляции математическое ожидание

_л“j£2n_rj_

(4.79а)'

2/УЛ/дТТ

Так как дисперсия пропорциональна отношению 6(0)/а'0(0), то для нахождения дисперсии при двукратной модуляции необходи­

мо только заменить р на р У 2 в выражении, относящемся к од­ нократной модуляции. Таким образом, при двукратной модуля­ ции

N h y ' A F T

Из (3.91) и (3.100) видно, что при одновременном увеличении вдвое коэффициентов аДф) и Ь(ф) время достижения синхрониз­ ма уменьшается, а вероятность срыва синхронизма возрастает вдвое. Поэтому с учетом ф-лы (4.55) и влияния кратности моду­ ляции на величину р можно для времени достижения синхрониз­ ма записать, снабжая, как и раньше, номера формул, относящих­ ся к однократной и двукратной модуляциям, соответственно бук­ вами «а» и «б»:

(A< * / X 7 r ) -

119