книги из ГПНТБ / Приц, А. К. Принцип стационарных состояний открытых систем и динамика популяций

Основываясь на этих положениях, в термодинамике были сформулированы ее основные законы: закон сохранения и пре­ вращения энергии, закон возрастания энтропии в изолирован­ ных системах и закон о недостижимости абсолютного нуля тем­ ператур.

возникает закономерный вопрос, являются ли живые систе­ мы системами, которые можно изучать методами обычной тер­ модинамики необратимых процессов? Можно ли характеризо­ вать состояние живой системы с помощью термодинамических функций: внутренней энергии Е, свободной энергии F, энтропииS и т. д.? Или с помощью аналогов этих функций?

Исходя из определения живой системы видно, что она не удовлетворяет ни одному из исходных положений термодинами­ ки. Действительно, она не является изолированной и никогда не приходит в состояние равновесия. Живая система не удовлетво­ ряет принципу транзитивности, включенному в понятие темпе­ ратуры.

‘Следовательно, живая система не удовлетворяет исходным положениям термодинамики в том виде, в котором они сформу­ лированы, и для применения методов термодинамики к живым системам требуется либо изменить сами методы, либо исходные положения.

Если считать неравновесное состояние живой системы стаци­ онарным, то живую систему можно характеризовать с помощью макроскопических параметров. В стационарном состоянии, точно так же, как и в состоянии неполного равновесия, неравновесная система может характеризоваться значениями макроскопиче­ ских термодинамических параметров. Для этого необходимо по­ стулировать квазистационарность неравновесной системы.

§ 3. Энтропия и информация

Все управляемые системы или отдельные элементы управля­ емых систем обмениваются между собой сигналами-наборами сведений о своем состоянии и состоянии окружающей среды. Пе­ редача сигналов может'быть задержана в запоминающих устрой­ ствах, что позволяет их разделить не только во времени, но и в пространстве. 'Говорят, что системы обмениваются между собой информацией. Что же такое информация, каково ее математиче­ ское выражение?

Главным свойством случайных событий является отсутствие полной уверенности в их наступлении. Событие может произойти или не произойти. Но до опыта существует неопределенность осуществления этого события.

За меру неопределенности случайного объекта х, который может иметь конечное множество состояний Xi, х%, . . . , хп осу­

10

ществляемых с вероятностями ри р2 , . . - , р п , берется в соответ­ ствии с К. Шенноном [33], функция:

П

Sm{X) = Sn,(Pi «!•••' Рп) = — 2 P i ln Pi ■ ( ! —3— 1) i—i

Этот функционал Sm{X) носит название энтропии случайного объекта х. Сама шенноновская информационная энтропия пред­ ставляет собою среднее значение отрицательного логарифма ве­ роятности

Энтропия

п

(1—3—3)

г= 1

если одно из значений Pi равно единице '(все остальные, следова­ тельно, равны нулю). Это соответствует отсутствию неопреде­

ленности.

Максимальное значение энтропия Sm достигает, когда все ве­ роятности pi равны друг другу, т. е.

р 1— Рг— •■•— Рп —

Поэтому

Энтропия объекта XY, состоящего из двух независимых случай­ ных объектов X и У, является суммой их энтропий:

Если же объект XY состоит из случайных объектов X и У и меж­ ду этими объектами существует статистическая зависимость, то энтропия случайного объекта XY является суммой энтропии Sui(X) одного объекта и условной энтропии 5Ш.^(У) другого:

ния (1—3—6) и (1—3—7) переходят в (1—3—б).

11

iB случае, если объект обладает непрерывным множествам со­ стояний х с вероятностями р(х), то вместо (1—3— 1) можно вы­ брать следующее выражение:

СО

(1—3—9)

—оо

Информация рассматривается лишь как уменьшение энтро­ пии и возникновение отрицательной энтропии:

(1—3— 10)

§4. Термодинамическая энтропия как функция состояния. Связь информационной энтропии и термодинамической

Начиная с 1948 г., когда К. Шенноном было сформулировано понятие информационной энтропии, явившейся основой для тео­ рии информации, сходство энтропии Шеннона и энтропии Больц­ мана-Тиббса (известной значительно раньше из статистической физики), являлось и является предметом большого внимания ряда исследователей.

