книги из ГПНТБ / Приц, А. К. Принцип стационарных состояний открытых систем и динамика популяций

где q— плотность распределения систем. Здесь предполагается, что число систем в фазовом объеме пропорционально величине объема.

Априорная вероятность нахождения системы в элементарном фазовом объеме определяется отношением числа частиц, нахо­ дящихся в фазовом объеме, к числу всех частиц. Значит, вероят­ ность этого нахождения равна:

где %=K(q 1 , . . . , P i, •■•) есть плотность вероятности нахож­ дения системы в элементарном фазовом объеме.

Если проинтегрировать по всему фазовому пространству, то-

что определяется условием нормировки вероятности.

Теорема Лиувилля утверждает, что фазовый объем не меня­ ется с течением времени при движении систем в фазовом про­ странстве. Фазовый объем может деформироваться, но свою ве­ личину сохраняет неизменной.

Докажем эту теорему. Пусть имеется dN систем. Проследимза движением этих систем в течение определенного времениПри этом число систем не меняется. Пусть .в момент времени tt

Будем исходить из уравнения неразрывности для плотности си­ стем в фазовом пространстве:

20

г

Выражение это есть полный дифференциал по времени от плотности распределения частиц

Q= Const.

Тогда, на основании уравнения (1—6— 13) d£2i=dQ2-

Теорема доказана. Это означает постоянство вероятности рас­ пределения системы в фазовом пространстве.

1 § 7 . Вывод распределения Гиббса

Пусть имеется ансамбль слабовзаимодействующих систем. Тогда энергия всего ансамбля 'будет определяться как сумма, энергий отдельных подсистем;

г

энергией взаимодействия подсистем пренебрегаем.

21’

С другой стороны, вероятность состояния всего ансамбля бу­ дет определяться как произведение вероятностей состояния каж­ дой отдельной системы

т. к. системы квазинезависимы.

Оба свойства ансамбля — аддитивность энергии (1—7— 1) и мультипликативность вероятности (1—7—2) будут удовлетворе­ ны, если для каждой системы ввести экспоненциальную функ­ цию вероятности

где предэкспоненциальный множитель (константа) будет оди­ наков для всех систем, входящих в данный ансамбль. Отсюда

Постоянная а не может быть положительной, если Е меня­ ется от нуля до бесконечности, т. к. тогда не выполнялось бы условие нормировки вероятности

на, называемая модулем канонического распределения.

Из условий нормировки вероятности можно найти константу в предэкспоненциальном множителе

const J е 0 dQ= 1,

•отсюда

1

■const=

) е 0 dQ

Вероятность состояния системы определяется тогда как:

•22

Постоянная величина, являющаяся знаменателем, называется, интегралом состояний или интегралом по состояниям и обознача­ ется буквой Z:

где XF — постоянная величина, имеющая размерность энергииУчитывая значение интеграла Z:

что дает распределение Гиббса.

Уравнение (1—7—8) показывает, что плотность вероятности:

а число систем в элементарном объеме фазового пространства: равно:

Величина XF, определяемая выражением i(l—7—7), представляетсобой свободную энергию всего ансамбля. Это можно показать,, вычислив интеграл состояний Z:

если 0 = /гТ.

Если одному и тому же значению Егэнергии соответствует (71состояний, то вероятность состояния определяется

г

qi называется степенью вырождения данного состояния. 'Статистическая физика имеет дело со средними величинами..

Среднее значение энергии будет равно:

Е

Jе 0 dQ

23=

Зная Е и ХР, можно найти все остальные термодинамические

•функции, характеризующие состояния системы.

Винер [39] пишет: «'Статистическая механика Гиббса, воз­ можно является достаточно адекватной моделью того, что проис­ ходит в живом теле.»

§ 8. Н — теорема Больцмана и стационарное решение кинетического уравнения

Рассматривая динамику столкновений молекул газа, Больц­ ман [36] ввел функцию вида:

Q

где интеграл распространен по всему фазовому пространству

1-ой молекулы, имеющей одну степень свободы, a f<(r,v,t) — функция состояния, определяющая долю общего числа молекул, имеющих данный набор координат и скоростей.

Исходя из теории столкновений молекул идеального газа, бы­ ла найдена зависимость функции Н от времени для молекул га­ за в отсутствии внешнего поля

правленный ИЗ ТОЧКИ Гг В ТОЧКу Гу

Лодинтегральное выражение из i(l—8—2) является положи­

тельной величиной. Действительно, |(о— о^)5<3 [ есть величина положительная, а величина

( f i V - f i f i ) - 1 п - ^ - lifj

всегда 'больше нуля при любых f/fjf¥=fifj.

