книги из ГПНТБ / Гинзбург, В. В. Теория синхронизации демодуляторов

Точно так же для УС с линейным управлением (с линейным коррекционным эффектом; характеристика ИП показана на рис. 4.9г), аппроксимировав ломаную кривую зависимости k(x) пря­ мой

Здесь ел х — «синус линейный X»— периодическая функция эл х = х, (|ж |< я ).

Вообще, для измерителя пересечений с произвольной характе­

—оо О

сучетом (П2.1), (П2.7) и (4.37) имеем

ооГ

— во U

о

где \nz(t, х) — центрированная двукратная плотность потока пере­ сечений.

Формулы (4.38) и (4.39) дают точные выражения для коэф­ фициентов уравнения Фоккера—Плавка Оо ( ф ) и b(q>). Однако эти формулы для аналитических исследований практически непри­

101

годны. Поэтому ниже выведены приближенные выражения для коэффициентов ао(<р) и 6(ф).

Приближенные выражения для коэффициентов. Для получе­ ния приближенных выражений для Ь(ф) учтем, как и при рассмо­ трении резонансного УС, что пересечения, разделенные интерва­ лом, большим интервала корреляции тк, практически независимы,

О

т. е. р2(t, т )= 0 при |т |< т к, откуда после подстановки в (4.39) и перемены порядка интегрирования получим

гт

Ь(ср) = | jV a (t, т) kn (юг t + ф) k„ (юг (t + т) + ф) dt d т.

0 ~ тк

Воспользовавшись теперь на основании (4.7) и (4.12) прибли­ женным соотношением

0

Заменим во внутреннем интеграле переменную т на ti= t+ х и рассмотрим получившийся интеграл

И-тк

J pi (*i) К (юг /j + ф) dtv

<_тк

Поскольку pi(7i) и k„(ioTti) — периодические функции с пе­ риодом Т, то 'произведение под знаком интеграла представляет собой сумму постоянной составляющей, интеграл от которой ра­ вен

т

о

и гармонических колебаний с частотами, кратными сотЕсли дли­ на интервала интегрирования 2тк равна длительности посылки Т или содержит ее целое число раз, то интегралы от гармонических колебаний равны нулю. Если 2хкф пТ (п — целое), то интегралы от гармонических колебаний не равны нулю. Однако и в этом случае их величины обычно оказываются значительно меньшими интеграла от постоянной составляющей. Считая, что такое соот­ ношение имеет место, можно записать

102

Формулы (4.38) и (4.41) позволяют приближенно исследовать замкнутое УС при известных функции однократной плотности по­ тока пересечений и характеристике дискриминатора ku(x).

Рассмотрим УС с трехпозиционным и линейным управления­ ми, характеристики дискриминаторов которых изображены на рис. 4.9s, г. УС с двухпозиционным управлением (рис. 4.9б) можно от­ дельно не рассматривать, поскольку оно является частным слу­ чаем трехпозиционного при у = 0 .

Для УС с трехпозиционным управлением периодическая функ­ ция 6п(* + ф) (рис. 4.9в) на интервале (—л, л) может быть запи­ сана следующим образом:

+ 1 (— я < х + ф< — у);

Интеграл /(ф) можно найти аналогично, приняв во внимание,

что

103

откуда

104

а0(ф) и b(ф) для УС с двухпозиционным и трехпозиционным уп­ равлениями, а с ломощью (4.41), (4.44), >(4.45) — для УС с линей­ ным управлением.

Приближенное исследование УС при однократной модуляции.

Как и в предыдущем параграфе условимся считать сигнал на вхо­ де ИП суммой полезного сигнала и нормальной стационарной по­ мехи. Если переходный процесс достаточно хорошо аппроксими­ руется кусочно-линейной функцией (см. рис. 4.6) и длительность его A t= $T< T, то при однократной модуляции и равновероятных вариантах сигнала плотность потока пересечений равна полусум­ ме условных плотностей, соответствующих каждому из вариантов. Если, кроме того, отношение установившегося значения полезного сигнала к среднеквадратичному отклонению помехи больше еди­ ницы (со/о>1), то пересечениями, имеющими место при втором варианте сигнала, при котором переходный процесс отсутствует, можно пренебречь. Тогда плотность потока пересечений выража­ ется гауссовой кривой (4.23)

где р=ра/со — произведение нормированной длительности пере­ ходного процесса и отношения иомеха/сигнал. Подставив (4.46) в (4.42) и (4.43), находим выражения для нечетной функции а0(ф) и четной /(ф), описывающих УС с трехпозиционным управлением:

(О< ф< я—у),

105

?\ г

Рис. 4.11. Примерный вид функций ао(х) для УС с управлением: а) двухпозиционным; б) линейным

Найдем числовые характеристики УС, воспользовавшись полу­ ченными в предыдущей главе формулами первого приближения.

Дифференцируя (4.47), имеем

где р = ро /с0, р~Д t!T — нормированная длительность переходных процессов; о и Со — среднеквадратичное значение помех и уста­

106

Эти соотношения принимают совсем простой вид, если р<0,5. Тог­ да функция Лапласа практически совпадает с единицей, а экспо­ нента — с нулем, откуда

синхронизма, определяемое как математическое ожидание време­ ни первого достижения области синхронизма из наиболее «удален­ ной» начальной точки ф ( 0 ) = л . Второе слагаемое в этом выраже­ нии для УС с двухпозиционным управлением при не очень сла­

а нижний предел задается шириной области синхронизма. Если ширина этой области, нормированная к длительности посылки, равна А и точка ф= 0 расположена в середине области, то

Для нахождения величины первого слагаемого аппроксими­

причем в силу симметрии кривой Оо(ф) относительно оси, прохо­ дящей через ф= л/2,

Фз = л — Ф'= 1/2 а '(я) = — 1/2а'(0).

Ясно, что такая аппроксимация имеет смысл лишь при фг<л/2.

107

Суммируя полученные выражения для первого и второго сла­ гаемых (3.91), видим, что при наихудших начальных условиях ма­ тематическое ожидание времени первого достижения синхронизма

составляет при Л < р \ f я/2

посылок.

Оценим по ф-ле '(3.100) 'вероятность срыва синхронизма. Най­ дем для этого величины Я(л), >/'(0), Я"(я), определяемые ф-лой

где Рк=тк/Т, что вместе с предыдущим соотношением, после под­ становки в (3.100), дает следующее выражение для вероятности срыва синхронизма

2 я2 У 2 я р кр

108

Примерный вид функции а0(ф) показан на рис. 4.116.

Из полученных соотношений можно определить основные ха­ рактеристики фс. Дифференцируя (4.59а), имеем

Для нахождения времени достижения синхронизма восполь­ зуемся, как и при рассмотрении УС с двухпозиционным управле-

109