Л. Бриллюэн [34, 35] провел наиболее полное исследование связи .между этими двумя энтропиями и сформулировал прин­ цип их взаимного соответствия, известный в настоящее время как негэнтропийный принцип информации. Для установления этого соответствия перейдем к хорошо известной категории ста­ тистической термодинамики.

Для нахождения связи между энтропией и состоянием систе­ мы, вернемся вновь к определению состояния системы. В моле­ кулярной теории, вместо ограниченного числа параметров, ха­ рактеризующих состояние системы, учитываются состояния от­ дельных молекул, из которых состоят элементы системы, и, сле­ довательно, вся система. .Если отдельная молекула имеет f сте­ пеней свободы, то для характеристики всей системы, состоящей из N молекул, необходимо знание 2/N молекулярных параметров. (/N координат и /N импульсов). .Поэтому термодинамика и мо­ лекулярная теория совершенно по разному подходят к опреде­ лению одного и того же состояния. Состояние, определяемое с помощью термодинамических параметров (давление, темпера­ тура, объем и т. д.), называется макросостоянием. Состояние же, заданное с помощью молекулярных параметров, называется микросостоянием.

Вследствии того, что молекулярным процессам присуща опре­ деленная хаотичность, микроскопические состояния характери­ зуются той или иной вероятностью их наступления. Следователь-

12

но, и макроскопические состояния также будут характеризо­ ваться определенной вероятностью их осуществления.

Связь между вероятностями микро- и макросостояний впер­ вые установлена Л. Больцманом [36]. При этом вовсе нет необ- - ходимости рассматривать только равновесные системы, но мож­ но рассматривать и неравновесные, если процессы изменения со­ стояния в них протекают достаточно медленно.

Одной из основных функций, характеризующих состояние си­ стемы в термодинамике, является энтропия системы S. 'Найдем связь между энтропией системы S, определяемой в термодина­ мике, и энтропией Sm, определяемой в теории информации. Для этого постараемся воспользоваться установленной связью меж­ ду молекулярной теорией, где применяются статистические ме­ тоды, и термодинамическим определением энтропии.

Больцман разработал метод ячеек. Пусть число молекул в си­ стеме равно N. Разобьем все пространство, в котором находятся молекулы системы, на элементарные ячейки. Так как состояние отдельной молекулы определяется заданием координат и им­ пульсов, то ячейка Больцмана представляется в виде элементар­ ного объема в пространстве координат и импульсов.

На ячейку накладываются два условия: объем ячейки дол­ жен быть достаточно мал, чтобы все находящиеся в ячейке мо­ лекулы характеризовались одними и теми же координатами и им­ пульсами, а также чтобы в каждой ячейке находилось достаточ­ но большое число частиц.

Пусть объем элементарных ячеек соответственно равен Аь А2, . . . , А и а суммарный объем равен А. Тогда вероятность того, что в первой ячейке будет находиться одна молекула, будет рав­

сматриваются независимые и одинаковые молекулы. Аналогич­ но можно найти вероятность того, что во второй ячейке находит­ ся п2 молекул, в третьей —>п3 молекул и т. д.

Если считать распределение молекул по ячейкам состоящим из ряда независимых событий, то вероятность одновременного нахождения в первой ячейке п молекул, во второй п2 молекул, в третьей — п3 молекул и т.. д., можно выразить формулой:

ния молекул по состояниям, что дает вероятность определенного микросостояния.

'Перейдем теперь к нахождению вероятности макросостояния. Каждому микросостоянию соответствует только одно макро­ состояние, но каждому макросостоянию соответствует большое.

