книги из ГПНТБ / Солтан, П. С. Экстремальные задачи на графах и алгоритмы их решения

Д о к а з а т е л ь с

т в

о

. На

ооновѳ

теоремы 5 ,2

пере­

бором всевозможных случаев

легко

заметить,

что

теорема 5 ,3

не

будет иметь

места, если только

кавдые

два

из

соответствующих

комплексов

Kjf, Kj2 , Kj3

пересекаются

по грани

из Ф (рис . 8 ) .

Для того чтобы доказать,

что

этот случай

не

может иметь места,

применимые

к

треугольнику

х (1хг , х 3

(рис.8 ) . А

это

завершает

доказательство

теоремы 5 . 3 .

§ 6. Теорема о расстоянии

Здесь

будет указана формула для нахождения

расстояния

d ( x r , x s )

между

любыми вершинами х г

и х у для

произвольного гра­

фа

6 = (Х ,U )

класса

К

■

G = (X7U ) T

Пусть

х г

и

x s

-

произвольные вершины графа

а Cts -

некоторая

цепь,

соединяющая их. Обозначим

через UJr$

та­

кое максимальное (по включению) подмножество ребер

из

Uj, j

£CLL,

что

каждое

ребро

и е Uf.s

входит

в цепь ^rs . Далее,

пусть

i ( u ) = c/j

, d £ Uj, j & GU

f

a

t J -

наименьшее

ив

неотрицатель­

ных целых чиоѳл,

удовлетворяющих соотношению

I U^\ = t l(mod2).

I

Имеет

место

Т е о р е м а

6 ,1 .

Для произвольных х г

и х $

графа

G

раоотояние

d(xr ,xs )

единственным образом предотавлено в

виде

равенства

п

d ( x r ,x s ) = j _ d j t J .

Д

о

к

а з а т е л ь

с

т в

о .

Пусть/ £iU,

a

Ху-

комплекс,

определяемый

классом

эквивалентности

Uj. Исходя из

теоремы

5 . 1,

его

можно

представить

в виде полосы (рис.9 ) . Пользуясь

обозна­

чениями рис .9, имеем,

в

сиду

теоремы

5 . 2 , что

в

цепь

Сг5 =

=( U-Li, utl

Uim)

входит не

более

чем по одному

ребру из

каж-

догр класса

эквивалентности

U j , j & U Покажем теперь,

что

если

G/= (X'f, U / )

-

та ив компонент снязнооти графа G, определен­

ных разрезом

Uj

,

которая

содержит

ягг в. acS} то

для графа

Gj

имеем равенство;

d ( x r , x s ) = L

d if

(I)

Для этого достаточно показать, что

любая другад

цепь C'rs

из 6 / ,

соединяющая

х г

о Xs, имеет

длину

больше,

чем fZ dit .

Действи­

тельно,

пусть

CrS = (Ult ,

,

U[p).

В этом

случае

оказы­

вается,

что

каждому ребру

u ^^Grs

можно поставить в

соответ­

ствие некоторое

ребро

u ; v £ Crs ,

причем различным ребрам

из

CfS будут соответствовать различные ребра из

. Это

вытекает

из следующего.

цепи Crs

Каждое ребро

определяет некоторый класс

эк­

вивалентности

U j J e U .

Ранее

было

замечено, что

все классы

эк­

фа 6

, то в

силу

теоремы 5 .1

и следствия

5 .1

немедленно

полу­

чаем,

что

каждый из рассматриваемых классов эквивалентности

со­

держит по крайней мере одно ребро цепи Crs . Тот факт,

что двум

различным ребрам цепи СГ5

не может соответствовать одно

и

то

же ребро цепи C/s , следует непосредственно из теоремы 5 . 2 .

Далее из

теоремы 5 .2 и

определения

класса

эквивалентности

следует,

что

в цепи Cr s

нет

такого

ребра,

для

которого

образом

при этом соответствии было бы

ребро

и'і,

или а [ т цепи C 'r s . В

оа-

мом деле,

если бы имело

место

противоположное,

то,например,реб­

ро u[t

принадлежало бы

классу

эквивалентности

lfjt

, j i £ iK )

оп­

ределяемому некоторым ребром

Cr s

,

Иэ опреде­

ления

эквивалентности ребер

следует, что t

не

может

равняться

I . Следовательно, индекс удовлетворяет неравенствам

Но тогда

комплекс

Ку П Кyt

был бы несвязным и состоял из

од­

ной грани и еще по крайней мере из одной вершины,

что

противо­

речит теореме 5 . 2 . Итак, имея в виду, что граф

в

удовлетворяет

условию 4° §

4, получаем неравенство

o / ( a c ^ x s ) <

r i d i)>,

а следовательно,

в графе G

верно

соотношение

( I ) .

