книги из ГПНТБ / Солтан, П. С. Экстремальные задачи на графах и алгоритмы их решения

J 9

, :Н '

;

• *

____ д

го d -выпуклоотью, которая

может оказаться

наиболее естествен­

ной из всех внпуклоотей, определенных

для

метрических

прост­

ранств

[4 ] .

В нормированных пространствах

d -выпуклость сохраняет все

свойства

обычной внлуклооти

и, как показывают результаты

[173,

обычная выпуклость. В наших рассмотрениях

d -выпуклооть игра­

ет существенную роль при решении поставленных задач н

построе­

нии соответствующих алгоритмов.

Первая глава содержит формулировку задачи,а также

некото­

рые результаты по теории

d -выпуклых множеств. В частности,

здесь приведена теорема Хелди для

«/-выпуклых множеств,

рас­

смотрена задача Штейнера в конечномерном пространстве

R ” типа

и приводятся алгоритмы ее решения. В первой главе

формули­

руется также задача І'ітейнера для графов, ребрам которых

припи­

сана длина. Описывается

класс графов

К , для

которых эта

зада­

чи Штейнера

для этого класса графов не

используется" указанная

длина

ребер

графа. Приводится ряд овойств графов этого клаоса.

Вторая

глава посвящена решению задачи Штейнера

на графах

класса

И ■ Как следствие теоремы 7 .2

приводятся некоторые ре­

зультаты

по

кодированию множества вершин графа последовательно­

стями

из

нулей и единиц. В этой же главе приводятся

алгоритма.

Г л а в а

I

§ I . Формулировка задачи

I .

Под

задачей Штейнера

в классической литературе

до мате­

матике

понимается

следующее.

На евклидовой плоокости

имеются

три различные точки JC

,

и х3 . Требуется

найти такую точку

х д

, чтобы

сумма расстояний

от нее до всех заданных точек

была минимальной.

Известно,

что

точна х 0 обладает

свойствами:

1) Если все три точки

t

и

£ , образуют треугольник, не

имеющий угла в 120° и более,то

отрезки [ x 0)X f ] 3 [

попарно определяют углы в 120°

(р и с .І).

2)

Если же

x rtxt vi

х 3 образуют треу­

гольник, тлеющий угол

не

менее

1 2 0 °,то

/ ж'

совпадает с той из заданных точек,которая

является вершиной этого

угла.

____/

Легко заметить,

что

сформулированная

\

задача

имеет

определенный

практіческий

смысл. Например,

на

ровной

местности тре­

буется соединить три заданные точки каким-

либо видом коммуникаций, с тем чтобы

за­

траты на строительство была минимальными.

точек больше трех или

точки расположены не на евклидовой

пло­

скости, а также другие

естественные

ситуации.

Поэтому разумно

сформулировать

такую математическую

зада­

Приведем понятие

d

-выпуклости,

возникшей,

котати,

при

решении

одной из практических задач указанного второго типа.

Пусть

X

-

метрическое

пространство,

метрика

которого

обозначена через

d

,

а

М -

некоторое множество

точек

этого

пространства.

М <=

х

О п р е д е л е н и е

І . І . Множество

называет­

ся

d -выпуклым,

если из

соотношений

1)

х г

е м

°

Z)

ж* )

+ <1( лз

, х г>

следует

соотношение

х 3 е М .

Очевидно,

что в пространстве

X

существует

d -выпуклое

множество, так как само пространство

X

является

& -выпуклым

множеством. Пустое множеотво

ф

«= X

по определению будем

счи­

тать

V

-выпуклым.

2 .

Задача

Штейнера

для {X}d ) . Пусть

У -

некоторое ко

ное

множество

точек из

X

,

Э

-

поле

действительных

чисел,

р :

Y ------—

D -

некоторая

положительная

функция

(весовая),а

М ^ Х -

замкнутое

d »выпуклое множеотво.

В

множестве

М

требуется

найти

такую точку

х 0 ,

которая

мишшиэируѳт функционал

F ( x )

= Г

р ( у )

d ( x , y ) .

(I)

yt у

Очевидно

(из замкнутости

множества

М

и

непрерывности

d (x ,tj

) ) ,

что

в

множестве

М всегда

найдется

точка

х 0 , ми­

нимизирующая функционал ( I ) .

Точку

х 0

будем называть решением задачи Штейнера,

а

мно­

жество

всех решений обозначим через

X

. Так как

нам

придетоя

рассматривать задачу Штейнера в различных метрических

простран­

ствах,

причем в одном и том же пространстве для различны”

М и

Y , то, как покажут дальнейшие рассмотрения,

удобно

назвать эту

задачу

"задачей

X MY ",

не

упуская

из

виду

смысла и указанно­

го порядка оимволов Xt M

и

Y .

Целесообразность

рассмотрения

задачи

X MY

в такой

общей постановке

диктуется,

по

крайней

нера

о

трех

точках,

в наших обозначениях может быть

сформули­

рована

как задача

£

Ег Y ,

где

у =

{ хг ,

х 2

}

.

Основная цель

-

рассмотрение задачи ХА^Удля случая,

когда

метрическое

пространство

( Х, с/ )

определяется

некоторым связным

неориентированным конечным графом G = ( x r U)

в олѳдующем смыс­

ле.

Пусть I : U

------ D

-

положительная действительная

функ­

ция. Введем

на множестве

X

метрику по формуле

d(x- , х . ) =

т і п

И

t

( и )

,

(2)

1

J

се С

иеС

где

С

- множество

воех цепей графа

G t соединяющее вершины

и X,

. Граф

G = (X , U)

о введенной ва вѳм метрикой

(2)

бу­

дем

называть

м е т р и ч е с к и м

г р а ф о м .