13

число микросостояний. Действительно, для данного микрососто­ яния безразличию, какие молекулы находятся в данной ячейке (все они одинаковы), важно сколько их в ней. Это предположе­ ние об одинаковости молекул позволило высказать Больцману предположение, что все микросостояния, характеризующиеся данным распределением молекул по ячейкам, равновероятны.

Из этого следует, что данное макросостояние можно осуще­ ствить множеством микросостояний, переставляя молекулы из одной ячейки в другую. Это означает, что вероятность данного макросостояния можно найти, складывая вероятности всех мик­ росостояний, с помощью которых это макросостояние реализу­ ется. Всего можно осуществить N! микросостояний, переставляя молекулы, но из них нужно исключить перестановки молекул в одной и той же ячейке, т. к. состояние частиц в ячейке считается одинаковым, и нового микросостояния их перестановка не дает. Поэтому для нахождения числа перестановок, соответствующих одному и тому же макросостоянию, необходимо N! разделить на произведение щ\п2\...пи\, где k — число всех ячеек. Отсюда, учитывая формулу (1—4— 1), вероятность данного макрососто­ яния будет равна:

где k — число всех ячеек и выражение (1—4—2) можно перепи­ сать так:

( 1 - 4 - 5 )

i—1

В связи с тем, что вероятность макросостояния по формуле |(1—4—5) найти трудно в связи с произвольностью числа яче­ ек k, Макс .Планк ввел относительную вероятность или стати­ стический вес — число способов, с помощью которых данное со­ стояние реализуется. Эта относительная вероятность называется термодинамической вероятностью и определяется отношением

14

вероятности данного состояния Wu к вероятности условно вы­ бранного нормального макросостояиия Wa. 'При этом под нормальным состоянием понимают такое состояние, когда все молекулы находятся в одном и том же микроскопическом состо­ янии, т. е. собираются в одну ячейку.

Тогда термодинамическая вероятность Wt будет равна:

П « г !

1= 1

Формула (1—4—7) утверждает, что термодинамическая ве­ роятность равна числу переста1Новок — комплексий, с помощью которых реализуется данное макроскопическое состояние. Так как число состояний любой физической системы конечно, то Wt, ха­ рактеризующее это число, несмотря на то, что оно может быть очень большим, может быть подсчитано.

Если исходить из определения энтропии, данного Шенноном

ко показать, что логарифм термодинамической вероятности про­ порционален энтропии системы Sm, если

N,

где N, — число молекул в i-том состоянии, а N — полное число молекул.

Действительно, прологарифмируем выражение (1—4—7) для термодинамической вероятности:

15

мация равна логарифму термодинамической вероятности на од­ ну молекулу.

Умножая выражение (1—4— 12) на постоянную Больцмана k — 1,3810_1в эрг/град и считая N равным числу молекул в од­

тропией (энтропией Больцмана-Гиббса), получаем для энтропии Шеннона выражение через термодинамическую энтропию.

Рассмотрим конденсацию пара. Пар обладает большей эн­ тропией по сравнению с жидкостью, т. к. его макроскопическое состояние может быть представлено большим числом микроско­ пических состояний.

Энтропия при конденсации уменьшается на величину Sm—Sn- Согласно Шеннону и Винеру, эта величина представляет собой информацию, содержащуюся в жидкости по отношению к пару,

Таким образом, увеличение информации о системе уменьшает ее энтропию.

В зависимости от вида изучаемого объекта, значение посто­ янной R, связывающей шенноновскую энтропию и энтропию Больцмана—Гиббса, будет разным.

§ 5. Распределение Гиббса

Дальнейшее развитие идеи Больцмана нашли в работе Дж. Вилларда Гиббса [37], установившего связь между термо­ динамическими величинами и их статистическими аналогами.

Метод, предложенный Гиббсом, состоит в замене средних по времени, характеризующих состояния отдельной системы, сред­ ними по совокупности величин, характеризующих состояния ана­

16

логичных систем с различными начальными состояниями в фик­ сированный момент времени.