Рассуждая аналогично,

сравнительно

легко

получаем

единст­

венность

представления d(OCr , XS)

при

помощи равенства

( I ) .

Пусть

Crs = (uLf, Ui2 ( ,.., и ц

)

-

произвольная

цепь,

сое­

диняющая

и

x s в графе

G ,

а

j

- некоторый элемент

мно­

жества

41. Из определения

множѳотва

<У/5 имеем соотношение СГ$Г\

П

Uj -

Uf.g.

Это пересечение

для

большей ясности

изображено

на

рио.ІО,

причем для сокращения

записи воспользуемся,

как и

жем записать:

tf

d[t + d(acr t i ,

+ ■■■+ d ( x r u _f , х Гік) +

d ( x r , x s ) 4 L

i

Ь

t

' f a

? *

d i t + d ( x ^ ’ Xr^

> * d J * £ r +i d i t ■

Таким образом,

в правой

части

этого

неравенства

чиоло d j

войдет

с

коэффициентом I ,

еоли

| UJr s j=

I ( m o d 2 ) ,

и

о

коэффициентом

О,

если

j (f/s j = о ( m o d

2 ).

Теперь уже ясно, что если

j i ,

,■■■> Jm

- суть

все индексы

множества

41 ;

соответствующие

разрезы

которых

обладают тем

свойством, что

определяемые ими компоненты

связности

содержат по

одной из

точек

х г

и a?s,TO

d ( x r , x s )= Ild jL или

d ( x r , x s ) :

=j=rt d /г

t /J

Таким образом,

теорема

c- r

доказана.

Т

е

о р

е ; м аа

6 .2 . Пусть j e * U , G j=(X Jf , ( j j )

и

r.J -

и2

-

компоненты

графа

6 ' - ( X , U \

Uj),X2-

произ-

вольная

вершина из

G j ,

a

x s

-

такая

вершина

из

<?/

что

d (Х/г)Х2 ) —d(xr , х $). Ес ли J t , Jg,

-

такая

удо-

Ірядочѳнная

последовательность индексов,принадлежащих мно

Цжеству

%l

,

что

d (xr , x s )-Z.

d j L

то

KJL П Kj ^

Ф,

Д

о

к а

з

а

т е л ь

с т

в о .

Из

теоремы

5 .1

следует,

что

& 5 e K j.

Следовательно,

d j m = d j . Пусть теперь

сущѳотвуѳт

такой

j t , что

Kjt C\Kj = F é -Ф

(

рис. I I ) .

Заметим,

что

при

имеем

Кj m _t

Cl K j ФФ.

Это легко

уотанавливаетоя

при помощи теоремы 5 .2 . Те­

перь

нетрудно убедиться,что

имеет

.место

равенство

c((xr ) XJ2} = d ( x r , x ' )

+

+ d ( x ' х " ) .

Для

этого

до­

статочно

применить рассужде­

ния,

аналогичные

тем,

кото­

рые были проведены при

до­

казательстве

теоремы

6 .1

с

Р и с . IJ

использованием теоремы 5 .3 .

В результате

получим,

что вершина

x s

не есть

ближайшая вершина

графа

д л я

вершины

Х л .Полученное противоречие завершает дока­

вающих множество решений задачи Штейнера на метрических

графах

указанного в первой главе

класса графов о существенным

исполь­

зованием результатов этой

же главы. Приводятся алгоритмы

реше­

ния задачи Штейнера на этих графах,

а также алгоритмы

решения

этой же задачи для некоторых более

общих графов. Показывается,

В качестве

следствия

получаем,

что вершины

любого

графа

указанного

выше класоа допускают код Хемминга.

§

7.

Описание множества решений

задачи

Штейнера

I .

Обозначим через

Х 0

множество

вершин графа

G = ( K , U

являющихся решениями

задачи

XXX

,

и докажем несколько

пред­

ложений, дающих возможность описать это множество.

Пусть

б ' = (Х

,

U')

- некоторый подграф графа

<5= ГХ, ^.Обо­

значим через р (G') число

р

Сх ) . Согласно следствию 5.1 .граф

G ,= (X, U \Ѵ ) ) состоит из двух

компонент GJt и б / . Через

У0

обо­

значим множество всех индексов j

е

41 для которых р /'<?/) - р (ѲЦ

Т е о р е м а

7 , 1 .