Таким образом,

для

графа

G = ( x f и)

с

метрикой (2)

можно

сформулировать некоторую задачу Штейнера. Для

этого

достаточно

выделить множество

У = X ,

весовую функцию

р: Y— —D

и o' -

выпуклое множеотво

М <=■ х .

Такую задачу

будем называть

задачей

Штейнера для

графа

G = ( X , U) .

G = ( X , U)

Для произвольного связного

метрического

графа

от прямого подсчета значения функционала

(I) для каждой верши­

ны. Как показывает практика, нахождение

таких методов прямо за­

висит от топологического типа графа и метрики, определенной

на-

нем. В нашем слу.чае это

обстоятельство также будет

проявляться,

т .ѳ . будем рассматривать

главным образом

специальные классы гра­

фов.

Прежде чем приступить к исследованию задачи

Штейнера

для

таких графов, остановимся на некоторых

вопросах

, связанных с

§

2 ,

Некоторые

предварительные сведения

и теорема Хадли для

d - выпуклых множеств

I .

Пусть

R n -

линейное

пространство

размерности

п на

лем действительных

чисел

Л .

<=

R n

О п р е д е л е н и е

2 .1 . Множество

М

называ­

ется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя точками

хг и

х г

содержит и

соединяющий их

отрезок [-*, ,

=

{ х

: х

= Д; x f +

+X2x lr xt > x2 ^ o

,

X,

+ Аг

=

/ j .

Выпуклое

множество, внутрен­

ность которого

не

пуста,

называется

в ы п у к л ы м

т

е

-

л о м .

N

R

. Ми­

Пусть

-

произвольное

множество

в пространстве

нимальное

выпуклое множество,

содержащее

N

,

называется

вы ^

пуклой оболочной множества N . Выпуклую оболочку множества

N

обозначим

через

corns N ■

Далее

пусть

К - дапуклое множество пространства

Rn. Гра­

ницу и внутренность выпуклого множества

К с

R n

будем

обозна­

чать соответственно через

b d

К

и

l o t

К.

О п р е д е л е н и е

2 .2 . Гранью

Fx

точки

х е К

в

К

называется

множество,

образованное

самой

точкой

х

и

теми

точь-

ками у Ф х

из

А"

,для которых прямая,

проходящая

ч ер езъ

и у,

содержит интервал,

принадлежащий

К

и содержащий

х .

Если ~х е

е

l o t к ,

то грань

F

точки

х

называется

н е с о б с т

-

в е я н о й

г р а н ь ю .

Плоскость R 1 пространства

R n

на­

зывается опорной

плоскостью множества К<=- R n

в точке

х

е b d

К,

если F

R 1

и

R l n in t к -

Ф .

Размерностью грани

Fx

точ­

ки

X е к

в

И

называется

наименьшая размерность

плоскости,

опорной в

точке

я

к множеству

К

и обозначаемая

через

dim F.

При L = п -

1

опорная

плоскость

R n~1 .тела

к

в точке

ж е

еЬЫ К

называется

опорной

гиперплоскостью тела

К в точке ж и

обозначается

через

Гх . Выпуклое

тело

Rc= R n

называется

стро­

го выпуклым, если для любой точки

х е

bet К

пересечение

ГХ ПК

состоит

из единственной точки х.

2 .

Из

определения

І . І

d -выпуклого множества

легко

полу­

чаем

М — { М л

, л еУІ j

С л е д с т в и е

2 ,1 .

Если

-

се­

мейство

et -выпуклых множеств метрического

пространства X,

то

множество

М =

Q

М .

является

d -выпуклым.

О п р е д е л е н и е

2 .3 .

Пусть

N

-

некоторое

множе­

ство Iточек

метрического

пространства

X

, а

М — [ М ^ , \ е Л \

-

семейство

всех

d

-выпуклых множеств

пространства X

,

содержа­

щих множество

N

. Множество

П М

называется

*

сі -выпуклой

оболочкой

множества

N .

d

-выпуклую оболочку

множества NeX

будем

обозначать

через

d - соплг Л/.

Пусть

теперь

R n -

банахово

пространство

размерности

п

о

нормой

IIX II

и метрикой

d ( x , , х 2 )=Цхг - х г Ц. В таком случае в

R n можно рассматривать

как выпуклые

(в

обычном

смысле

слова),

так и

d -выпуклое множества. Очевидно,

что

d

-выпуклое мно­

жество

M e R n

является

выпуклым. Обратное,

вообще

говоря,

не­

верно.

Например,

на

плоскости

R 2 с

нормой

//.*://=/х '/

+ | х г | ,

единичный шар

£ 2

не

является

d

-выпуклым множеством:

точки

(1 ,0 ) и

(0 ,1 )

принадлежат

множеству Z 2, а для

точки (1 ,1 )

вы­

полняется соотношение 2) из определения І . І .

d

-выпуклого мно­

жества,

но

она

не

принадлежит £ 2. d -выпуклая

оболочка множест­

ва И г является,

очевидно,параллелограммом,описанным

шару

(рис .2 ) .

d

-выпуклость

совпадает

с

вы­

пуклостью в том и только в том

слу­

чае, когда единичный шар в

R n явля­

ется строго

выпуклым. Например,

на

плоскости

R г

с

нормой

к X к

=

= \І(х,) 2- + ( х г)г ' с/-выпуклость

совпада­

ет с выпуклостью. Отметим еще,что мно­

жество

М <=

R n

тогда и

только

тог­

да является

d

-выпуклым,

когда

для

любых X

, х г

е

м

каждая

простая

ду­

Р и

о .

2

га , соединяющая

x f

и

xz

и

имеющая

длину II х г

-

х г

/I

,

содержится

в

М .

Зак.665