Гиббс [37] определяет свой метод следующим образом: «Мы можем представить себе большое количество систем одинаковой природы, но различных по конфигурации и скоростям, которыми они обладают в данный момент, и различных не только беско­ нечно мало, но так, что охватывается каждая мысленная комби­ нация конфигураций и скоростей.

При этом мы можем поставить себе задачей не прослежи­ вать определенную систему через всю последовательность ее конфигураций, а установить, как будет распределено все число систем менаду различными возможными конфигурациями и ско­ ростями в любой требуемый момент времени, если такое рас­ пределение было задано для какого-либо момента времени».

Возможность такого подхода к описанию состояния справед­ ливо при условии, что каждая система обязательно побывает во всех состояниях. Это предположение было названо эргодической гипотезой. Говоря о новом методе статистического подхода, Шредингер [38] писал: «Более старым и более наивным является приложение этих результатов к реально существующим систе­ мам, находящимся в реальном физическом взаимодействии друг с другом, например, к молекулам газа, к электронам и т. д. Этот устаревший теперь метод применялся ранее Больцманом, Макс­ веллом и другими и заставлял каждый раз учитывать характер взаимодействий систем ансамбля, тем самым ограничивая воз­ можности изучения. Теперь мы рассматриваем тождественные системы как мысленные копии рассматриваемой системы, пред­ ставляющей собой «макроскопический объект на нашем лабора­ торном столе». Построив достаточно большую совокупность си­ стем и пренебрегая энергией взаимодействия между системами, получаем ансамбль независимых систем.

§ 6. Уравнение Гамильтона и элементы фазового пространства. Теорема Лиувилля

Состояние каждой частицы в системе в механике характери­ зуется с помощью координат и импульсов. Обозначим координа­ ту i — той частицы qu импульс р*. Если известны координаты частицы и ее импульс, тем самым можем легко определить ее энергию. Говорят, что состояние частицы определено, если опре­ делены ее координаты и импульсы.

Если система состоит из N частиц, а каждая частица имеет f степеней свободы, то для задания состояния всей системы надо 2/N обобщенных координат. Под обобщенными координатами подразумеваются и импульсы, и обычные координаты.

2 Зак. I324I

Г р с П

на, -но-ч

бибмИО

Пространство 2fN обобщенных .координат называется фазо­ вым пространством. Если известны 2fN параметра системы, то. состояние системы полностью определено.

Обобщенные координаты р* и р* связаны между собой с по­ мощью уравнений 'Гамильтона. Эти уравнения следующие:

где H — функция Гамильтона, которая представляет собой пол­ ную энергию системы.

Состояние системы из N частиц, каждая из которых имеет f степеней свободы, изображается точкой в фазовом простран­ стве. Изменение состояния системы во времени будет изобра­ жаться фазовой траекторией. Действительно, исключая из урав­ нения (1—6— 1) и (1—6—2) параметр времени t, получим траекторию в фазовом пространстве. Если систему считать изо­ лированной, то уравнение

представляет собой гиперповерхность в фазовом пространстве. Элементарный объем фазового пространства определяется

Величина элементарного фазового объема определяется фи­ зическими соображениями. При выводе распределения Больцма­ на предполагалось, что величина фазового объема должна быть достаточно малой, чтобы все состояния частиц, попадающих в него, были одинаковыми (одинаковыми рг и р,). С другой сто­ роны, число частиц в каждом элементарном объеме должно, быть достаточно велико, чтобы можно было применить формулу Стирлинга. В этом заключалась противоречивость предположе­ ний теории Больцмана.

Из квантовой механики известно:

,dpdp= Л,

где h — постоянная Планка. Поэтому минимальное значение эле­ ментарного фазового объема для /=1 и N= 1 имеет вид:

dQ— h

Величина фазового объема определяется выражением:

18