Мощности множеств

Х 0

и

2 /0 графа G

удовлетворяют равенству

)Х0

\ = 2 ^°* ,

причем множество Х0

исчерпывается полностью множеством вершин некоторой клетки

комплекса

Кв .

Доказательству

теоремы

7 .1

предпошлем неоколько

эле­

ментарных лемм.

ИЛ. е м м а

7 . 1 .

Для

того чтобы

индекс

у е 2/

принадлежал

множеству

U 0t необходимо

и

достаточно,

чтобы для

некото­

рого

ребра

и = ( х ' , х ,І)<= Uj

выполнялось

равенство F(x')-

= F{x") .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть .индекс

j

принадлежит

множеству

Ѵ0 ,

6 J, = ( K J1,

U'j)

и

G2 ~(X2 , U / )

-

соответст­

вующие

компоненты графа

G’ = (X ,

Uj ),

а u = ( x ' , x " )

некоторое

ребро

класса

Uj, причем

Х ‘е

XJt , х " <= Х 2

.

Обозначим

через

F-f(x) и

F2 ( x )

соответственно

суммы

Из

теоремы 6.1 непосредственно получаем,

что

F ( x ' ) -

Ff (x')-t-

+ F2

(х ") + p

(G 2j

y d j , F(x")- F1

(x ')+Fz (x")+p(Gi) dj. Но

так

как

Р ( 6

І ) = Р ( Ц )

,

то

F ( x )

= F(x") .

Предположим теперь,

что

F ( x ' ) = F (x " ) .

Тогда,

прирав­

нивая полученные выше выражения для F (x ')

и

F ( x u),

немедлен­

но

получим равенство

p ( G f ) = p ( ß J ) ,

которое и

обозначает,

что

у е

Ы0 .

Таким образом

лемма

доказана.

ИЛ

е

м м а

7 . 2 .

Пусть

j

-

индекс

множества

V

4 Ѵо,

а

компоненты

G j - ( X J1

, iff), GJz = ( x 2J , U£ )

графа

G'=

I\ ( X , U ^ U j )

удовлетворяют

неравенству

p ( 6 f )

^ P (G2J

).

Тогда

множество

X0

удовлетворяет соотношению

X0

c

Xj.

Д о к а з а т е л ь с т в о

.

Очевидно,

достаточно

пока­

зать,

что для

любой вершины

х г

компоненты

существует

вер­

шина

x s

в

Gf,

которая

удовлетворяет неравенству

F(x^< F (x r ).

Пусть

d ( x r , X J1)

-

расстояние вершины

х г

до

мно­

жества

X Jf.

Ввиду

конечности множества XJ{

существует

такая

вершина

x K ^ X Jf

,

что

d (xr , XJt ) = d (Хг , хк ).

Пусть Сгх =

=

= х Го , х Г

(

х гр = х к] -- ( иіі , и

и іт

) .

-

некоторая

цепь,

на

которой

реализуется

расстояние

d ( x r , X / ).

На основе

теоремы

6 .1

немедленно

подучаем,

что^ребро ^^принадлежит

клас­

су

Uj

и,

кроме

того,

d (х г , хк ) = t l

,

Рассуждая

так

же,

как

при доказательстве

леммы 7 . 1 ,

получим неравенство

F(xPp)<

<

F ( х Гр_г).

Далее

ясно,

что

d

(хГо , хГр )= d

(хГд 7 х Гр_г ) /

* ^ (х Гр~, > х гр )-

Пусть

Uji

-

класс

эквивалентности,

определяемый

ребром

GLfl.f, а

K jj

- соответствующий комплекс.

Согласно

теореме

5 . 2 , комплекс Kjf

не пересекается с комплексом ду

по

элементу

из

Ф . Следовательно,

отсюда, а также с учетом

следствия

5 .1

одна

из

компонент графа

G -

(X , U ^ U j )

будет

содержать

в ка~

чеотве собственного

подграфа

граф

б / .

Пусть

это

будет

компонен­

та б ' 1'. Тогда из

того, что р ( х )

>

0

для

любого

г с ^ Х ,

и

усло­

вия леммы 7 . 2 ,

имеем

р ( G J/ ) >

P ( G J1) >. р ( в [ )

> р

(Gif ) .

