книги из ГПНТБ / Основы теории алгоритмов учеб. пособие

,

-

120

-

для

Ч*

*

^

(

к ч

,.4»,2,1

'

Р

ы

+ i X

C <3,* ' ) ^ +

5 i - p t + ( а х + В ) с 2 ' 1п.

Здесь

коэффициент 0 ,10

. . .

00 введен для округления.

|

Максимальное чиоло однозначных слов о учетом олова ко»!

эффицнента

&

^ подлежащих Словению, равно

ЧГ «

2 к

j,

Кроме того,

для

1 = 1

имеем

]?4 <

I ,

поэтому число инан

колнх разрядов

Ц,

можно выбрать

из уоловия

|

•2*"*

<

2 к - 4

2

<v.

(4 .4 i)

!

ти.

Реализуем (4.39) и (4.40) на примере удвоенной точнос­

Из (4.41)

имеем

=

2,

Схема вычисления а х + &

при»

мет вид

(рио.

4.6)

й

»•

Д|

I

а .

I

X

=

X.

I

* (

1

Ai

At

[

Аэ

I

/Ц ______ As

Ае

Аг

6 в

В,

6 г ’

1 0 - 0 0 0

п-

f

( V

Пй

Рис.

4.S

Здесь,

при накоплении суммы чисел

Д а , Д 4 , А г *

6

возможны 3 единица переноса, Поэтому для

сохранения знака

*

суммы ( А & и

Ац ~ старшие части частичных произведений

<51>Ф As

ю ©

-

о

о

< 5:

0> ,

функция реализуется оиотемой

n«.j,

+Pft.j)г-'1*1'"- <3f«*i) г41*"",

(длй

j=lc

имеем P(itK)“0;

П(й|)“0)-.

для

t-k

u j=k, 1м,...,2,< ;

(<Л.2~**)(Ч^2~*") +Gfi+i> 2~^)и =

(4,43)

2 - (i^

rt4+

П и ) 2 4c+i)n.

(для

P (i+j*o

“ П О ■

Для каждого фиксированного

i =

к ,

к ~(

3,2,

параметр

|

принимает значения к ,

к-{

, . . . , 2 , 1 . Для

' i= I

первая

итерация заменяется

П(»а 2 ' й,г\

b t - f f u .

E W

где для

С«=кН ,

b t - 0,10...00 константа округления по

(

k +

I) -му олову:

для

Т -

к t k-i

.........2,1

D t- олова числа

Б ,

Максимальное число чисел, которое приходитоя складывать

в одной итерации системы (4.43),

равно четырем (случай

1= I ) .

125 -

Г Л А В А 7

СИНШ АЛГОРИТМОВ ВЫЧИСЛЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ

ПРИ ОГРАНИЧШОЙ ДОТЕ РАЗРЯДНОЙ СЕТКИ УВМ

5 .1 . Некоторые Функции о повышенной точеоотью

вычислений в клаосах степенных разложений

j

и итерационных поопессов

В настоящее время известен ряд численных методов начис­

функций.

При вычиояешш

значения функции на машине широко исполь­

зуются различные численные методы; разложение в ряд Тейлора-

Маклорена, приближение разного рода многочленами,

метод

итера­

ций |б З ,6 4 | .Любой из

этих вычислительных методов

и ряд

других -

Еоли для достижения необходимой точности требуется обра­

щаться к такому участку N *

раз,

который проводит вычисле­

ния с

к -аначной точностью,

то

общее вреда реализации

(5.1)

где

Й ч - время реализации отдельного участка о

к -значной

точностью.

Каждый участок состоит из простых операций

(сложение,

ностью. Как была показано

в главе 1У, время - tw

тем больше,

чем выше степень точности

к .

Отсюда величина

Т раотет

о увеличением к ♦ Более того,

с ростом степени точности рао-

членов разложения.

Очевидно, что значительный роот времени Т

может при­

вести к нежелательным показателям эффективности

алгорит­

ются некоторые возможности уменьшения N k и 4!Чч

в различных

клаооах вычисления элементарных функций.

В классе отепенных разложений Тейлора-Маклорена функция

S

C

*

Р

xCiVfi

X

-

i

#

)

“

о •

Согласно [ б 1 ,

для

1=0

знакочередувдего ряда оотаточный член

J

R

p l

<

!

О р

+

П

,(5,2)

где

Q p*i— ({>*<)

-й член ряда.

Боля вое члены ряда одного знака удовлетворяют условию

то

конечный член ряда

p>

qq

1

■

G

5

Отоада оотаточнай член

R

p

l

« l

a

p

l

-

|

Для многих степенных разложений элементарных функций,

содержащих в знаменателе

j

!

,

в

интервале изменения аргумен­

та

[о

+ l ]

при

р > 4

условие

(5.3) можно записать

так:

I RP I <

1«р I •

(5-4) '

&

Конечный р

-член

ряда

заданной абсолютной погрешности

при выполнении (5 .2)

н (5,4) можно выбрать из условия

O p

^

^

0(i+i

>

»

где

Op

и

О р н

-

максимальные значения членов

на всем ин-

тчдвале изменения аргумента.

- 128 -

Из (5.8) видно, что члены

,

Qn k- , +z

i . . . * 0

iv* не пре­

вышают значения

Ы к

и при выполнении уоловия (5,2) и

(5 .4)

.

,

£ _

а *

<

(5.9)

V-Nit+1

Таким образом,

суммирование данных членов рада можно

проводить с одинарной точностью.

Для членов

,.«».C Iiyh можно запи­

сать,

что

(

. - (К-2) И

X

а *

<

2 '

(5.Ю )

T=Nk-i +1

и суммирование этих членов рада следует проводить не ниже,

чем о удвоенной точностью.

Неравенство

(5.10)

совместно

о (5.9)

дает

Nк

В общем олучае для членов C?Wi4|

М

ы

2с

О бусловив

W;-m

X

a *

<

2

гЫ

<Р* NiH

позволяет сумму этих членов вычислять о точностью

E k - l 3 .

С учетом последующих членов

1

>

<

2

Л

Для

i s

I имеем первые члены Of.,

0< ,Cfa , . . . , Ofv(

,

суммиро­

вание которых вдет

о

К -значной точностью.

Таким образом, вычисляя с

к-значной точностью пер­

вые члены рада,

а остальные с

точностью, меньшей

к

,

значи­

тельно улучшим показатель

Ь

эффективности алгоритма.

Как

правило,

степенные разложения Тейлора-Маклорена на вычислитель­

нается о младших членов ( Q p , O

p - i

, . , . с, одинар0 ^ ­ 0

ной точностью. Затем переходим к

удвоенной точности и так да-