■Поэтому для любых функций распределения, являющихся ре­ шением кинетического уравнения Больцмана в отсутствии внеш­ него поля

:24

-О » J J I (oi-O i)Siil {/i7/—/i/j}duidQ= 0 ( 1 - 8 - 3 )

имеет место:

dH

;0, если ( 1 - 8 - 4 )

dt

dH

=0, если ( 1 - 8 - 5 )

dt

dH dt

функциях распределения f явно зависящих от времени. Стацио- dН

Легко показать, что единственным стационарным решением является распределение Максвелла, ибо определяющие аргу­

§9. Стационарные состояния, модель Вольтерра

иколебательный характер численности популяций

Уравнение Вольтерра является одним из наиболее употреби­ тельных и наиболее изученных уравнений при описании динами­ ки популяций, например, [25, 40, 41, 42].

25

флота, базирующегося на данный ареал.

Механизм взаимного влияния этих двух компонент в ареале обитания компоненты Ny может быть описан с помощью уравне­

где KiNiNz — есть скорость убывания численности первой компо­ ненты при ее взаимодействии со второй, т. е. убывание числен­ ности рыбной популяции при встрече рыбных стай с рыболовны­ ми судами, а сцМ — скорость прироста численности Ni; %2NiN2— дает скорость увеличения численности рыбодобывающего флота, д2Л^2— скорость убывания этой численности.

Выражение (1—9—2) показывает, что численность флота увеличивается при успешном лове, т. е. при достаточном рыбном запасе, который и обуславливает частоту встреч косяков рыб с рыболовными судами.

Уравнения (1—9— 1) и (1—9—2), отражающие связь запаса

j=i

Первый член суммы представляет поведение i-ой компоненты в отсутствии второй. При k C > 0, Nj= ,0 происходит экспоненци­ альный рост численности /-ой компоненты.

При йг<0 наблюдается экспоненциальное уменьшение чис­ ленности.

Постоянная ац может быть положительной, отрицательной или равной нулю. Если a ij> 0 , то это означает насколько часто­ та встреч судна с косяками рыб ведет к увеличению числа судов, отрицательное же значение aij отвечает на вопрос о влиянии ча­ стоты встречи рыбы и рыболовного судна на уменьшение чис­ ленности рыб. Если же ciij равна нулю, то это соответствует от­ сутствию взаимосвязи между числом судов и численностью ры­ бы (суда не ловят рыбу).

26

Таким образом, в результате взаимодействия t-ой и /-ой ком­ понент происходит увеличение численности t-ой компоненты и. уменьшение /-ой. Поэтому ciij и ац имеют противоположные

знаки.

В результате «встреч» t-ой и /-ой компонент произведение р£—ipj дает уменьшение (или увеличение) численности t-ой ком­ поненты в единицу времени.

Исключая особые случаи, будем иметь:

■Стационарное состояние системы определяется совокупно­

при всех значениях /.

Те же значения ЛД которыеудовлетворяют уравнению

Уравнение i(l—9—8) было впервые исследовано Д. Анкона [40] при введении интегралов движения в динамику развития попу­ ляций.

Введем обозначения

Совершенно очевидно, что Vj стремится к нулю при стремлении Nj к gj и может служить характеристикой отклонения значений Nj от своего стационарного значения gj.

Подставляя в (1—9—3) вместо Nj его значение из (1—9—9), получим:

Умножив обе части уравнения '(1—9— 10) на gy[e®i— 1] и про­ суммировав по всем /, получим

27

ибо двойная сумма антисимметрична относительно i и /. 'Находим

iY

Воспользуемся константой движения G для выяснения перио­ дичности состояний системы, состоящей из двух взаимодейству­

28

определяющую набор стационарных состояний в пространстве переменных Ux и Uz (рис. 2а).

Рис. 2. График периодичности решения уравнений (1—9—3)

Рисунки 2b и 2с описывают зависимость Ut и Uz от ft и f2. Осо­ бенностью фигур 2b и 2с является то, что они имеют максимумы в точках М2 и Mi. Поэтому гипербола имеет границы в точках Л и В. Одному значению точки 0, лежащей между Л и В, .соот­ ветствуют два значения f\{al) и fi{b ]) и два значения f2(c) и fz(b). На рисунке 2d устанавливается связь между функциями fi, f2При перемещении точки 0 от Л к В траектория этой точки представится в виде окружности «а рис. 2d. Значения Л и В соответствуют двум экстремальным значениям функции f i и f%со­ ответственно.

29