Отсю­

д а, подобно

тому,

как

было установлено

неравенство

F ( x r

)<

*Р (х^ _ г), получаем

F ( x rp_f )< Р(хГр_г ).

Рассуждая аналогично

при переходе от

ребра

Uit

к ребру

и ц +1,

t = р , р - 1

1

,

по­

лучим неравенство

F(xK )<F(xrp_f )< .. .< F(acr ) ,

откуда

следует,

что вершина

х к

еоть

искомая

вершина х $ ,

Таким

образом,лемма

доказана.

|Л е м м а

7 . 3 .

Пуоть J 1

и

J2

-

два

различных

индекоа

множества

Zl0 ,

а

Kj/

и

Kj2

-

соответствующие

комплексы,оп­

ределяемые разрезами Ujt и и/е . Тогда существует единствен­

ный элемент

F

множества

Ф,

что

верно

соотношение

Kj, Л

! (Ч і =

*

т

е

л ь с т в о .

Предположим противное,

т . е .

Д о к а з а

предположим, что

пересечение

Kjf П Kjz

либо не

содержит

эле­

менты из Ф, либо

содержит

более

одного

элемента

из

Ф■ В первом

олучае на

основе теоремы 5.2 непосредственно

получаем, что

(при

надлежащих обозначениях компонент, образованных разрезами

Ujf

и Uj2 ) либо выполнены включения

б /'^ б/*

и

G^

с G% ,

либо

выполнены

обратные включения.

Каждый из этих

случаев приводит

к противоречию. В самом деле, учитывая, что

функция

р ( х )

стро­

дующие неравенства:

P ( 6

J/ ) ^ Р ( Gf2) -

р ( GJ 2Z ) < р (

)

вопре­

ки принадлежности индекса Ji

множеству 2і0 .

Рассуждая

анало­

гично по отношению к обратным включениям,

придем

к

такому

же

противоречию для индекса

Наконец,

второй

случай

приводит

к

противоречию оо следствием 5 .1 . Таким образом,лемма доказана.

Л е м м а

7 . 4 . Множество

Ѵ0

графа

G ^ K

удовлетворяет

соотношению | 2J0 1é

2 ,

Д о к а з

а т е л ь

с т в

о .

Предположим противное,

т .ѳ .

предположим, что множество И0

удовлетворяет

неравенству

j 2 / 0 \

> 2

Тогда, как легко заметить на основе леммы 7 . 3 ,

следствия

5 .1 ,

теоремы

5 .2 и

доказательства леммы 7 . 2 , граф

G ,= (X ,U 'S- UuJj)

состоит

более

чем из

шести компонент,

что

противоречит

1

теоре­

ме 6 . 3 . Лемма

7 ,4 .доказана.

Л е ы м а

7 . 5 .

Если множество Х0

состоит более

чем

из

одного элемента, то

любой индекс

/ £

Z/ ,

для

которого х 0 I)

!KJt

F 0

и

Х0 П Х'2 *

0 ,

принадлежит

множествуЧ

Д

о

к

а з а т е л ь с т

в о

. Пусть

х

0'

и

принадлежат

множеству Х0 , Рассмотрим цепь

( Uif ,

Uip ),

реализующую

расстояние

с/(х*0 ,Х % )

вершины x^

до

вершины х§ -

Если

предпо­

ложить,

что

существует

такое ребро

iiit

г

для

которо­

го

индекс

/ ,

определенный

множеством ребер, эквивалентных реб­

ру

Ui f ,

не

принадлежит множеству

то

придем

немедленно

к

противоречию с

леммой

7 . 2 . Действительно,

если

j £

Ѵ0 ,

то либо

имеет .меото

неравенство

p ( G j ) > p ( G £ ) ,

либо

неравенство

p ( G j ) < p ( G ,2).

Из

определения

индекса

/ ’

имеем Х0 ПХ,; Х(^

и

Х0

с

другой

отороны,

каждое

из

полученных

не­

равенств

для весов приводит

на основе леммы 7 .2

к противоречию

с

условием леммы

7 . 5 ,

что

завершает

доказательство.

Д

о

к

а з а т е л ь с т

в о

теоремы

7 . 1 . Из конечности

множества

вершин

X

графа

G

имеем, что

Х0

не

пусто.

Согла­

сно лемме 7 .4 множество

tl0

удовлетворяет

соотношению

)l l 0 \F2.

