книги из ГПНТБ / Основы теории алгоритмов учеб. пособие

-

20

-

кортежа

В

можно упростить,

умножив кортеж

A j

на число

его повторений R j

в множестве

В

. Для сокращения запи­

си множества

В

введем обозначения для одинаковых кортежей

так

что

Й

Л

-

А

Г

,

Такой кортеж будем на-

зывать сложным, т ,к ,

e j4 \эффективность не определена, Парамет-

ры нового элемента

A i *

можно вычислить по следующим зави-

симостям;

'<1

(Rj>

Ri

d j

•

(1.6)

ф '

- R, V

KfiJ

- К, .

- G, ■

после чего сложный кортеж превращается в простой.

Естественно,

что

и

Q

также будут изменять­

ся и могут быть вычислены для каждого конкретного случая.

■ Если алгоритм

В

содержит

программы

P j

, повторя­

ющиеся на наборном поле программы

Р р .

раз,

то их можно рас­

сматривать как некоторые алгоритмы

Д ;

,

повторяющиеся R;

раз, для которых применимы операции

(1 .6 ).

Рассмотрим случай,

когда алгоритм

А ]

повторяется

в цикле

N j

раз.

Обозначим такие

алгоритмы через

" А

и будем называть их кортежи сложными.

Для нахождения простого

кортежа

р . '

i '

очевидны следующие соотношения:

d

- ф

-

d j .

№

.

N

i t

,

■j

~

-

22 -

its " ( R j

+ 5 .

П

N ^ ) b ; ,

>

*

vr

i

4

' d

(1.9)

При

*?

=

0 система

(1.9)

преобразуется в систему

(1 .6 ).

При

R, -

о .

4J =

I получаем систему (1 .8 ).

Таким ооразом, если алгоритм

В

содержит множество

сложных кортежей,

то для перевода

их в простые можно., исполь­

зовать

систему преобразований

(1 .9 ),

после чего оистемы опе­

раций (1 .2 ),

(1 .3 ),

(1 .4 ),

(1.5) позволяют получить

В -

< Х а , Х г ь , . . . , X g s > .

Обозначим в

системе

(1.9)

Rj

+ Z

П N't;* =Si2 .

<I-I0)

4

V.L

4

4

Здесь ^ j i

-

число

одноименных

j -x алгоритмов, набран­

ных на наборном поле программы и подпрограммы;

опреде­

ляет количество обращений к данному

„

j -му

алгоритм в пронес

се реализации

алгоритма

£> .

Чиоленные значения

£ j L и

u j z

могут быть легко по­

лучены из операторной схемы алгоритма

0>

. Для этого над one

ваний.

В операторной схеме ш(декоом

р

обозначим алгоритмы,

размещенные на подпрограммном поле.

Кроме того,

стрелкой с чис

яоы М

над операторами обозначим,

что данные операторы на­

ходятся в

цикле о числом циклов N .

Например. Пусть алгоритм

имеет следующую опера­

торную схему:

^

М s С Вр Ар УС р Ур СС

( i . i i )

где С , 5 , р

I Д

,

, V - некоторые простые ал­

горитмы, кортежи которых определены.

х

W

A

- это алгоритм (группа алгоритмов),

который заключен в

цикл с

количеством циклов N

►Здесь

В соответствии

с (1 .8) для

"fc-j

,

если некоторый ал­

горитм Д

охвачен несколькими циклами с числом циклов N i .

N a .........

N y ,

то

его показатель степени

т

т .е .

Wa

а

П

N + ,

(1 л з)

Перешшем ( I .I 2 ) , используя

( I .I 3 ) ,

тогда

М* с ВрЛ’рf

ус у у

с'с

л ’ &’р М ^ р У ^ с .

(I .I4 )

Одноименные алгоритмы

с индексом

р

можно аапаоать

один раз, т .к . они на

наборном поле подпрограмм не повторяют­

ся,

причем показатели степени этих алгоритмов складываются.

Выделив эти алгоритмы в квадратные скобки а исключив г

них

индексы р

, получим

шокество Р * { ^ ] решений некоторого алгоритма Б

, где

решение характеризуется тем,

что из каждого набора ( j =

c o n s t) внбираетоя до одному алгоритму,

который может быть

использовав при определении алгоритма

. Тогда число всевозмож­

ных решений

т

4

1

Для более удобного сравнения однозначных параметров ал­

горитмов системы (I.I8) представим их в виде матриц однознач­

ных параметров.

Кортежи одного простого алгоритма, например,

X tu ( X ju , •••> Х н ц ^

можно записать в виде системы порядка £

однокомпонентных

матриц

:

4 *

I

1

(1,19)

Х<а *

XJ

|

Как ввдим, здесь матрица сворачивается в одну колонку

при

Hi

строках,

j

1 ,2 ,3 , ..., Ml

В общем случае для

=

и 1 = 1 ,2 ,... ,

ttj

однозначные параметры цростых алгоритмов

могут быть

представлены в виде системы порядка

? многокомпонентных

матриц:

*

•

X l тир

Х д р

•

х

X1iiij*

X u p

■

'

‘

X i i i j p

у —

X<Hip

X щгр

*

*

Xm nmp

( f =

i, 2 , . .

■ ><L

) .

(1.23)

нее входит хотя бы одна компонента сложного

кортежа

,

то Х р назовем

сложной и обозначим через

3 # f •

Так как в матрице записаны количественные значения

параметров

и отсутствуют индексы кортежа, то надпишем

-2 9 -

Пусть матрица

# j>

сложная и составлена из

компонент

ояокных кортежей

Ej

,

тогда

Ei

Егг)

З х ,-

ЭСир

• • • X W p

XitUf)

iCutif

' '

•

(1.24)

p

-

i,

2,

• • •,

.

Для перехода

от

простой матрице

ЭС f>

составим

дополнительно матрицу-строку

t-< i в которой запишем необхо­

димые для преобразований по системе (1.9) численные значения

( j

-

( ( R j

-t V j),

( R j

+

^

П

N

^

) j .

Пусть

^

f

^i> v j

tt*

Тогда

, f

V

1

*"1

1

L

“ I f t u , t u j

f t m i , t m i ] |

или

L = U

L---U\.

(1.25)

Переход

от

J X f K

tfp

осуществляется

путем умножения

матрицы-строки

L

на

каждую матрицу Э х ? в

соответствии с

соотношения!.ш Л . 9 ) .

При этом

умножается на каждую ком­

поненту колонки

E t,

£z — на

Е г , . . . ,

£,Ц1 —

н а

£ m .

В множестве

t j

величина

I j i

умножается на матрицу

$ d

,

a

-

на

J

i

.

Следует

заметить,

что

если все

W

операций в

алгоритме

В> повторяются

по одному разу,

то все компоненты матрици-

строки

| .

равны

единице,

тогда

J *

f -

* > •