Рассмотрим

всевозможные

случаи

| Ѵ0\ = о, \ 2/0 | = /, W 0

| ~2 .

Пусть

\И0 \~о. Покажем, что

|Х 0| = / .

Предположим против­

ное, т . е . предположим, что

I X J # / .

Тогда

из

того,

что

Хо :Р 0 ,

имеем

| Х ^ | > / ,

а

это,

в

силу леммы 7 . 5 ,

немедленно

приводит

к

тому, что

0 f

следовательно,

jV 0

\ ^ 0

,

вопреки

предложе­

нию.

Пусть

\ l l 0 \ = f.

Это означает,

что

%

состоит

из

единст­

венного индекса

/ е 21. Покажем,

что

jX0\ = 2 .

Предварительно

установим,

что множество Х0

является подмножеством нульмерных

для

любой вершины х г

графа G

, не

принадлежащей

комплексу Kj,

найдетоя вершина

х 3

,

принадлежащая

Kj

и удовлетворяющая

усло­

вию

F(xr )> F(xs ).

Это

легко

проверить,

выбрав вершину x s t как'

это

оделано

в доказательстве

леммы 7 . 2 .

Согласно

лемме. 7 .1

име­

ем,

что еоли

lX0

\ > f t x

l e -X0 l

то

в Х 0

существует

такая

вер­

шина

х%,что

ребро ( X 01

, X Q )

определяет

разрез

U j , j ^ V 0 ,

Теперь

предположим,

что

верно неравенство \Х0 \>2 .

Тогда

в

Х0

существует

вершина

х § ,

отличная от

вершин х 0г

и x ß . В си­

лу

леммы 7 .1

множество

Х0

содержит

такую вершину я ^ ч т о

реб­

ро

(эс$,х%)

определяет

тот

же разрез

Uj

Далее

рас­

смотрим расстояние

d ( { x ^ , x § j , { х § ,

X%j)

между множест­

вами

{х'0 , Xgj-

и

{ x ß j X Z } - .

Пусть

это расстояние достига­

ется

на вершинах х 0'

и

х § , принадлежащих одной компоненте

связ­

ности, определяемой

разрезом

Uj. Тогда

любая цепь (щ 1г

реализующая

расстояние

d ( x 01

l x ^ ) }

не

содержит ребра множе­

ства

U j . На основе леммы 7 .5

имеем,

что

каждое

ребро

определяет

некоторый индеко

множества

Ѵ0 .

Следова­

тельно,

подучаем

соотношение

\1

1 0 \^'2

,

что противоречит равен­

ству

\Zl0 \ - f ■

Таким образом,

для случая

l 2

/0

l ~ f

множество

Х0

оостоит в точности из двух

элементов, причем

эти

элементы

являются

смежными вершинами графа

G.

Пусть,

наконец,

ІѴ0 і- 2

,

Покажем,

что

|Х0 | = 4 ,

более

то­

г о ,

покажем,

что

элементы

множества

Х0

принадлежат

одной

грани

F еФ .

Пусть / /

и j 2

-

два

различных индекса

множества

Ѵ.0) а

Kj\

и Kj2

-

соответствующие

им комплексы. В силу

леммы 7 .3

име­

ем

Л),

П Kjz ~ F

Ф.

Пусть

зсп х г , х 3 , Х4

-

вершины грани

F .

Докажем,

что

Х0

, х 3 , Х4 1 .

Разрезы

Ujf

и

Uj2

1

очевид­

но,

разбивают

граф 6

на четыре

компоненты,

пусть

это

будут Git

причем

а^-eéV

,

і

= 1 , 2 , 3 , 4 . Для

любой вершиныд>

компоненты

,

5 / 7

справедливо

соотношение

F (х$) у F(x-).

В самом деле,

пусть

( uLf, ui s , . . . t

* J -

кратчайгаал цепь,

соединяющая

x s

и

В силу

теоремы

*’

I

любой

paspes

Uj ,

определяемый

ребром

, /4 té- к

,

не

совпадает

ни с каким из разрезов

Uji

и Uj2 . На основании

теоремы

5 .3

комплекс

Kj

пересекает

не

более

одного

из

комплексов

Kjf

и

Kj2

со

грани

из Ф.

Следовательно,

неравенство

F (x $ )>

F(xi)

стве

леммы 7 . 2 , Из

леммы 7.1

немедленно

получим равенства

F(xf)-

-FlQ-FCZj) = F ( X j ) .

Таким

—образом,

теорема

7 .1

доказана.

Приступим теперь к формулировке и доказательству одного из

ооновпых

предложений.

2 . Пусть

G~(X,U)

-

граф рассматриваемого класса К,Ѵ ~

~ множество

индексов,. определяющих классы

эквивалентности

U(,U2 ,...,Un множества

ребер

U

, р(х)

- положительная

дейст­

вительная функция,

определенная на X

,

х к

-

фиксированная

вершина графа

G

,

а Rn и

Rm -

линейные

пространства

соот­

ветственно

размерностям

П

и т . Теперь вершине

х к ^ Х

со­

поставим

отображения

R п

и

ß K - t / ~ ^ ~ R rn

по

ниже­

следующим правилам.

G

С -

Пусть X-L

-

произвольная вершина

графа

,

а

любая

цепь графа

G

,

соединяющая

вершины

х к

и

. Полагаем, ык ( х - )=

=

т

-=\Х\ t vpß

t KiJ

=

0,

если

цепь

С

содержит четное

число

ребер класса

Uj,

и

= / ,

если

цепь

С

содержит

нечетное

число

ребер

класса

Uj ,

Далее

иоло-

*и&

А

(j)

=

( t JKV

t t j , j = 1 . 2 ..........n. Введем

число

s {

-

p ( x L) ( i - 2 t 1K.),

j ^ U .

Обозначим

через

Тк

множество

всех

точек ( г /

г 2

г

”)

пространства R

,

координаты

которых.

к

1 ' к >■

удовлетворяют

соотношениям

r J =<

0

если

5 / < О ;

1

если

к

к

S;' > о і

о

или I

(безразлично),

еоли

s i = o .

Обозначим

через

S*

множество всех точек

tim) .

ПРО-

отранства

R m,

соответствующих таким индексам

j ,

к ,

что

Sst=‘K o .

Справедлива

7 . 2 . Отображения

<зск

и ß

x

инъективныСт.е.

Т е о р е м а

обладают

тем свойством,

что

образы различных элементов раз­

личны)

и

для

любого

к -

і,2

, - . - , п 7

справедливы

соотноше­

ния:

\ык(Х0

)\=2ІЫѴ°)і, ^ ( Г ,)= Х 0

, ^ ( 5

, ) = V 0 .

Д

о

к

а

з а т е л ь с т в о

Для

каждого

у

<£ Rn

поло-

жим ЦуІj - t t

ly-'I-

Через

R *

обозначим

полученное

указанным

образом

нормированное

пространство. Пусть

Р п= { у

■ O é y é d j ,

j =

1 ,2 ,..., n j

-

параллелепипед пространства

R ” ,

а

Р0

и

Pt

соответственно множество нульмерных и одномерных

граней

этого

параллелепипеда. Тогда

пара

Р = (Pot Р/)/

очевидно,образует не­

который граф. Рассмотрим гомеоморфноѳ вложение.

•' G —»- Р

графа G в граф Р, определенное

соотношениями:

а)

~@t

,

&2

t j-j' , . . . . otn t %^ ) j

6

)Гк (и

=(X/<, 2

LS)) -

(?K (х р ) ,

K(xs )), r , s =

/,2

,.~,л?Рбо значим через

H ~ (Y ,Y )

образ

графа 6 -

= (X ,U )

при

указанном гомеоморфизме. В силу теоремы 6 . 1 ,

оче­

видно, между метрическими графами G - ( X , U )

и

H = (Y,V ),YC P

установлен,

таким образом,

метрический

изоморфизм

[ іо ]

;

обоз­

начим его тем же символом

V*-. Заметим,

что

( х к ) -

(о,О,. -, о).

Далее,

на множестве

Y

"введем

действительную

положительную

функцию

р \

полагая для

любого

Yf

что

р ' ( у ) ~ р ( х ) , у - % ( х ) .

Теперь

рассмотрим

задачу

R f

Р

Y .

На основе

результатов

пер­

вой

главы множество решений

Y

этой

задачи

представляет

собою

некоторую

t -мерную грань

Рх

параллелепипеда

Р п,

п.

Покажем,

что

t

удовлетворяет

неравенству

0 & t ^ 2

.

Дейст­

вительно,

пусть

Vj = Ук ( Uj) , у е

21.

Тогда,в сиду свойств Ѵк '■

G —-

И,

множество ребер

V/

графа

И

представляет

некоторый

разрез

графа

У,

причем компоненты связности

H j

и

графаHj~